線性代數期末復習的題目

1、實用標準文案線性代數復習題一、 判斷題 ( 正確在括號里打 ，錯誤打 )1. 把三階行列式的第一列減去第二列，同時把第二列減去第一列，這樣得到的新行列式與原行列式相等，亦即abcabbacabcabbac.( )abcabbac2. 若一個行列式等于零，則它必有一行（列）元素全為零，或有兩行（列）完全相同，或有兩行（列）元素成比例 .()3.若行列式 D 中每個元素都大于零， 則 D 0.()4.設A, B,C都 是n階 矩 陣，且 ABCE，則CABE.()5.若矩陣 A的秩為 r，則 A的 r 1 階子式不會全為零 .()6.若矩陣 A與矩陣 B等價，則矩陣的秩 R( A) = R( B)

2、.()7.零向量一定可以表示成任意一組向量的線性組合.()8.若 向 量 組 1, 2, .s. ,線 性 相 關 ， 則 1 一 定 可 由 2 ,.,s線性表示.()9.向量組 1, 2,.,s 中，若 1與 s 對應分量成比例，則向量組1, 2,., s 線性相關 .()10.12s s, ,., (3) 線性無關的充要條件是：該向量組中任意兩個向量都線性無關.()11.當齊次線性方程組的方程個數少于未知量個數時，此齊次線性方程一定有非零解.()12.齊次線性方程組一定有解.()13.若為可逆矩陣A 的特征值，則1為A 1的特征值.()14.方程組(EA) x 0 的 解 向 量 都 是

3、 矩 陣A 的屬于特征值的特征向量.()15.n 階方陣 A有 n個不同特征值是A可以相似于對角矩陣的充分條件.()精彩文檔實用標準文案16.若矩陣A與矩陣B相似，則R(A)R(B).()二、單項選擇題1.設行列式a11a12m,a13a12a11a12a13()a21a 22a23a21n, 則行列式a22a 23a21(A ) mn(B)(mn)( C) n m( D) mn3862.行列式 512的元素 a21 的代數余子式 A21 的值為 ( )107(A)33(B )33(C) 56(D )5610x13.四階行列式1111中 x 的一次項系數為()11111111(A )1(B)

4、1(C) 4(D )4a11a12.a1nan1an2.ann4.設 D1a21a22.a 2n, D2an 1,1an 1,2.an 1,n , 則 D2 與 D1 的關系是 ( ). . . .an1an2.anna11a12.a1nn (n1)(D) D2 ( 1)n (n 1) D1(A) D2D1(B) D2D1(C) D2(1)2D1ab0000ab005.n 階行列式 Dn的值為 ()000abb000a(A ) a nbn(B) a nbn(C) a n(1) n1bn(D ) n(a b)1236.已知A10 1 2,則A*( )001(A)1(B) 2(C) 2(D) 37

5、.設 A 是 n 階方陣且 A5 ，則 (5AT) 1()(A ) 5n 1(B) 5n 1(C) 5 n 1(D) 5 n精彩文檔實用標準文案8.設 A 是 mn 矩陣， B 是 nm矩陣 ( mn) ，則下列運算結果是m階方陣的是 ()(A) AB(B) AT BT(C) BA(D) ( A B)T9.A 和 B 均為 n 階方陣，且 ( AB) 2A 22 ABB2 ，則必有 ()(A) AE(B) BE(C) AB(D) ABBA10.設 A、B 均為 n 階方陣，滿足等式ABO ，則必有 ()(A) AO 或 BO(B) ABO(C) A0 或 B0(D)A B011.設 A 是方陣

6、，若有矩陣關系式ABAC ，則必有 ()(A) AO(B) BC 時 AO(C) AO 時 BC(D) A 0時BCa11a12a13a21a22a2312.已知方陣Aa21a22a23, Ba11a12a13，以及初等變換矩陣a31a32a33a31a11a32a12 a33a13010100P1100, P2010，則有 ()001101(A ) AP1P2B(B) AP2 P1 B(C) P2P1A B(D) P1P2A B13.設 A、B 為 n 階對稱陣且 B 可逆，則下列矩陣中為對稱陣的是( )(A )AB 1B 1 A(B) AB 1B 1A(C) B 1AB(D) ( AB)2

7、14.設 、B均為n階方陣，下面結論正確的是()A(A)若 A、B 均可逆，則 A+B 可逆(B)若 A、 B 均可逆，則 AB可逆(C)若均可逆，則可逆(D)若 + 可逆，則A、 B均可逆A+BA BA B15. 下列結論正確的是 ( )(A) 降秩矩陣經過若干次初等變換可以化為滿秩矩陣(B) 滿秩矩陣經過若干次初等變換可以化為降秩矩陣(C) 非奇異陣等價于單位陣(D) 奇異陣等價于單位陣16. 設矩陣 A 的秩為 r ，則 A 中 ( )(A) 所有 r 1 階子式都不為 0(B)所有 r 1 階子式全為 0(C) 至少有一個 r階子式不為0(D)所有 r 階子式都不為 017. 設、均為

8、n階矩陣，且=，以下式子A B CABCE精彩文檔實用標準文案(1)BCA= E，(2)BAC=E，(3)CAB=E，(4)CBA=E中，一定成立的是()(A) (1) (3)(B) (2) (3)(C) (1) (4)(D) (2) (4)18.設 A 是 n 階方陣，且 AsO ( s 為正整數 ) ，則 ( EA)1等于( )(A )1(B) EA 1(C) A A2.As(D) EA . As 1EA31219.已知矩陣 A101 ， A* 是 A的伴隨矩陣，則A* 中位于 (1,2) 的元素是 ( )214(A) 6(B) 6(C) 2(D) 220.已知 A為三階方陣， R( A)

9、 = 1，則 ()(A)R(A )3(B)R(A )2(C)R(A ) 1(D)R(A )021.已知 34 矩陣 A 的行向量組線性無關，則矩陣AT 的秩等于 ( )(A) 1(B) 2(C) 3(D) 422. 設兩個向量組 , , ., 和 , , ., 均線性無關，則 ( )12s12s(A) 存在不全為 0 的數 1 , 2 , ., s 使得 .0和 .01 12 2s s1 12 2s s(B)存在不全為0的數 1,2 , .,s 使得1( 11)2 (22 ).s (ss)0(C)存在不全為0的數 1,2 , .,s 使得1( 11)2 (22 ).s (ss)0(D)存在不全

10、為0的數 1,2 , .,s 和不全為0 的數1,2 ,.,s 使得 .0和.01 12 2s s1 12 2s s23. 設有 4 維向量組 , , ., ，則( )126(A) , , ., 中至少有兩個向量能由其余向量線性表示1 26(B) , , ., 線性無關1 26(C) , , ., 的秩為 41 26(D) 上述說法都不對24. 設 , , 線性無關，則下面向量組一定線性無關的是( )12 3(A ) 0, 2 , 3( B) 1, 22 , 3精彩文檔實用標準文案(C) , , ( D) , , 12233112233125. n 維向量組 , ., (3s n) 線性無關的

11、充要條件是()12s(A) , , ., 中任意兩個向量都線性無關1 2s(B) , , ., 中存在一個向量不能用其余向量線性表示1 2s(C) , , ., 中任一個向量都不能用其余向量線性表示1 2s(D) , , ., 中不含零向量1 2s26. 下列命題中正確的是 ( )(A)任意n個+1 維向量線性相關(B)任意n個+1 維向量線性無關nn(C)任意 n+1 個 n 維向量線性相關(D)任意 n+1 個 n 維向量線性無關a11 x1a12 x2.a1n xn027. 已知線性方程組a21 x1a22 x2.a2n xn0.的系數行列式 D =0，則此方程組 ( )a n1 x1a

12、n 2 x2.ann xn0(A)一定有唯一解(B)一定有無窮多解(C)一定無解(D)不能確定是否有解a11 x1a12x2.a1n xnb128.已知非齊次線性方程組a21x1a 22x2.a2n xnb2 的系數行列式D =0，把 D 的第一列.an1 x1an2 x2.a nn xnbn換成常數項得到的行列式D1 0 ，則此方程組 ()(A)一定有唯一解(B)一定有無窮多解(C)一定無解(D)不能確定是否有解29.已知 A為 mn 矩陣，齊次方程組Ax0 僅有零解的充要條件是 ()(A)A 的列向量線性無關(B)A的列向量線性相關(C)A 的行向量線性無關(D)A的行向量線性相關30.已

13、知 A為 mn 矩陣，且方程組Axb 有唯一解，則必有 ()(A ) R( A,b)m(B) R( A, b)n(C) R( A, b)m(D) R( A,b) n31. 已知 n 階方陣 A不可逆，則必有 ( )(A ) R( A) n(B) R( A)n 1(C)A 0(D) 方程組Ax0 只有零解32.n 元非齊次線性方程組Axb 的增廣矩陣的秩為n+1，則此方程組 ()(A) 有唯一解(B)有無窮多解(C) 無解(D)不能確定其解的數量33.已知 1, 2 是非齊次線性方程組 Axb 的任意兩個解，則下列結論錯誤的是( )精彩文檔實用標準文案(A) 是 Ax0的一個解(B)1 ( )

14、是 Axb 的一個解12122(C)12 是 Ax0的一個解(D)212 是 Ax b的一個解34.若 v1 , v2 , v3 , v4 是線性方程組 Ax0 的基礎解系，則v1v2 v3v4 是該方程組的 ( )(A)解向量(B)基礎解系(C)通解(D)A 的行向量35.若 是線性方程組Axb 的解， 是方程 Ax0 的解，則以下選項中是方程Ax b 的解的是 () (C為任意常數 )(A ) C(B) C C( C) C C( D) C 36.已知 mn 矩陣 A 的秩為 n 1 ， 1, 2 是齊次線性方程組Ax 0的任意兩個不同的解， k為任意常數，則方程組Ax0 的通解為 ()(A

15、 ) k(B ) k(C)(12)( D) k (12 )12k37. n 階方陣 A 為奇異矩陣的充要條件是 ( )(A)A 的秩小于 n( B) A0(C)A 的特征值都等于零(D)A 的特征值都不等于零38. 已知 A 為三階方陣， E 為三階單位陣， A 的三個特征值分別為 1, 2, 3 ，則下列矩陣中是可逆矩陣的是 ( )(A) AE(B)A E(C) A 3E(D) A 2E39.已知1,2是 n 階方陣 A 的兩個不同特征值，對應的特征向量分別為, ，則( )1 2(A)和 線性相關(B) 和 線性無關1212(C)和 正交(D) 和 的內積等于零121240.已知 A 是一個

16、 n ( 3) 階方陣，下列敘述中正確的是()(A)若存在數和向量 使得 A，則 是 A的屬于特征值的特征值(B)若存在數和非零向量 使得 ( E A)0 ，則是 A 的特征值(C) A 的兩個不同特征值可以有同一個特征向量(D) 若1,2,3是 A 的三個互不相同的特征值，, , 分別是相應的特征向量，則123, , 有可能線性相關12341.已知0 是矩陣 A 的特征方程的三重根，A 的屬于0 的線性無關的特征向量的個數為k，則必有 ()(A ) k3(B) k 3(C) k3( D) k 342.矩陣 A 與 B 相似，則下列說法不正確的是()精彩文檔實用標準文案(A)R( A) =R(

17、 B) (B)A = B(C) AB(D)A與 B 有相同的特征值43. n 階方陣 A 具有 n 個線性無關的特征向量是 A 與對角陣相似的 ( )(A)充分條件(B)必要條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件44. n 階方陣 A 是正交矩陣的充要條件是 ( )(A)A 相似于單位矩陣E(B)A 的 n 個列向量都是單位向量(C)ATA 1(D)A 的 n 個列向量是一個正交向量組45.已知 A 是正交矩陣，則下列結論錯誤的是()(A)A21(B)A必為1(C) A 1AT(D)A的行 ( 列 ) 向量組是單位正交組46. n 階方陣 A 是實對稱矩陣，則 ( )(A)A 相似于單位

18、矩陣E(B)A 相似于對角矩陣(C) A 1AT(D)A 的 n 個列向量是一個正交向量組47. 已知 A 是實對稱矩陣， C是實可逆矩陣， B C T AC ，則 ( )(A)A與 B相似(B)A與 B不等價(C)A 與 B 有相同的特征值(D)A 與 B合同三、填空題1.已知 a31a2 i a13a5k a44是五階行列式中的一項且?guī)д?，則i =，k =.1232.已知三階行列式 D456 ， Aij 表示元素 aij 對應的代數余子式，則與 aA21 bA22 cA23789對應的三階行列式為.1313.已知 05x0 ，則 x =.1224.已知 A， B 均為 n 階方陣，且 A

19、 a 0, Bb 0 ，則精彩文檔實用標準文案( 2A)B T，1AB1.25.已知 A是四階方陣，且A13，則 A1，3 A*4 A 1.6.已知三階矩陣A 的三個特征值分別為1, 2,3 ，則4 A 13A*.7.設矩陣 Aa11a12a13， B 是方陣，且 AB有意義，則 B 是階矩陣， AB是行a21a22a23列矩陣 .8.已知矩陣ij)sn，滿足 AC CB ，則 A與 B 分別是，階矩陣.A, B, C (c9.可逆矩陣 A 滿足 A2A2EO，則A1.10.已知 (1,1,1)T , (x, 0, y)T , (1, 3, 2) T ，若 , , 線性相關， 則 x，y 滿足

20、關系式123123.a11a1211.矩陣 Aa21a 22 的行向量組線性關 .a31a3212.一個非齊次線性方程組的增廣矩陣的秩比系數矩陣的秩最多大.13.設 A 是3 4矩陣， R(A) 3，若 為非齊次線性方程組Axb的兩個不同的解，則1, 2該方程的通解為.14.已知 A 是 mn 矩陣， R( A)r (n) ，則齊次線性方程組Ax 0 的一個基礎解系中含有解的個數為.121x1115.已知方程組23 a2x22無解，則 a = .1a2x331 x1x2x3016.若齊次線性方程組x1x2x30 只有零解，則需要滿足.x1x2x3020117.已知矩陣 A31x可相似對角化，則

21、x =.40518.已知向量 、 的長度依次為2 和 3，則向量內積 , .1419.已知向量 a0, b2 ， c 與 a 正交，且 ba c ，則， c =.23121220.已知 x1為 A5a3的特征向量，則a =，b =.11b2精彩文檔實用標準文案21.已知三階矩陣A 的行列式 A 8 ，且有兩個特征值1 和 4，則第三個特征值為.22.設實二次型f ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) 的秩為 4，正慣性指數為 3，則其規(guī)范形 f ( z1 , z2 , z3 , z4 , z5 )為.23.二次型 f (x1, x2 , x3)2 x1x2 4x2 x33x32

22、 的矩陣為.12024.已知 二 次型f ( x, y, z)的矩陣為235 ，則此二次型050f ( x, y, z).25.已知二次型 f ( x , x2, x )2 x23x2tx22x x2 x x是正定的， 則 t 要滿足.131231213四、行列式計算1. 已知 A，B 為三階方陣，A1, B2 ，求行列式(2 AB* ) 1 A .204231212. 已知行列式 D12，求 5 A11 A21 4 A31 A41 .62910220.102.02，另外兩個角落的元素3. 計算 n 階行列式 Dn，其中主對角線上的元素都是10.2是 1，其它元素都是 0.x a . aax.

23、a4. 計算 n 階行列式 Dn.aa.x精彩文檔實用標準文案210.00121.005. 計算 n 階行列式 Dn 012.00 .000.12x abcdax bcd6. 計算行列式bx c.adabcx d1 x11111 x117. 計算行列式 D11 y.111111 yx1 3x2.xnx1x2 3.xn.8. 計算行列式 D nx1x2.xn 3五、矩陣計算1202311.設A340ABT；(2) 4A 1 ., B4，求 (1)12120222202.已知A1 42 , B2 5，且 AXB X，求 X.212112013.設A 020，B 均為三階方陣， E 為三階單位陣，且

24、 AB E A2B，求 B.101110021344.設B01100213X 滿足關系式001, C002， E 為四階單位陣，且矩陣1100010002X(C B)TE，求X.精彩文檔實用標準文案1301205. 已知，求 X61, B，且A 2XAB013.011123k6.設A12k3 ，問：當 k 取何值時， 有 (1) R( A)1；(2) R( A)2 ；(3) R(A) 3.k23六、向量組的線性相關性及計算13451.設 11, 24, 3121, 4，求向量組 1, 2 , 3, 4 的秩和一個最大線性1232231無關向量組，并判斷, , , 是線性相關還是線性無關 .12

25、3412132.設 49, 0, 10, ，求此向量組的秩和一個最大無關組，并將其112133470317余向量用該最大無關組線性表示.a1 21 23.當 a 取何值時，向量組1 2 , a , 1 2 線性相關？1231 21 2a1144. 將向量組 12, 23 , 31 規(guī)范正交化 .110七、線性方程組的解21301. 給定向量組 1, 3, 0, 1，試判斷 是否為 , , 的線性組1022324441233419合；若是，則求出線性表達式.精彩文檔實用標準文案4 x12x2x322. 求解非齊次線性方程組3x1 x2 2x3 10 . 11x1 3 x2 8x1x23x3x41

26、3. 求解非齊次線性方程組3x1x23x34x44 .x15 x29x38x40x1x22 x3k4. 當 k 滿足什么條件時， 線性方程組 x2x2kx3k 2 有唯一解， 無解，有無窮多解？并在12xx2k 2 x013有無窮多解時求出通解.kx1(k1) x2x315. 當 k 滿足什么條件時， 線性方程組kx1kx2 x32有唯一解，無解，有無窮多解？2kx12(k1) x2kx32并在有無窮多解時求出通解.x1x2x3x4x526.已知非齊次線性方程組Ax3x12x2x3x43x5ab 為x22x32 x46x5，問：當 a、b 取何值時，方35x14 x23x33x4x5b程組 A

27、xb 有無窮多個解？并求出該方程組的通解.x1x2x3 07.設方程組 x12 x2ax30 與方程 x12x2x3a1 有公共解，求a 的值 .x4 xa 2 x30128. 設四元非齊次線性方程組Ax b 的系數矩陣 A 的秩為 3，已知 , , 是它的三個解向量，12321且 3， 2，求該方程組的通解 .14233549. 設非齊次線性方程組Axb 的增廣矩陣 AA b ， A 經過初等行變換為11012A01131，00003精彩文檔實用標準文案則 (1)求對應的齊次線性方程組Ax0 的一個基礎解系；(2) 取何值時，方程組 Ax b 有解？并求出通解 .八、方陣的特征值與特征向量2

28、002001.已知A 001, B0y0，若方陣 A 與 B 相似，求 x、 y 的值 .01x001010010003，求 y 的值 .2. 設方陣 A0y的一個特征值為0100123. 已知三階方陣A 的特征值為1、 2、3 ，求行列式A 13A2 E 的值 .2114.求方陣A020的特征值與對應的特征向量 .4130115.設A101，求可逆矩陣P，使得 P 1 AP 為對角矩陣 .1102206.設A212 ，求正交矩陣P，使得 P 1 AP 為對角矩陣 .0201107. 已知矩陣 A430, 判斷是否存在一個正交矩陣P, 使得 P 1AP為對角矩陣 .1020228. 已知矩陣 A234的特征值為1、1、 8 ，求正交矩陣 P，使得 P 1 AP 為對角陣 .243九、二次型精彩文檔實用標準文案1. 當 t 取何值時， f ( x , x, x)x24 x24x22tx1x22x x34 x x 為正定二次型？1231231232. 求一個正交變換把二次型f ( x1 , x2 , x3 )2x1x22 x2 x32x3 x1 化成標準