七年級奧數(shù)階梯訓(xùn)練（3）計數(shù)原理

1、計數(shù)原理一、填空題（共9小題，每小題4分，滿分36分）1、如圖1，從甲地到乙地共有4條路可走，從乙地到丙地有3條路可走，從甲地到丙地有5條路可走，那么從甲地到丙地共有_條路可走 圖1 圖2 圖3 2、第一個口袋中裝2個球，第二個口袋中裝4個球，第三個口袋中裝5個球，所有三個口袋中的球各不相同（1）從口袋中任取一個球，共有 _種不同的取法（2）從三個口袋中各取一個球，有 _種不同的取法3、如圖2，在四個正方形拼接成的圖形中，以這個十個點中任意三點為頂點，共能組成_個等腰三角形4、畫一條直線，可將平面分成2個部分，畫2條直線，最多可將平面分成4個部分，那么，畫6條直線最多可將平面分成_個部分5、5

2、人站成一排照相，其中一人必須站在中間，有_種站法6、在l到300這300個自然數(shù)中，不含有數(shù)字3的自然數(shù)有 _個7、跳格游戲：如圖3，人從格外只能進(jìn)入第1格；在格中，每次可向前跳l格或2格，那么人從格外跳到第6格可以有_種方法8、如圖4，由18個邊長相等的正方形組成的長方形ABCD中，包含“”在內(nèi)的長方形及正方形一共有_個 圖4 圖5 圖6 圖7 9、如圖5，圖中陰影部分的面積S2=_二、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分）10、圖6中的小方格是邊長為1的正方形，則從圖中一共可以數(shù)出（）個正方形A、24B、210 C、50D、9011、如圖7，一共能數(shù)出（）個長方形（正方形也算作長方形）

3、A、64B、63 C、60D、4812、如圖8，兩個標(biāo)有數(shù)字的輪子可以分別繞輪子的中心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)停止時，每個輪子上方的箭頭各指著輪子上的一個數(shù)字，若左圖輪子上方的箭頭指著的數(shù)字為a，右圖輪子上方的箭頭指著的數(shù)字為b，數(shù)對（a，b）所有可能的個數(shù)為n，其中a+b恰為偶數(shù)的不同數(shù)對的參數(shù)為m，則m/n等于（）A、B、 C、D、 圖8 圖9 圖10 13、如圖9，從A點到B點（只從左向右，從上到下），共有（）種不同的走法A、24B、20 C、16D、1214、（2003南寧）一條信息可通過如圖10的網(wǎng)絡(luò)線由上（A點）往下向各站點傳送例如信息到b2點可由經(jīng)a1的站點送達(dá)，也可由經(jīng)a2的站點送達(dá)，共有兩

4、條途徑傳送則信息由A點到達(dá)d3的不同途徑共有（）A、3條B、4條 C、6條D、12條15、如圖11，圖中不同的線段的條數(shù)有（）A、52條B、63條 C、141條D、154條 圖11 圖12 16、平面內(nèi)的9條直線任兩條都相交，交點數(shù)最多有m個，最少有n個，則m+n等于（）A、36B、37 C、38D、3917、如圖12儀表板上有四個開關(guān)，如果相鄰的兩個開關(guān)不能同時是關(guān)的，那么所有不同的狀態(tài)有（）。 A、4種B、6種 C、8種D、12種三、解答題（共8小題，滿分90分）18、我們知道，兩條直線相交，有且只有一個交點，三條直線相交，最多只有三個交點，那么，四條直線相交，最多有多少個交點？一般地，n

5、條直線最多有多少個交點？說明理由19、由0、1、2、3、4、5、6這7個數(shù)字，可以組成（1）多少個四位數(shù)，其中有多少個奇數(shù)，有多少個偶數(shù)？（2）多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中有多少個奇數(shù)，多少個偶數(shù)？20、兩條直線上各有n個點，用這n對點按如下規(guī)則連接線段：同直線上的點不連接；連接的任意兩條線段可以有共同的端點，但不得有其它的端點；（1）畫圖說明當(dāng)n=1、2、3時，連接的線段最多各有多少條？（2）由（1）猜想n（n為正整數(shù)）對點之間連接的線段最多有多少條，證明你的結(jié)論（3）當(dāng)n=2003時，所連接的線段最多有多少條？21、如圖，左右相鄰兩點，上下相鄰兩點之間距離都等于1厘米，把這些點連接起來

6、，作為三角形的頂點，那么可以組成多少個直角三角形？22、用數(shù)字0，1，2，3，4可以組成多少個（1）四位數(shù)？（2）四位偶數(shù)？（3）沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？（4）沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？23、平面上5個圓最多能把平面分成多少個部分？一般地，n個圓最多能把平面分成多少個部分？24、5個人站成一排照相（1）若甲、乙兩人必須相鄰，則有多少不同的站隊方法？（2）若甲、乙兩人必不相鄰，則有多少不同的站隊方法？25、將編號為1，2，3，4，5的五個小球放入編號為1，2，3，4，5的五個盒子中，每個盒子只放入一個，一共有多少種不同的放法？若編號為1的球恰好放在了1號盒子中，共有多少種不同的放法？若至少有一個球放

7、入了同號的盒子中（即對號放入），共有多少種不同的放法？答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題（共9小題，每小題4分，滿分36分）1、17條路可走考點：加法原理與乘法原理。2、（1）從口袋中任取一個球，共有 11種不同的取法（2）從三個口袋中各取一個球，有 40種不同的取法3、30個等腰三角形解：以點A1、A2、A3、A10、A9為直角頂點的等腰直角三角形分別有1個、1個、4個、5個、1個共12個，其中以A3為直角頂點的4個等腰直角三角形分別是A2A3A10、A4A3A10、A1A3A7、A5A3A9；以A10為直角頂點的5個等腰直角三角形分別是A1A10A3、A3A10A7、A7A10A9、A2A10A4、

8、A4A10A8再根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知：在整個圖形內(nèi)共可組成12×2=24個等腰直角三角形頂點分別為：A8，A7，A6（此類三角形有2個）、A8，A4，A6（此類三角形有4個）故答案為30個4、22個部分設(shè)直線條數(shù)有n條，分成的平面最多有m個有以下規(guī)律：m=1+1+（n1）=+1畫6條直線最多可將平面分成+1=225、5人站成一排照相，其中一人必須站在中間，有24種站法6、242個專題：分類討論。解：解法1：將符合要求的自然數(shù)分為以下三類：（1）一位數(shù)，有1，2，4，5，6，7，8，9共8個（2）二位數(shù)，在十位上出現(xiàn)的數(shù)字有1，2，4，5，6，7，8，9共8種情形，在個位上出現(xiàn)的數(shù)字除以

9、上八個數(shù)字外還有0，共9種情形，故二位數(shù)有8×9=72個（3）三位數(shù)，在百位上出現(xiàn)的數(shù)字有1，2兩種情形，在十位、個位上出現(xiàn)的數(shù)字則有0，1，2，4，5，6，7，8，9九種情形，故三位數(shù)有2×9×9=162個因此，從1到300的自然數(shù)中完全不含數(shù)字3的共有8+72+162=242個解法2：將0到299的整數(shù)都看成三位數(shù)，其中數(shù)字3不出現(xiàn)的，百位數(shù)字可以是0，1或2三種情況十位數(shù)字與個位數(shù)字均有九種，因此除去0共有3×9×91=242（個）7、8種方法解：每次向前跳l格，有唯一的跳法；僅有一次跳2格，其余每次向前跳l格，有4種的跳法；有兩次跳2格

10、，其余每次向前跳l格，有3種的跳法則共有1+4+3=8種8、36個解：包含有“”在內(nèi)的長方形：長×寬=2×1，3個；長×寬=3×1，4個；長×寬=3×2，5個；長×寬=4×1，3個；長×寬=4×2，3個；長×寬=4×3，3個；長×寬=5×1，2個；長×寬=5×2，2個；長×寬=5×3，2個；長×寬=6×1，1個；長×寬=6×2，1個；長×寬=6×3，1個；合

11、計30個包含有“”在內(nèi)的正方形：邊長×邊長=1×1，1個；邊長×邊長=2×2，2個；邊長×邊長=3×3，3個；合計6個包含有“”在內(nèi)的長方形及正方形一共有36個9、考點：三角形的面積。解：連OC，則OC平分ACB，又AOB與BOE的高相等， 二、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分）10、C11、B12、C13、B點評：本題考查了加法原理，解題的關(guān)鍵是按照題目的要求，漸次地尋找到達(dá)每一個點的不同走法的種數(shù)，并在相應(yīng)的位置上記錄下來14、C解：畫樹狀圖得：所以有6種；15、D點評：本題考查點與線段的關(guān)系，有一定難度，仔細(xì)觀察圖形是關(guān)

12、鍵16、B解：三條最多交點數(shù)的情況就是第三條與前面兩條都相交：1+2四條最多交點數(shù)的情況就是第四條與前面三條都相交：1+2+3五條最多交點數(shù)的情況就是第五條與前面四條都相交：1+2+3+4六條最多交點數(shù)的情況就是第六條與前面五條都相交：1+2+3+4+5七條最多交點數(shù)的情況就是第七條與前面六條都相交：1+2+3+5+6八條最多交點數(shù)的情況就是第八條與前面七條都相交：1+2+3+5+6+7九條最多交點數(shù)的情況就是第九條與前面八條都相交：1+2+3+4+5+6+7+8=36則m+n=1+36=3717、C解：我們用O表示開的狀態(tài)，F(xiàn)表示關(guān)的狀態(tài)，則各種不同的狀態(tài)有000O，000F，00FO，0F

13、0O，F(xiàn)OO0，F(xiàn)OF0，0FOF，F(xiàn)00F共8種狀態(tài)三、解答題（共8小題，滿分90分）18、解：如圖：2條直線相交有1個交點；3條直線相交有1+2個交點；4條直線相交有1+2+3個交點；5條直線相交有1+2+3+4個交點；6條直線相交有1+2+3+4+5個交點；n條直線相交有1+2+3+5+（n1）=個交點所以a=，而b=119、解：（1）這個四位數(shù)的最高位不能是0，故最高位有6種選法（即選16中任一個數(shù)字），其余各位，可以從06這7個數(shù)字中任選，故共有6×7×7×7=2058個四位數(shù)，奇數(shù)的個數(shù)也可以用類似的方法獲得，有6×7×7×

14、;3=882個，有偶數(shù)2058882=1176個；（2）這個四位數(shù)的最高位不能是0，故最高位有6種選法（即選16中任一個數(shù)字），第三位有6種選法，第二位有5種選法，第一位有4種選法，根據(jù)乘法原理，故沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有6×6×5×4=720個，因為當(dāng)四位數(shù)為奇數(shù)時，個位數(shù)字為1，3，5有3種選法，由于數(shù)不重復(fù)，千位不能為0，所以千位有5種選法，百位有5種選法，十位數(shù)字有4種選法，所以其中奇數(shù)有3×5×5×4=300個，其中偶數(shù)有720300=420個點評：本題考查的是乘法原理，要確定四位數(shù)，必須一位一位來考慮，顯然計數(shù)時，需要用乘法

15、原理，（2）問與（1）問的差別在于，增加了“沒有重復(fù)”的限制20、解：（1）如圖可以看出，n=1時，最多可以連接1條線段，n=2時，最多可以連接3條線段，n=3時，最多可以連接5條線段（2）猜想：對于正整數(shù)n，這n對點之間連接的直線段最多有2n1條證明：將直線標(biāo)記為l1，l2，它們上面的點從左到右排列為A1，A2A3，An和B1，B2，B3，Bn，設(shè)這n對點之間連接的直線段最多有Pn條，顯然，其中必有AnBn這一條，否則，Pn就不是最多的數(shù)當(dāng)在l1，l2分別加上笫n+1個點時，不妨設(shè)這兩個點在An與Bn的右側(cè)，那么除了原來已經(jīng)有的Pn條直線段外，還可以連接An+1Bn，An+1Bn+1這兩條線

16、段，或連接AnBn+1，An+1Bn+1，這兩條線段所以Pn+1Pn+2另一方面，設(shè)對于n+1對點有另一種連法：考慮如圖所示以An+1為端點的線段，若以An+1為端點的線段的條數(shù)大于1，則一定可以找到一個in，使得對于任意的ji，An+1Bj都不在所畫的線段中，這時，Bi+1，Bi+2，Bn+1只能與An+1連接，不妨設(shè)An+1Bi+1，An+1Bi+2，An+1Bn+1都已連接，此時圖中的線段數(shù)為Pn+1，我們做如下操作：去掉An+1Bi，連接AnBi+1，得到新的連接圖，而新的連接圖滿足要求且線段總數(shù)不變，將此操作一直續(xù)斷下去，直到與An+1連接的線段只有一條An+1Bn+1為止最后圖中，

17、與點Bn+1相關(guān)的線段只剩兩條，即AnBn+1，An+1Bn+1，去掉這兩條線段，則剩余Pn+22條線段，而圖形恰是n對點的連接圖，所以Pn+12Pn由此，我們得到Pn+1=Pn+2，而P1=1，P2=3，所以Pn=1+2×（n1）=2n1（3）當(dāng)n=2003時，P2003=4005（條）點評：此題考查了平面圖形的有規(guī)律變化，要求學(xué)生通過觀察圖形，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題21、解：正方形的4個頂點，每個頂點為直角頂點時，都能構(gòu)成4個直角三角形；正方形邊長正中間的點為直角頂點時，每個頂點處有5個直角三角形；正中間的點為直角頂點時，頂點處有8個直角三角形；共有直角三角

18、形的個數(shù)為4×4+5×4+8×1=44個點評：考查圖形的規(guī)律性；根據(jù)每個點都能做直角三角形的直角頂點找直角三角形的個數(shù)是解決本題的關(guān)鍵22、解：（1）這個四位數(shù)的最高位不能是0，故最高位有4種選法（即選14中任一個數(shù)字），其余各位可以從04這5個數(shù)字中任選，故共有4×5×5×5=500個四位數(shù)；（2）偶數(shù)的個數(shù)也可以用類似的方法獲得，有4×5×5×3=300個；（3）這個四位數(shù)的最高位不能是0，故最高位有4種選法（即選14中任一個數(shù)字），第三位有4種選法，第二位有3種選法，第一位有2種選法，根據(jù)乘法原理，

19、故沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有4×4×3×2=96個；（4）因為當(dāng)四位數(shù)為奇數(shù)時，個位數(shù)字為1，3，有2種選法，由于數(shù)不重復(fù)，千位不能為0，所以千位有3種選法，百位有3種選法，十位數(shù)字有2種選法，所以其中奇數(shù)有2×3×3×2=36個，其中偶數(shù)有9636=60個點評：本題考查的是乘法原理，要確定四位數(shù)，必須一位一位來考慮，顯然計數(shù)時，需要用乘法原理，（3）（4）問與（1）（2）問的差別在于增加了“沒有重復(fù)”的限制23、解：一個圓最多能把平面分成2個部分，2個圓最多能把平面分成4個部分；3個圓最多能把平面分成8個部分；現(xiàn)在加入第4個圓，為了使分

20、成的部分最多，第4個圓必須與前面3個圓都有兩個交點，如圖所示，因此得6個交點將第4個圓的圓周分成6段圓弧，而每一段圓弧將原來的部分一分為二，即增加了一個部分，于是4個圓最多將平面分成8+6=14個部分，同理，5個圓最多將平面分成14+8=22個部分，一般地，n個圓最多分平面為：2+1×2+2×2+（n1）×2，=2+21+2+（n1），=n2n+2點評：此題主要考查了數(shù)的規(guī)律，關(guān)鍵是分平面找出最多時數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，這是解決問題的關(guān)鍵24、解：（1）由題意得，把甲、乙看成一個整體有P22種站隊方法，其余4人有P44種隊方法，P22×P44=2×4

21、×3×2×1=48；（2）5個人自由站隊總數(shù)：P55=5×4×3×2×1=120，12048=72；答：若甲、乙兩人必須相鄰，則有48不同的站隊方法，若甲、乙兩人必不相鄰，則有72不同的站隊方法點評：本題考查了排列組合問題，正確理解定義，注意分步原理的應(yīng)用25、解：將第一個球先放入，有5種不同的方法，再放第二個球，這時以4種不同的放法，依此類推，放入第三、四、五個球，分別有3、2、1種放法，所以總共有5×4×3×2×1=120種不同的放法將1號球放在1號盒子中，其余的四個球隨意放，它們

22、依次有4、3、2、1種不同的放法，這樣共有4×3×2×1=24種不同的放法（解法一）在這120種放法中，排除掉全部不對號的放法，剩下的就是至少有一個球放入了同號的盒子中的放法種數(shù)為研究全部不對號的放法種數(shù)的計算法，設(shè)A1為只有一個球放入一個盒子，且不對號的放法種數(shù)，顯然A1=0，A2為只有二個球放入二個盒子，且不對號的放法種數(shù)，A2=1，A3為只有三個球放入三個盒子，且都不對號的放法種數(shù)，A3=2，An為有n個球放入n個盒子，且都不對號的放法種數(shù)下面我們研究An+1的計算方法，考慮它與An及An1的關(guān)系，如果現(xiàn)在有n個球已經(jīng)按全部不對號的方法放好，種數(shù)為An取其中的任意一種，將第n+1個球和第n+1個盒子拿來，將前面n個盒子中的任一盒子（如第m個盒子）中的球（肯定不是編號為m的球