FIR低通濾波器加窗效應(yīng)分析

1、目錄一.摘要 2二.引言 3三.FIR濾波器設(shè)計(jì) 4 3.1 線性相位FIR濾波器的條件與特點(diǎn) 3.2 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的基本原理 3.3 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的一般步驟 3.4 FIR濾波器加窗效應(yīng)分析 3.5 幾種常用窗函數(shù)簡(jiǎn)介 四 MATLAB仿真濾波實(shí)現(xiàn) 14 4.1 MATLAB軟件簡(jiǎn)介 4.2 設(shè)計(jì)中主要用到的MATLAB函數(shù) 4.3 實(shí)驗(yàn)程序及結(jié)果分析五 心得體會(huì)與總結(jié) 21六 參考文獻(xiàn) 22一.摘要 數(shù)字濾波器一詞出現(xiàn)在60年代中期。由于電子計(jì)算機(jī)技術(shù)和大規(guī)模集成電路的發(fā)展，數(shù)字濾波器已可用計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)，也可用大規(guī)模集成數(shù)字硬件實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。數(shù)字濾波器是一個(gè)離散時(shí)

2、間系統(tǒng)（按預(yù)定的算法，將輸入離散時(shí)間信號(hào)(對(duì)應(yīng)數(shù)字頻率)轉(zhuǎn)換為所要求的輸出離散時(shí)間信號(hào)的特定功能裝置）。應(yīng)用數(shù)字濾波器處理模擬信號(hào)（對(duì)應(yīng)模擬頻率）時(shí)，首先須對(duì)輸入模擬信號(hào)進(jìn)行限帶、抽樣和模數(shù)轉(zhuǎn)換。數(shù)字濾波器輸入信號(hào)的數(shù)字頻率（2*f/fs,f為模擬信號(hào)的頻率，fs為采樣頻率，注意區(qū)別于模擬頻率),按照奈奎斯特抽樣定理，要使抽樣信號(hào)的頻譜不產(chǎn)生重疊，應(yīng)小于折疊頻率（ws/2=)，其頻率響應(yīng)具有以2為間隔的周期重復(fù)特性，且以折疊頻率即=點(diǎn)對(duì)稱。為得到模擬信號(hào)，數(shù)字濾波器處理的輸出數(shù)字信號(hào)須經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換、平滑。數(shù)字濾波器具有高精度、高可靠性、可程控改變特性或復(fù)用、便于集成等優(yōu)點(diǎn)。數(shù)字濾波器在語(yǔ)言信號(hào)處

3、理、圖像信號(hào)處理、醫(yī)學(xué)生物信號(hào)處理以及其他應(yīng)用領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。數(shù)字濾波器有低通、高通、帶通、帶阻和全通等類型。它可以是時(shí)不變的或時(shí)變的、因果的或非因果的、線性的或非線性的。應(yīng)用最廣的是線性、時(shí)不變數(shù)字濾波器，以及f.i.r濾波器。22二.引言 隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)字信號(hào)處理已成為一個(gè)極其重要的學(xué)科和技術(shù)領(lǐng)域。在通信、語(yǔ)音、圖像、自動(dòng)控制和家用電器等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。數(shù)字濾波是數(shù)字信號(hào)處理的重要環(huán)節(jié)，它在數(shù)字信號(hào)處理中占有著重要的地位,它具有可靠性好、精度高、靈活性大、體積小、重量輕等優(yōu)點(diǎn)。隨著數(shù)字技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字濾波器越來(lái)越受到人們的重視，廣泛地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。數(shù)字濾波器的

4、輸入輸出信號(hào)都是數(shù)字信號(hào)，它是通過(guò)一定的運(yùn)算過(guò)程改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波的，這種運(yùn)算過(guò)程是由乘法器、加法器和單位延遲器組成的。數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的重要內(nèi)容，其對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行的最常見(jiàn)處理是保留數(shù)字信號(hào)中的有用頻率成分和去除信號(hào)中的無(wú)用頻率成分。按照時(shí)間域的特性，數(shù)字濾波器可以分為無(wú)限沖激脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器（IIR濾波器）和有限沖激脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器（FIR濾波器）。 三 FIR濾波器設(shè)計(jì)3.1 線性相位FIR濾波器的條件與特點(diǎn) FIR DF的系統(tǒng)函數(shù)無(wú)分母，為，系統(tǒng)頻率響應(yīng)可寫成：，令，H(w)稱為幅度函數(shù)，稱為相位函數(shù)。這與模和幅角的

5、表示法有所不同，H(w)為可正可負(fù)的實(shí)數(shù)，這是為了表達(dá)上的方便。 線性相位的FIR濾波器是指其相位函數(shù)滿足線性方程： （是常數(shù)）根據(jù)群時(shí)延的定義，式中表示系統(tǒng)群時(shí)延，表示附加相移。線性相位的FIR系統(tǒng)都具有恒群時(shí)延特性，因?yàn)闉槌?shù)，但只有0的FIR系統(tǒng)采具有恒相時(shí)延特性。第一類FIR DF的特點(diǎn)：恒相時(shí)延，相位曲線是過(guò)原點(diǎn)的曲線；可通過(guò)h(n)靈活設(shè)計(jì)幅度函數(shù)的零點(diǎn)位置；幅度函數(shù)對(duì)頻率軸零點(diǎn)偶對(duì)稱，對(duì)點(diǎn)偶對(duì)稱。第二類FIR DF的特點(diǎn)：恒相時(shí)延，相位曲線是過(guò)原點(diǎn)的直線；幅度函數(shù)對(duì)頻率軸零點(diǎn)偶對(duì)稱；幅度函數(shù)對(duì)頻率軸點(diǎn)奇對(duì)稱。由的連續(xù)性，點(diǎn)一定是幅度函數(shù)的零點(diǎn)。即時(shí)，在z=-1處有零點(diǎn)；因此這類濾

6、波器不適合高通或帶阻濾波器。第三類FIR DF的特點(diǎn)：恒群時(shí)延，有附加相移，相位曲線是截距為、斜率為的直線；幅度函數(shù)對(duì)零頻點(diǎn)奇對(duì)稱，零頻是的零點(diǎn)；對(duì)奇對(duì)稱，也是的零點(diǎn)。第四類FIR DF的特點(diǎn)：恒群時(shí)延，有附加相移，相位曲線是截距為、斜率為的直線；幅度函數(shù)對(duì)零頻點(diǎn)奇對(duì)稱，零頻是的零點(diǎn)；對(duì)偶對(duì)稱。3.2 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的基本原理 設(shè)所希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為。那么FIR濾波器的設(shè)計(jì)就在于尋找一個(gè)傳遞函數(shù)去逼近。在這種逼近中最直接的一種方法是從單位取樣響應(yīng)序列著手，使逼近理想的單位取樣響應(yīng)。我們知道可以從理想頻率響應(yīng)通過(guò)傅里葉反變換來(lái)得到，即： 但是一般來(lái)說(shuō)，這樣得到的單位取樣

7、響應(yīng)往往都是無(wú)限長(zhǎng)序列；而且是非因果的。我們以一個(gè)截止頻率為的線性相應(yīng)位理想低通為例來(lái)說(shuō)明。設(shè)低通濾波器的時(shí)延為，即： 則這是一個(gè)以為中心的偶對(duì)稱的無(wú)限長(zhǎng)非因果序列。這樣一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的序列怎樣用一個(gè)有限長(zhǎng)序列去近似呢？最簡(jiǎn)單的辦法就是直接截取它的一段來(lái)代替它。例如把到的一段截取來(lái)作為，但是為要保證所得到的是線性相位濾波器。必須滿足的對(duì)稱性，所以時(shí)延應(yīng)該取長(zhǎng)度的一半，即這種直接截取的辦法可以形象地想象為：好比是通過(guò)一個(gè)“窗口”所看到的一段。中表達(dá)為和一個(gè)“窗口函數(shù)”的乘積。在這里，窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)，即 但是一般來(lái)說(shuō)，窗口函數(shù)并不一定是矩形函數(shù)，可以在矩形以內(nèi)還對(duì)作一定的加權(quán)處理，因此，一般

8、可以表示為 這里就是窗口函數(shù)。按照復(fù)卷積公式，在時(shí)域中的乘積關(guān)系可表示成在頻域中的周期性卷積關(guān)系，即可得所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的頻率響應(yīng):其中，為截?cái)啻昂瘮?shù)的頻率特性。由此可見(jiàn)，實(shí)際的FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)逼近理想濾波器頻率響應(yīng)的好壞，完全取決于窗函數(shù)的頻率特性。如果w(n)具有下列形式：w(n)相當(dāng)于一個(gè)矩形，我們稱之為矩形窗。即我們可采用矩形窗函數(shù)w(n)將無(wú)限脈沖響應(yīng)截取一段來(lái)近似為。3.3用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的一般步驟（1）確定逼近理想濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)；（2）求出理想的單位抽樣響應(yīng)；（3）根據(jù)過(guò)渡帶寬和阻帶最小衰件等要求，選擇窗函數(shù)，并確定窗口長(zhǎng)度；（4）求所設(shè)計(jì)的FIR濾

9、波器的單位抽樣響應(yīng)；（5）計(jì)算頻率響應(yīng)，驗(yàn)算指標(biāo)是否滿足要求，若不滿足，則要重新設(shè)計(jì)3.4 FIR濾波器加窗效應(yīng)分析經(jīng)過(guò)加矩形窗后所得的濾波器實(shí)際頻率響應(yīng)能否很好地逼近理想頻率響應(yīng)呢？下圖給出了理想濾波器加矩形窗后的情況。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)如圖中左上角圖，矩形窗的頻率響應(yīng)為左下角圖。根據(jù)卷積定理，即得實(shí)際濾波器的頻率響應(yīng)圖形為圖中右圖。 圖（1）由圖可看出，加矩形窗后使實(shí)際頻率響應(yīng)偏離理想頻率響應(yīng)，主要影響有兩個(gè)方面：（1）在理想幅頻特性陡直邊緣處形成過(guò)渡帶，過(guò)渡帶寬取決于矩形窗函數(shù)頻率響應(yīng)的主瓣寬度。（2）過(guò)渡帶兩側(cè)形成肩峰和波紋，這是矩形窗函數(shù)頻率響應(yīng)的旁瓣引起的，旁瓣相對(duì)值越大，旁

10、瓣越多，波紋越多。3.5 幾種常用窗函數(shù)簡(jiǎn)介1.矩形窗矩形窗函數(shù)的時(shí)域形式可以表示為：它的頻域特性為：2.漢寧窗函數(shù)漢寧窗函數(shù)的時(shí)域形式可以表示為： 它的頻域特性為：其中，為矩形窗函數(shù)的幅度頻率特性函數(shù)。漢寧窗函數(shù)的最大旁瓣值比主瓣值低31dB，但是主瓣寬度比矩形窗函數(shù)的主瓣寬度增加了1倍，為8/N。3.海明窗函數(shù)海明窗函數(shù)的時(shí)域形式可以表示為: 它的頻域特性為:其中，為矩形窗函數(shù)的幅度頻率特性函數(shù)。海明窗函數(shù)的最大旁瓣值比主瓣值低41dB，但它和漢寧窗函數(shù)的主瓣寬度是一樣大的。4.布萊克曼窗 增加一個(gè)二次諧波余弦分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但主瓣寬度進(jìn)一步增加，增加N可減少過(guò)渡帶。頻譜的幅度函數(shù)

11、為： +0.045.三角窗函數(shù)三角窗是最簡(jiǎn)單的頻譜函數(shù)為非負(fù)的一種窗函數(shù)。三角窗函數(shù)的時(shí)域形式可以表示為：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：它的頻域特性為：三角窗函數(shù)的主瓣寬度為8/N，比矩形窗函數(shù)的主瓣寬度增加了一倍，但是它的旁瓣寬度卻小得多。6.凱澤窗 以上幾種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價(jià)來(lái)降低旁瓣。凱澤窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減,如圖（2）。 圖（2）式中I0(x)是零階貝塞爾函數(shù)，參數(shù)可自由選擇，決定主瓣寬度與旁瓣衰減。越大，w(n)窗越窄，其頻譜的主瓣變寬，旁瓣變小。四 MATLAB仿真濾波實(shí)現(xiàn)4.1 MATLAB軟件簡(jiǎn)介MATLAB是由美國(guó)mathworks公司發(fā)布的主要面對(duì)科

12、學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當(dāng)今國(guó)際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平。4.2設(shè)計(jì)中主要用到的MATLAB 函數(shù)4.2.1 fir1 函數(shù) fir1 函數(shù)實(shí)現(xiàn)線性相位FIR 數(shù)字濾波器的窗函數(shù)法設(shè)計(jì). 利用這一函數(shù)可以設(shè)計(jì)出標(biāo)準(zhǔn)的低通、高通、帶通和帶阻線性相位FIR濾波器。調(diào)用格式：(1) b=fir1(

13、n,wn) 用海明窗設(shè)計(jì)低通或帶通的 FIR 濾波器. wn 是截止頻率，以“ð 弧度”為單位。 fir1函數(shù)返回FIR濾波器的系數(shù)向量b。如果wn 是一個(gè)標(biāo)量，則返回的是一個(gè)n 階的低通FIR 數(shù)字濾波器。 (2) b=fir1(n,wn, 'type', 'window') type為濾波器的類型，當(dāng)type=high 時(shí)，設(shè)計(jì)高通FIR濾波器；當(dāng)type=stop 時(shí)，設(shè)計(jì)帶阻FIR濾波器。向量window 用來(lái)指定窗函數(shù)類型，其長(zhǎng)度為n+1，缺省時(shí)為海明窗。4.2.2 freqz 函數(shù) 為了檢驗(yàn)所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器是否正確，可以畫出其幅頻特性.

14、MATLAB 提供了求解數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的函數(shù)freqz ，其調(diào)用格式如下：h,w=freqz(b,a,n)返回?cái)?shù)字濾波器的n點(diǎn)頻率響應(yīng)h和頻率向量w。若n缺省，則自動(dòng)取n為默認(rèn)值512。4.2.3 plot函數(shù)plot(Y)如果Y是m×n的數(shù)組，以1:m為X橫坐標(biāo)，Y中的每一列元素為Y坐標(biāo)，繪制n條曲線；如果Y是n×1或者1×n的向量，則以1:n為橫坐標(biāo)，Y為坐標(biāo)表繪制1條曲線；如果Y是復(fù)數(shù)，則plot(Y)等效于plot(real(Y),imag(Y)；其它使用情況下，忽略坐標(biāo)數(shù)據(jù)中的虛部。4.2.4 title函數(shù) title就是給已經(jīng)畫出的圖加一個(gè)標(biāo)題.

15、title ('')里面的內(nèi)容就是圖片標(biāo)題的名稱。4.2.5 legend函數(shù) legend(string1,string2,string3, .)分別將字符串1、字符串2、字符串3標(biāo)注到圖中，每個(gè)字符串對(duì)應(yīng)的圖標(biāo)為畫圖時(shí)的圖標(biāo)。4.2.6 xlabel（） ylabel（）函數(shù)Xlabel（）函數(shù)給x坐標(biāo)軸添加標(biāo)注，ylabel（）函數(shù)給y坐標(biāo)軸添加標(biāo)注。4.2.7 hold on Hold on命令可以保護(hù)當(dāng)前的坐標(biāo)系，使以后再使用plot（）函數(shù)時(shí)將新的曲線疊印在原來(lái)的圖上，用hold off則可以取消保護(hù)狀態(tài)。4.2.8 axisaxis（【xmin xmax ymin

16、 ymax】）設(shè)置坐標(biāo)軸的極限范圍。4.3實(shí)驗(yàn)程序及結(jié)果分析（1）相同的窗口加不同的窗長(zhǎng)(M=10,20,40)程序一、漢寧窗不同窗長(zhǎng)wc=0.25;N=11 21 41;M=N-1;hl1=fir1(M(1),wc,hanning(N(1);hl2=fir1(M(2),wc,hanning(N(2);hl3=fir1(M(3),wc,hanning(N(3);h1,w11=freqz(hl1,1,512);h2,w12=freqz(hl2,1,512);h3,w13=freqz(hl3,1,512);plot(w11/pi,20*log(abs(h1)/max(abs(h1);hold on

17、plot(w12/pi,20*log(abs(h2)/max(abs(h2),':');hold onplot(w13/pi,20*log(abs(h3)/max(abs(h3),'-');grid on;axis(0 1 -350 10);title('漢寧窗不同窗長(zhǎng)');xlabel('/'); ylabel('|H(ej)|');legend('M=10','M=20','M=40'); 圖（3） 圖（3）分別給出了M=10，M=20及M=40時(shí)的的幅頻特性曲線

18、。由圖可知當(dāng)M的值逐漸增大，即窗口的長(zhǎng)度逐漸變長(zhǎng)時(shí)，過(guò)渡帶的寬度逐漸變窄，但阻帶內(nèi)的波動(dòng)幅度沒(méi)有多大改善。說(shuō)明調(diào)整窗口長(zhǎng)度可以有效的控制過(guò)度帶的寬度，但不改變旁瓣的相對(duì)寬度，不能加大阻帶的衰減。 （2）不同窗口加相同的窗長(zhǎng)程序二、同窗長(zhǎng)的漢寧窗與矩形窗比較wc=0.25;N=21;M=N-1;hl1=fir1(M,wc,hanning(N);hl2=fir1(M,wc,boxcar(N);h1,w11=freqz(hl1,1,512);h2,w12=freqz(hl2,1,512);plot(w11/pi,20*log(abs(h1)/max(abs(h1);hold onplot(w12/pi,20*log(abs(h2)/max(abs(h2),':');grid on;axis(0 1 -350 10);title('同窗長(zhǎng)的漢寧窗與矩形窗比較