鉛錘高求三角形面積法

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔作三角形鉛錘高是解決三角形面積問題的一個(gè)好辦法-二次函數(shù)教學(xué)反思最近教學(xué)二次函數(shù)遇到很多求三角形面積的問題，經(jīng)過研究，我發(fā)現(xiàn)作三角形鉛錘高是解決三角形面積問題的一個(gè)好辦法。在課堂上我還風(fēng)趣地說遇到“歪歪三角形中間砍一刀”，同學(xué)們很快掌握了這種方法現(xiàn)總結(jié)如下：如圖1，過 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫 ABC的“水平寬” ( a) ，中間的這條直線在ABC內(nèi)部線段的長度叫ABC的“鉛垂高 ( h) ” . 我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S ABC1 ah ，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.2例 1（2013 深圳） 如圖，在

2、直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A 的坐標(biāo)為（2， 0），連結(jié) OA，將線段 OA繞原點(diǎn) O順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120°，得到線段OB.（ 1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（ 2）求經(jīng)過 A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式； （ 3）在（ 2）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C，使 BOC的周長最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 . （ 4）如果點(diǎn) P 是（ 2）中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在x 軸的下方，那么 PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P 點(diǎn)的坐標(biāo)及 PAB的最大面積；若沒有，請說明理由 .解：（ 1） B（ 1，3 ）（ 2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax( x+a) ，代入點(diǎn) B（ 1,3 ），得 a3

3、 ，因此 y3 x22 3 x333（ 3）如圖，拋物線的對稱軸是直線x= 1，當(dāng)點(diǎn) C位于對稱軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí)， BOC的周長最小 .k33233設(shè)直線 AB為 y=kx+b. 所以kb3,3，因此直線 AB為解得，yx，當(dāng)x= 1 時(shí)，y2k b0.b233333因此點(diǎn) C的坐標(biāo)為（ 1，3/3）.（ 4）如圖，過 P 作 y 軸的平行線交AB于 D.精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔1S PABS PADS PBD( yDyP )( xBxA )213x2332233233x3x3323x32x223193x228當(dāng) x= 1時(shí)， PAB的面積的最大值為93，此時(shí)P1,3 .2824例 2 (20

4、14益陽 )如圖 2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4),交 x 軸于點(diǎn) A(3,0)，交 y 軸于點(diǎn) B.(1) 求拋物線和直線 AB的解析式； (2) 點(diǎn) P 是拋物線 ( 在第一象限內(nèi) ) 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，當(dāng) P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí)，求的鉛垂高及S CAB；(3) 是否存在一點(diǎn)，使PAB= 9CAB，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；CABCDPS8S若不存在，請說明理由 .解：(1)設(shè) 拋 物 線 的 解 析 式 為 ： y1a( x 1) 24把 A（ 3,0） 代 入 解 析 式 求 得 a1 所 以y1( x1)24x22x3 設(shè)直線AB 的解析式為：y2kxb 由 y1x 22x

5、3求得 B點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 0,3)把A(3,0)， B(0,3)代入 y2kx b 中解得： k1, b3所以 y2x3·(2) 因?yàn)?C點(diǎn)坐標(biāo)為 ( ,4)所以當(dāng) x時(shí)， y1 4， y2 2所以 CD 4-2 2 S CAB1323(平方單2位 )(3) 假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，的鉛垂高為h，則PPABhy1 y2(x22x3)( x3)x23x 由 PAB9 S CAB得13(x293化簡得：S =823x)84x212x90 解得， x3將 x3代入 y1x 22x3中，解得 P點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 3 ,15)2224例 3（ 2015 江津） 如圖，拋物線yx2

6、bxc 與 x 軸交于 A(1,0),B(-3， 0) 兩點(diǎn)，（ 1）求該拋物線的解析式；（ 2）設(shè)（ 1）中的拋物線交y 軸于 C 點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得 QAC的周長最小？若存在，求出Q 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. （ 3）在（ 1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使 PBC的面積最大？，若存在，求出點(diǎn)P 的坐標(biāo)及 PBC的面積最大值 . 若沒有，請說明理由 .解： (1) 將 A(1 ， 0) ， B( 3，0) 代 yx2bxc 中得1bb2c 0393bc0c拋物線解析式為：yx22x3精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔(2) 存在。 理由如下：由題知 A、 B

7、兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸 x1 對稱直線 BC與 x1 的交點(diǎn)即為 Q點(diǎn)， 此時(shí) AQC周長最小 yx22x3 C 的坐標(biāo)為： (0 ， 3) 直線 BC解析式為： yx1的解x 3 Q 點(diǎn)坐標(biāo)即為xy3x1Q( 1， 2)y 2（ 3）答：存在。理由如下：設(shè) P 點(diǎn) (x， x22 x3)( 3x0)S BPCS四邊形 BPCOS BOCS四邊形 BPCO9 若 S四邊形 BPCO2有最大值，則 S BPC 就最大， S四邊形 BPCO SRt BPE S直角梯形 PEOC1BE PE1 OE (PEOC )22 1 ( x 3)( x22x 3)1 ( x)( x22x 3 3) 3 ( x

8、3) 29 27222228當(dāng) x3時(shí)， S四邊形 BPCO 最大值 927 S BPC最大 9279272282828當(dāng) x3時(shí)，x22x 315點(diǎn) P 坐標(biāo)為 ( 3，15)2424同學(xué)們可以做以下練習(xí)：1（ 2015 浙江湖州）已知如圖，矩形OABC的長 OA= 3 ，寬 OC=1，將 AOC沿 AC翻折得 APC。（ 1）填空： PCB=_度， P 點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）；精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔（ 2）若 P， A 兩點(diǎn)在拋物線y= 4 x2+bx+c 上，求 b， c 的值，并說明點(diǎn)C 在此拋物線上；3（ 3）在（ 2）中的拋物線CP段（不包括C，P 點(diǎn)）上，是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形MCA

9、P的面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。2（湖北省十堰市 2014 ）如圖， 已知拋物線yax2bx0）與x軸交于點(diǎn)(10)和點(diǎn)3 （ aA ，B ( 3， 0) ，與 y 軸交于點(diǎn) C(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)拋物線的對稱軸與x 軸交于點(diǎn) M ，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使 CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由(3) 如圖，若點(diǎn)E 為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、 CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)圖圖3.( 2015 年恩施 )如圖 11，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與

10、 x 軸交于 A、B錯(cuò)誤！未找到引用源。兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 3，0），與 y 軸交于 C（0， -3 ）點(diǎn)，點(diǎn) P 是直線 BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔（ 1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式（ 2）連結(jié) PO、PC，并把 POC沿 CO翻折，得到四邊形 POP錯(cuò)誤！未找到引用源。 C， 那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形 POP錯(cuò)誤！未找到引用源。 C為菱形？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（ 3）當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大并求出此時(shí)P 點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積 .解：（ 1）將 B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得錯(cuò)誤！未找到

11、引用源。解得：所以二次函數(shù)的表達(dá)式為：錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（ 2）存在點(diǎn) P，使四邊形 POPC為菱形 設(shè) P點(diǎn)坐標(biāo)為 （ x，），錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！ 未找到引用源。PP錯(cuò)誤！未找到引用源。交于E若四邊形POP錯(cuò)誤！未找到引用源。 C是菱形，則有 COPC PO連結(jié)PP錯(cuò)誤！未找到引用源。則于，OE=ECPECOE錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。=錯(cuò)誤！未找到引用源。 錯(cuò)誤！未找到引用源。=解得 錯(cuò)誤！未找到引用源。=，錯(cuò)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。誤！未找到引用源。=（不合題意，舍去）錯(cuò)誤！未找到引用源。 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）錯(cuò)誤！未找到引用源

12、。錯(cuò)誤！未找到引用源。（ 3）過點(diǎn) P作錯(cuò)誤！未找到引用源。軸的平行線與BC交于點(diǎn) Q，與 OB交于點(diǎn) F，設(shè) P（ x，錯(cuò)誤！未找到引用源。），易得，直線BC的解析式為錯(cuò)誤！未找到引用源。則 Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（ x， x3） .錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。=錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)時(shí)，四邊形 ABPC的面積最大錯(cuò)誤！未找到引用源。此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形的面積 錯(cuò)誤！未找到引用源。 ABPC錯(cuò)誤！未找到引用源。25（2015 綿陽 ）如圖，拋物線 y =ax2 + bx + 4與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（ 4， 0）、B（ 2， 0），與 y 軸交于點(diǎn) C，頂點(diǎn)為 DE（ 1， 2）

13、為線段 BC的中點(diǎn)， BC的垂直平分線與x 軸、 y 軸分別交于 F、 G（ 1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（ 2）在直線 EF上求一點(diǎn) H，使 CDH的周長最小，并求出最小周長；（ 3）若點(diǎn) K 在 x 軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) K 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， EFK的面積最大？并求出最大面精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔積【解析】（ 1）由題意，得16a4b40, 解得 a1 ， b = 14a2b40,2所以拋物線的解析式為y1 x 2x4 ，頂點(diǎn)D 的坐標(biāo)為（1， 9）22（ 2）設(shè)拋物線的對稱軸與x 軸交于點(diǎn) M因?yàn)?EF 垂直平分 BC，即 C 關(guān)于直線 EG的對稱點(diǎn)為 B，連結(jié) BD

14、交于 EF 于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)為所求點(diǎn)H，使 DH + CH 最小，即最小為DH+CH=DH+HB=BD=BM 2DM 2313 而 CD12( 94) 25 222 CDH的周長最小值為CD+DR+CH=53 132設(shè)直線 BD的解析式為 y = k1x + b，則2k1 b10,解得k13 ， b1 = 3 9 ,k1b122所以直線 BD的解析式為 y =3 x + 3 由于 BC = 25 ，CE = BC2 =5 ， Rt CEG COB，2得 CE:CO=CG:CB，所以 CG = 2.5， GO = 1.5 G（ 0， 1.5 ）同理可求得直線 EF 的解析式為 y = 1 x2+ 3 2聯(lián)立直線 BD與 EF 的方程，解得使CDH的周長最小的點(diǎn)H（ 3 ，15）48（ 3）如圖所示，設(shè) K（ t ，1 t 2t4