高一數(shù)學(xué)(插值多項(xiàng)式)1023Adoc

1、高一數(shù)學(xué) ( 插值多項(xiàng)式 ) 20131023_年_班座號(hào)_姓名_ 1 一、填充題(20 格每格 5分共 100分)1. 已知多項(xiàng)式 f (x) 的次數(shù)不超過 3次且滿足 f(5)11f(6)8 f (7)4 f(8)5 求 f (9)_解答17解析令 f ( x)11( x6)(x7)( x8)8( x5)( x7)( x8) )4( x5)( x6)( x8)(56)(57)(58)(65)(67)(68)(75)(76)(78)5( x5 )x (6x ) (7 )( 85 )( 87 )6)(8則 f(9)11(3213)842144315432113224201)( 2)(1(1)(

2、2)21( 1)321523517 2. 已知二次函數(shù)f(x) 使函數(shù)圖形通過坐標(biāo)平面上的三點(diǎn)(1,4) (0,2) (1,4) (3,) 則dABCDd_解答4解析依題意知 f(1)4 f (0)2 f(1)4設(shè) f ( x)A( x 1)( x 0)B( x 0)( x 1)C( x 1)( x 1)f (1)B(1)(2)4B2f (0)C(1)12C2f (1)A214A2f ( x)2( x1)(x0)2( x0)(x1)2( x1)(x1)3df (3)2432322244 x53x47x317 x2880x220 ，則 f (7)_. 設(shè) f ( x)答案：10解析：137178

3、802207+ 7+28+147+910+2101+4+21+130+3010 f (7)104. 設(shè)二次多項(xiàng)式 f (x) 滿足 f (111)12 f (112)6 f (113)4 求 f (114)_ 解答6解析設(shè) f ( x)a( x 112)( x113)b( x113)4 f (111)2 a2 b412 f (112)b46 a2 b2 得 f( x)2( x112)(x113)2( x113)4 故 f(114)22121465. 設(shè) a b c為相異三個(gè)實(shí)數(shù)且f ( x)a( xb)( xc)b( xa)( xc)c(xa)(xb) 求f (2010)( ab)( ac)(

4、ba)(bc)(ca)(cb)_解答2010解析 degf (x)2且 f ( a)a f ( b)bf ( c)cf ( x)x故 f(2010)2010 6. 三次多項(xiàng)式 f( x) f (1)5 f(2)6 f(3)11 f(4)8 則 f (x) 除以 ( x1)( x2)(x3)之餘式為 _解答2 x25 x8解析 degf ( x)3且 f(1)5 f(2)6 f(3)11 f(4)8 設(shè)f(x)(1)(x2)(x3)(2)(x3)(3)11 a xb xc xf (2)c116 c5 f (1)2 b2 c115 b2 f (4)6 a2 bc118 a2 所求2( x2)(x3

5、)5( x3)112 x25 x8 7. 若 f ( x)x45x34x26x2a(x1)4b( x 1)3c(x1)2d( x1)e ，則 ( a,b, c, d, e)_，且 f ( 0.99) _. ( 四捨五入到小數(shù)點(diǎn)第二位 )答案： (1, 9,25,33,18), 17.67解析：154621161016161016, 18171711 7 17, 331 8 11 8, 251 11,9(a, b, c, d ,e)(1, 9,25, 33,18) f ( x)( x1)49(x 1)325(x 1)233(x 1)18f (0.99)(0.01)49(0.01)325(0.01

6、)233(0.01)18 17.678. 已知二次多項(xiàng)式f ( x) 滿足 f (1)3 f (1)1 f (2)3求 f (3) 的值解答7解析利用二次插值公式得f ( x)3( x1)(x2)1 ( x1)(x2)3(x1)(x1) (11)(12)(11)(12)(21)(21)故 f (3)32114142(2)8 7 623139. 若 x4 8x325x230 x8a b( x1) c(x 1)(x 2) d ( x 1)(x 2)(x 3)e(x 1)( x2)( x 3)( x 4) ，則 d_.答案：2解析：設(shè) f ( x)x48x325x230x81825308 11718

7、12171812 ,4 a21016 2158 ,4b36312 ,2c4 41, 2 de d 210. 已知二次多項(xiàng)式 f( x) 滿足 f(1)10 f (2)5 f(3)6 求 f(0) 的值解答21解析利用二次插值公式得f ( x) 10( x2)( x3)5( x1)(x3)6(x1)(x2) (12)(13)(21)(23)(31)(32)故 f (0)10 (02)(03)5(01)(03)6(01)(02)21 (12)(13)(21)(23)(31)(32)【另解】利用牛頓插值法設(shè)f()(1)(x2)(1)cxa xb xf (1)c10再將 x1 23分別代入 f( x)

8、 得f (2)bc5f (3)2a2bc6解得 a3 b5 c10 即 f ( x)3( x1)(x2)5( x 1)10故 f (0)651021 11. 設(shè)多項(xiàng)式 f ( x) 分別除以 x1 x3 x5 所得餘式依序?yàn)? 4 8且 f ( x) 除以 ( x1)( x3)( x5) 的餘式為 r ( x) 求 r ( x) 的常數(shù)項(xiàng)解答18解析設(shè)f(x)除以 (x1)(x3)(x5) 所得的商式為()q xf (x) (x1)(x3)(x5) q( x)r ( x) 且 degr ( x)2將 x1 3 5 代入上式得f (1)r (1)f (3)r(3) f (5)r (5)r (1)

9、1 r (3)4 r (5)8依插值公式得r ( x)( x3)( x5)r (3)(x1)(x5)r (5)( x1)(x3)r (1)3)(15)(31)(35)(51)(53)(1r ( x) 的常數(shù)項(xiàng)r (0)1(03)(05)4(01)(05)8(01)(03)1 (13)(15)(31)(35)(51)(53)812. 由於多項(xiàng)式函數(shù)連續(xù)容易求值 等特點(diǎn)我們常用它來模擬近似其他函數(shù)各種多項(xiàng)式的插值法因此應(yīng)運(yùn)而生已知多項(xiàng)式f ( x) 滿足 f (3)24 f (1)4 f (3)6 試回答下列問題(1)degf ( x) 最低為多少(2) 應(yīng)用拉格朗日插值法求此最低次多項(xiàng)式解答(1

10、)2;(2)f (x)x25x解析(2)設(shè) f( x)a( x1)(x3)b( x3)( x3)c( x3)( x1)則 f (3)(4)(6) a24a1f ( 1 )1( 4 )b ( 2 ) b 42f (3 )(6c)( 2)c16故 f ( x)x25 x213. 多項(xiàng)式 f ( x)ax2bxc 滿足 f(2010)4 f (2011)2 f(2012)6 請(qǐng)算出此多項(xiàng)式解答(1)牛頓插值法f( x)3(x2010)( x2011)2( x2010)4(2) 拉格朗日插值法f( x)3( x2010)(x2011)2( x2011)(x2012)2( x2010)(x2012)解析

11、牛頓插值法令 f ( x)a( x2010)(x2011)d( x2010)ef(2010)4e4 f(2011)2d42d2 f(2012)62 a446a 3 f ( x)3( x2010)(x2011)2( x2010)4 拉格朗日插值法令 f ( x)a1( x2010)(x2011)a2( x2010)(x 2012)a3( x2011)( x2012) f(2010)42 a34a32 f(2011)2a22a22 f(2012)62 a16a13 f ( x)3( x2010)(x2011)2( x2010)( x2012)2( x2011)( x2012) 14. 下表是某燒瓶

12、中的水冷卻時(shí)在三個(gè)時(shí)間點(diǎn)水溫的紀(jì)錄表時(shí)間 x（分）568水溫 y（ C）776832(1) 求滿足 f(5)77 f (6)68 f(8)32的二次函數(shù) f( x) (2) 借用 (1) 中的f() 估計(jì)當(dāng)時(shí)間x7 （分）時(shí)的水溫x解答 (1)f (x)3( x5)( x6)9( x5)77;(2)53C解析 (1)利用牛頓插值法設(shè) f ( x)a( x5)( x6)b( x5)cf (5)c77再將x5 68 分別代入f() 得f (6)bc68xf (8)6a3b c32解得 a3 b9 c77 即 f( x)3(x5)( x6)9( x 5)77 (2) 將 x7代入 f( x) 得 f (7)6187753 即借用 f ( x) 估計(jì)當(dāng)