續(xù)61套中考壓軸題分類解析匯編專題03面積問題

1、2012年全國中考數(shù)學(xué)（續(xù)61套）壓軸題分類解析匯編專題3：面積問題21. （2012黑龍江大慶8分） 已知半徑為1cm的圓，在下面三個圖中AC=10cm，AB=6cm，BC=8cm，在圖2中ABC=90° （1）如圖1，若將圓心由點A沿AC方向運動到點C，求圓掃過的區(qū)域面積； （2）如圖2，若將圓心由點A沿ABC方向運動到點C，求圓掃過的區(qū)域面積； （3）如圖3，若將圓心由點A沿ABCA方向運動回到點A 則I）陰影部分面積為_ _；）圓掃過的區(qū)域面積為_ _【答案】解：（1）由題意得，圓掃過的面積=DE×AC+r2=（20+）cm2。（2）圓掃過的區(qū)域面積=AB的面積+B

2、C的面積一個圓的面積。結(jié)合（1）的求解方法，可得所求面積=（2r×AB+r2）+（2r×BC+r2）r2=2r（AB+BC）+r2=（28+）cm2。（3）I） cm2；）（+）cm2?！究键c】圓的綜合題，運動問題，銳角三角函數(shù)定義。【分析】（1）根據(jù)圖形可得，圓掃過的面積等于一個長為AC，寬為直徑的矩形面積，加上一個圓的面積，從而求解即可。（2）根據(jù)（1）的計算方法，由點A沿ABC方向運動到點C，求圓掃過的區(qū)域面積，等于AB的面積+BC的面積一個圓的面積。（3）作出如下圖形，利用解直角三角形的知識求出HE、HF、DN、MN，則可求出陰影部分的兩條直角邊，也可得出掃描后的面

3、積：由題意得，EF=2r=2cm，cm，cm。MD=2r=2cm，cm， cm。故可得掃過的面積=圖2的面積+SHEF+SDMN+S矩形EFMD=28+=（+）cm2。陰影部分的兩條直角邊分別為：ABrHF=cm、ACrMN=cm，故陰影部分的面積為：（cm2）。22. （2012湖北咸寧12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點C的坐標(biāo)為（0，4），動點A以每秒1個單位長的速度，從點O出發(fā)沿x軸的正方向運動，M是線段AC的中點將線段AM以點A為中心，沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段AB過點B作x軸的垂線，垂足為E，過點C作y軸的垂線，交直線BE于點D運動時間為t秒（1）當(dāng)點B與點D重合時，求t的值；（2

4、）設(shè)BCD的面積為S，當(dāng)t為何值時，?（3）連接MB，當(dāng)MBOA時，如果拋物線的頂點在ABM內(nèi)部（不包括邊），求a的取值范圍【答案】解：（1），。RtCAORtABE。，即，解得。 （2）由RtCAORtABE可知：，。當(dāng)08時，解得。當(dāng)8時，解得，（為負(fù)數(shù)，舍去）。當(dāng)或時，。（3）過M作MNx軸于N，則。當(dāng)MBOA時，BE=MN=2，OA=2BE=4。，拋物線的頂點坐標(biāo)為（5，）。它的頂點在直線上移動。直線交MB于點（5，2），交AB于點（5，1），12?！究键c】動點問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，二次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥浚?）由

5、RtCAORtABE得到，根據(jù)點B與點D重合的條件，代入CA=2AM=2AB，AO=1·t= t，BE（DE）=OC=4，即可求得此時t的值。（2）分08和8兩種情況討論即可。（3）求出拋物線的頂點坐標(biāo)為（5，），知它的頂點在直線上移動。由拋物線的頂點在ABM內(nèi)部（不包括邊）得12，解之即得a的取值范圍。23. （2012湖北荊州12分）如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸于點A、D，交y軸于點E，連接AB、AE、BE已知tanCBE=，A（3，0），D（1，0），E（0，3）（1）求拋物線的解析式及頂點B的坐標(biāo)；（2）求證：CB是

6、ABE外接圓的切線；（3）試探究坐標(biāo)軸上是否存在一點P，使以D、E、P為頂點的三角形與ABE相似，若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（4）設(shè)AOE沿x軸正方向平移t個單位長度（0t3）時，AOE與ABE重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍【答案】解：（1）拋物線經(jīng)過點A（3，0），D（1，0），設(shè)拋物線解析式為y=a（x3）（x+1）。將E（0，3）代入上式，解得：a=1。拋物線的解析式為y=（x3）（x+1），即y=x2+2x+3。又y=x2+2x+3=（x1）2+4，點B（1，4）。（2）證明：如圖1，過點B作BMy于點M，則M（0，4）在RtA

7、OE中，OA=OE=3，1=2=45°，。在RtEMB中，EM=OMOE=1=BM，MEB=MBE=45°，。BEA=180°1MEB=90°。AB是ABE外接圓的直徑。在RtABE中，BAE=CBE。在RtABE中，BAE+3=90°，CBE+3=90°。CBA=90°，即CBAB。CB是ABE外接圓的切線。（3）存在。點P的坐標(biāo)為（0，0）或（9，0）或（0，）。（4）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b將A（3，0），B（1，4）代入，得，解得。直線AB的解析式為y=2x+6。過點E作射線EFx軸交AB于點F，當(dāng)y=3時，

8、得x=，F(xiàn)（，3）。情況一：如圖2，當(dāng)0t時，設(shè)AOE平移到DNM的位置，MD交AB于點H，MN交AE于點G。則ON=AD=t，過點H作LKx軸于點K，交EF于點L由AHDFHM，得，即，解得HK=2t。=×3×3（3t）2t2t=t2+3t。情況二：如圖3，當(dāng)t3時，設(shè)AOE平移到PQR的位置，PQ交AB于點I，交AE于點V。由IQAIPF，得即，解得IQ=2（3t）。=×（3t）×2（3t）（3t）2=（3t）2=t23t+。綜上所述：?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理

9、，銳角三角函數(shù)定義，圓的切線的判定，相似三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)?！痉治觥浚?）已知A、D、E三點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可確定拋物線的解析式，從而能得到頂點B的坐標(biāo)。 （2）過B作BMy軸于M，由A、B、E三點坐標(biāo)，可判斷出BME、AOE都為等腰直角三角形，易證得BEA=90°，即ABE是直角三角形，而AB是ABE外接圓的直徑，因此只需證明AB與CB垂直即可BE、AE長易得，能求出tanBAE的值，結(jié)合tanCBE的值，可得到CBE=BAE，由此證得CBA=CBE+ABE=BAE+ABE=90°，從而得證。（3）在RtABE中，AEB=90°，tanBAE=，si

10、nBAE=，cosBAE=。若以D、E、P為頂點的三角形與ABE相似，則DEP必為直角三角形。DE為斜邊時，P1在x軸上，此時P1與O重合。由D（1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3， 即tanDEO=tanBAE，即DEO=BAE，滿足DEOBAE的條件。因此 O點是符合條件的P1點，坐標(biāo)為（0，0）。DE為短直角邊時，P2在x軸上。若以D、E、P為頂點的三角形與ABE相似DEP2=AEB=90°sinDP2E=sinBAE=。而DE=，則DP2=DE÷sinDP2E=÷=10，OP2=DP2OD=9。即P2（9，0）。DE為長直角邊時，點P3在y軸上。

11、若以D、E、P為頂點的三角形與ABE相似，則EDP3=AEB=90°cosDEP3=cosBAE=。則EP3=DE÷cosDEP3=÷，OP3=EP3OE=。即P3（0，）。綜上所述，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，）。 （4）過E作EFx軸交AB于F，當(dāng)E點運動在EF之間時，AOE與ABE重疊部分是個五邊形；當(dāng)E點運動到F點右側(cè)時，AOE與ABE重疊部分是個三角形按上述兩種情況按圖形之間的和差關(guān)系進(jìn)行求解。24. （2012湖南郴州10分）閱讀下列材料：我們知道，一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線，而y=kx+b經(jīng)過恒等變形可化為直線的另一種表達(dá)

12、形式：Ax+Bx+C=0（A、B、C是常數(shù)，且A、B不同時為0）如圖1，點P（m，n）到直線l：Ax+By+C=0的距離（d）計算公式是：d=   例：求點P（1，2）到直線的距離d時，先將化為5x12y2=0，再由上述距離公式求得d= 解答下列問題：如圖2，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線上的一點M（3，2）（1）求點M到直線AB的距離（2）拋物線上是否存在點P，使得PAB的面積最??？若存在，求出點P的坐標(biāo)及PAB面積的最小值；若不存在，請說明理由【答案】解：（1）將化為4x3y12=0，由上述距離公式得： d= 。 點M到直線AB的距離為6。（2）存在。 設(shè)P（x，

13、），則點P到直線AB的距離為： d= 。 由圖象，知點P到直線AB的距離最小時x0，0， d= 。 當(dāng)時，d最小，為。 當(dāng)時，P（，）。 又在中，令x=0，則y=4。B（0，4）。 令y=0，則x=3。A（3，0）。 AB=5。 PAB面積的最小值為 ?！究键c】新定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理?！痉治觥浚?）按例求解即可。 （2）用二次函數(shù)的最值，求出點P到直線AB的距離最小值，即可求出答案。25. （2012湖南懷化10分）如圖，拋物線m：與x軸的交點為A、B，與y軸的交點為C，頂點為,將拋物線m繞點B旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線n,它的頂點為D.（1）求拋物線n的解析式

14、；（2）設(shè)拋物線n與x軸的另一個交點為E，點P是線段ED上一個動點（P不與E、D重合），過點P作y軸的垂線，垂足為F，連接EF.如果P點的坐標(biāo)為，PEF的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；（3）設(shè)拋物線m的對稱軸與x軸的交點為G，以G為圓心，A、B兩點間的距離為直徑作G，試判斷直線CM與G的位置關(guān)系，并說明理由.【答案】解：（1）拋物線m的頂點為， m的解析式為=。拋物線n是由拋物線m繞點B旋轉(zhuǎn)得到，D的坐標(biāo)為。拋物線n的解析式為：，即。（2）點E與點A關(guān)于點B中心對稱，E。設(shè)直線ED的解析式為，則，解得。直線ED的解析式為。又點P的坐標(biāo)為，S=。當(dāng)時，

15、S有最大值。但，PEF的面積S沒有最大值 。（3）直線CM與G相切。理由如下：拋物線m的解析式為，令得。拋物線m的對稱軸與軸的交點為G，OC=4，OG=3，。由勾股定理得CG=5。又AB=10，G的半徑為5，點C在G上。 過M點作y軸的垂線，垂足為N，則。又，。根據(jù)勾股定理逆定理，得GCM=900。直線CM與G相切?！究键c】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理和逆定理?！痉治觥浚?）由拋物線m的頂點坐標(biāo)寫出拋物線m的頂點式方程，化為交點式方程即可求出A、B兩點的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求出拋物線n的解析式。 （2）求出

16、直線ED的解析式，由點P在直線ED，可知P，從而求出PEF的面積S的函數(shù)關(guān)系式，由點P在線段ED上得。從而根據(jù)二次函數(shù)最值的求法得出結(jié)果。 （3）要判斷直線CM與G的位置關(guān)系首先要判斷CG與G半徑的關(guān)系，由AB=10，得G的半徑為5。求出CG，知點C在G上。由勾股定理和逆定理，得出。從而得出，得出直線CM與G相切的結(jié)論。26. （2012湖南婁底10分）如圖，在ABC中，AB=AC，B=30°，BC=8，D在邊BC上，E在線段DC上，DE=4，DEF是等邊三角形，邊DF交邊AB于點M，邊EF交邊AC于點N（1）求證：BMDCNE；（2）當(dāng)BD為何值時，以M為圓心，以MF為半徑的圓與B

17、C相切？（3）設(shè)BD=x，五邊形ANEDM的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式（要求寫出自變量x的取值范圍）；當(dāng)x為何值時，y有最大值？并求y的最大值【答案】解：（1）證明：AB=AC，B=30°，B=C=30°。 DEF是等邊三角形，F(xiàn)DE=FED=60°。MDB=NEC=120°。BMD=B=C=CNE=30°。BMDCNE。（2）過點M作MHBC，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切，MH=MF。設(shè)BD=x，DEF是等邊三角形，F(xiàn)DE=60°。B=30°，BMD=FDEB=60°30°=30

18、76;=B。DM=BD=x。MH=MF=DFMD=4x。在RtDMH中，sinMDH=sin60°=，解得：x=168。當(dāng)BD=168時，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切。（3）過點M作MHBC于H，過點A作AKBC于K，AB=AC，BK=BC=×8=4B=30°，AK=BKtanB=4×。SABC=BCAK=×8×。由（2）得：MD=BD=xMH=MDsinMDH=x，SBDM=xx=x2。DEF是等邊三角形且DE=4，BC=8，EC=BCBDDE=8x4=4x。BMDCNE，SBDM：SCEN=。SCEN=（4x）2。y=S

19、ABCSCENSBDM=x2（4x）2=x2+2x+=（x2）2+（0x4）。當(dāng)x=2時，y有最大值，最大值為?！究键c】等腰（邊）三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）由AB=AC，B=30°，根據(jù)等邊對等角，可求得C=B=30°，又由DEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，易求得MDB=NEC=120°，BMD=B=C=CNE=30°，即可判定：BMDCNE。（2）首先過點M作MHBC，設(shè)BD=x，由以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切，可得MH=MF=4x，由（1）可

20、得MD=BD，然后在RtDMH中，利用正弦函數(shù)，即可求得答案。（3）首先求得ABC的面積，繼而求得BDM的面積，然后由相似三角形的性質(zhì)，可求得BCN的面積，再利用二次函數(shù)的最值問題，即可求得答案。27. （2012湖南湘潭10分）如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標(biāo)為（4，0）（1）求拋物線的解析式；（2）試探究ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標(biāo)【答案】解：（1）B（4，0）在拋物線的圖象上，即：。拋物線的解析式為：。（2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（1，0）、C（

21、0，2）。OA=1，OC=2，OB=4。又OCAB，OACOCB。OCA=OBC。ACB=OCA+OCB=OBC+OCB=90°。ABC為直角三角形，AB為ABC外接圓的直徑。該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標(biāo)為：（，0）。（3）已求得：B（4，0）、C（0，2），可得直線BC的解析式為：y=x2。設(shè)直線lBC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當(dāng)直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程：x+b=，即： x24x42b=0，且=0。164×（42b）=0，解得b=4。直線l：y=x4。，當(dāng)h最大（即點M到直線BC的距離最遠(yuǎn)）時，ABC的面積最大。點M是直線l和拋物線的唯一

22、交點，有：，解得：。 M（2，3）?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，一元二次方程根的判別式，解方程和方程組?！痉治觥浚?）該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù)，只需將B點坐標(biāo)代入解析式中即可。（2）根據(jù)拋物線的解析式確定A點坐標(biāo)，然后通過證明ABC是直角三角形來推導(dǎo)出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo)。（3）MBC的面積可由表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M。28. （2012遼寧沈陽14分）已知，如圖，在平面直角坐

23、標(biāo)系中，點A坐標(biāo)為(2，0)，點B坐標(biāo)為 （0，2 ），點E為線段AB上的動點(點E不與點A，B重合)，以E為頂點作OET=45°，射線ET交線段OB于點F，C為y軸正半軸上一點，且OC=AB，拋物線y=x2+mx+n的圖象經(jīng)過A，C兩點.（1） 求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2） 求證：BEF=AOE；（3） 當(dāng)EOF為等腰三角形時，求此時點E的坐標(biāo)；（4） 在（3）的條件下，當(dāng)直線EF交x軸于點D，P為（1） 中拋物線上一動點，直線PE交x軸于點G，在直線EF上方的拋物線上是否存在一點P，使得EPF的面積是EDG面積的（） 倍.若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由溫馨提

24、示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補(bǔ)充圖形，以便作答.【答案】解：（1）A （2， 0）， B （0， 2），OA=OB=2 。AB2=OA2+OB2=22+22=8。AB=2。OC=AB，OC=2， 即C （0， 2）。拋物線y=-x2+mx+n的圖象經(jīng)過A、C兩點，得，解得：。拋物線的表達(dá)式為y=x2x+2。（2）證明：OA=OB，AOB=90° ，BAO=ABO=45°。 又BEO=BAO+AOE=45°+AOE，BEO=OEF+BEF=45°+BEF ，BEF=AOE。（3）當(dāng)EOF為等腰三角形時，分三種情況討論當(dāng)OE=OF時， OFE=OEF=4

25、5°，在EOF中， EOF=180°OEFOFE=180°45°45°=90°。又AOB90°，則此時點E與點A重合， 不符合題意， 此種情況不成立。如圖， 當(dāng)FE=FO時，EOF=OEF=45°。在EOF中，EFO=180°-OEF-EOF=180°-45°-45°=90°，AOF+EFO=90°+90°=180°。EFAO。 BEF=BAO=45° 。又 由 (2) 可知 ，ABO=45°，BEF=ABO。BF=

26、EF。EF=BF=OF=OB=×21 。 E(1， 1)。如圖， 當(dāng)EO=EF時， 過點E作EHy軸于點H ，在AOE和BEF中，EAO=FBE， EO=EF， AOE=BEF， AOEBEF（AAS）。BE=AO=2。EHOB ，EHB=90°。AOB=EHB。EHAO。 BEH=BAO=45°。在RtBEH中， BEH=ABO=45° ，EH=BH=BEcos45°=2×=。OH=OBBH=22。 E(， 2)。綜上所述， 當(dāng)EOF為等腰三角形時，點E坐標(biāo)為E(1， 1)或E(， 2)。（4） P(0， 2)或P （1， 2）?！?/p>

27、考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）應(yīng)用勾股定理求出點C的坐標(biāo)，根據(jù)點在曲線上，點的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式。（2）應(yīng)用等腰直角三角形等邊對等角的性質(zhì)可證。（3）分OE=OF，F(xiàn)E=FO，EO=EF三種情況討論即可。（4）假設(shè)存在這樣的點P。當(dāng)直線EF與x軸有交點時，由（3）知，此時E(， 2)。如圖所示，過點E作EHy軸于點H，則OH=FH=2。由OE=EF，易知點E為RtDOF斜邊上的中點，即DE=EF。過點F作FNx軸，交PG于點N。易證