四年級奧林匹克數(shù)學(xué)基礎(chǔ)資料庫 第8講 找規(guī)律（二）

1、第8講 找規(guī)律（二）整數(shù)a與它本身的乘積，即aa叫做這個數(shù)的平方，記作a2，即a2aa；同樣，三個a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3aaa。一般地，n個a相乘，叫做a的n次方，記作an，即本講主要講an的個位數(shù)的變化規(guī)律，以及an除以某數(shù)所得余數(shù)的變化規(guī)律。因為積的個位數(shù)只與被乘數(shù)的個位數(shù)和乘數(shù)的個位數(shù)有關(guān)，所以an的個位數(shù)只與a的個位數(shù)有關(guān)，而a的個位數(shù)只有0，1，2，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。為了找出一個整數(shù)a自乘n次后，乘積的個位數(shù)字的變化規(guī)律，我們列出下頁的表格，看看a，a2，a3，a4，的個位數(shù)字各是什么。從表看出，an的個位數(shù)字的變化規(guī)律可分為三類：（1）當a的

2、個位數(shù)是0，1，5，6時，an的個位數(shù)仍然是0，1，5，6。（2）當a的個位數(shù)是4，9時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每兩個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是4時，按4，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是9時，按9，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。（3）當a的個位數(shù)是2，3，7，8時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每四個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是2時，按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是3時，按3，9，7，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的個位數(shù)是7時，按7，9，3，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的個位數(shù)是8時，按8，4，2，6的順序循環(huán)出現(xiàn)。例1 求67999的個位數(shù)字。分析與解：因為67的個位數(shù)是7，所以6

3、7n的個位數(shù)隨著n的增大，按7，9，3，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)。99942493，所以67999的個位數(shù)字與73的個位數(shù)字相同，即67999的個位數(shù)字是3。例2 求291+3291的個位數(shù)字。分析與解：因為2n的個位數(shù)字按2，4，8，6四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，914223，所以，291的個位數(shù)字與23的個位數(shù)字相同，等于8。類似地，3n的個位數(shù)字按3，9，7，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，2914723，所以3291與33的個位數(shù)相同，等于7。最后得到291+3291的個位數(shù)字與8+7的個位數(shù)字相同，等于5。例3 求28128-2929的個位數(shù)字。解：由128432知，28128的個位數(shù)與84的個位數(shù)

4、相同，等于6。由292141知，2929的個位數(shù)與91的個位數(shù)相同，等于9。因為69，在減法中需向十位借位，所以所求個位數(shù)字為1697。例4 求下列各除法運算所得的余數(shù)：（1）78555；（2）5553。分析與解：（1）由554133知，7855的個位數(shù)與83的個位數(shù)相同，等于2，所以7855可分解為10a2。因為10a能被5整除，所以7855除以5的余數(shù)是2。（2）因為a3的余數(shù)不僅僅與a的個位數(shù)有關(guān)，所以不能用求555的個位數(shù)的方法求解。為了尋找5n3的余數(shù)的規(guī)律，先將5的各次方除以3的余數(shù)列表如下：注意：表中除以3的余數(shù)并不需要計算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余數(shù)乘以5后，再除

5、以3去求。比如，52除以3的余數(shù)是1，53除以3的余數(shù)與15=5除以3的余數(shù)相同。這是因為5238+1，其中38能被3整除，而53=（38+1）5=（38）5+15，（38）5能被3整除，所以53除以3的余數(shù)與15除以3的余數(shù)相同。由上表看出，5n除以3的余數(shù)，隨著n的增大，按2，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。由552=271知，5553的余數(shù)與513的余數(shù)相同，等于2。例5 某種細菌每小時分裂一次，每次1個細茵分裂成3個細菌。20時后，將這些細菌每7個分為一組，還剩下幾個細菌？分析與解：1時后有13=31（個）細菌，2時后有313=32（個）細菌20時后，有320個細菌，所以本題相當于“求3207的余數(shù)”。由例4（2）的方法，將3的各次方除以7的余數(shù)列表如下：由上表看出，3n7的余數(shù)以六個數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)。由20632知，3207的余數(shù)與327的余數(shù)相同，等于2。所以最后還剩2個細菌。最后再說明一點，anb所得余數(shù)，隨著n的增大，必然會出現(xiàn)周期性變化規(guī)律，因為所得余數(shù)必然小于b，所以在b個數(shù)以內(nèi)必會重復(fù)出現(xiàn)。練習(xí)81求下列各數(shù)的個位數(shù)字：（1）3838； （2）2930；（3）6431； （4）17215。2求下列各式運算結(jié)果的個位數(shù)字：（1）9222