最新整理大學(xué)概率論習(xí)題五詳解資料

1、概率論習(xí)題五詳解1 1、設(shè)X為離散型的隨機(jī)變量，且期望P(X -EX| 2)0, ,都有(xpjP(X -EX &)=送P(X =X)蘭藝|X上|Xi-EX至DXPi= =FX和Y的數(shù)學(xué)期望都是 2 2，方差分別為 1 1 和 4 4，而相關(guān)系數(shù)為 0.5，請(qǐng)利用切(Xj- EX22 2、設(shè)隨機(jī)變量比雪夫不等式證明：pqxY I曲花。名2證E(X-Y)=0cov(X,Y )=PJDXDY=1D(X -Y)=DX +DY-2cov(X,Y)=5-2 = 3NX -Y| 6 )= Pq(X -Y )E(X -Y60.04、n蘭沖蘭0.01 n天0.0420 25從而有n 2= 156250

2、.01咒0.04即至少連拋 1562515625 次硬幣，才能保證正面出現(xiàn)頻率與0.010.01。4 4、每名學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)X是隨機(jī)變量，已知0.50.5 的偏差不小于 0.040.04 的概率不超過EX =80，DX =25，( 1 1)試用切比雪(2(2)多名學(xué)生參加數(shù)學(xué)考試，要使他們的平均分?jǐn)?shù)在 7575 分到 8585 分之間的概率不低于 90%90%，至少要有多少學(xué)生參加考試？J DX E te 1 2又P(70 X 90)= P(70-EX X-EX 90-EX )= P(-10 X - EX 10 )解(1)(1)由切比雪夫不等式P(X-EX(0)25= =P(X -80 1

3、 -=0.75F100即該生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?7070 分到 9090 分之間的概率不低于 75%75%(2)(2)設(shè)有n個(gè)學(xué)生參加考試( (獨(dú)立進(jìn)行) )，記第i個(gè)學(xué)生的成績(jī)?yōu)閄i(i = i,2.n)，則平均成績(jī)_1n_ 1n_125為X= 2 Xj，又EX=送EXi=80, ,DX = DX = n ynynn_1X25則由切比雪夫不等式可得：P(75 X 85)= PfX -80 0.9，解得n 10,即有 1010 個(gè)以上的學(xué)生參加考試，就n可以達(dá)到要求。設(shè) 800800 臺(tái)設(shè)備獨(dú)立的工作，它們?cè)谕瑫r(shí)發(fā)生故障的次數(shù)X B(800,0.01)，現(xiàn)由 2 2 名維修求發(fā)生故障不能及時(shí)維修

4、的概率。2P(X2)=1 - P(X 2)=1-P(X 2)疋1-2.132I辰丿= 6(2.132)=0.98346 6、對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言，來參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長(zhǎng)來、 有 1 1 名家長(zhǎng)來、有 2 2 名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的概率分別為0.050.05、0.80.8、0.150.15。若學(xué)校共有 400400 名學(xué)生，設(shè)每個(gè)學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相互獨(dú)立且服從同一分布，求：(1)(1)參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)X超過 450450的概率；(2)(2)每個(gè)學(xué)生有一名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于解(1)(1)以Xi(i =1,2.400)表示第i個(gè)學(xué)生來參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)，則Xi的分

5、布律為：Xi0 01 12 2pi0.050.050.80.80.150.15所以EXi=1.1，400而X =ZXii zi由中心極限定理知：P(X A450)-(1.147)=0.1257(2)(2)以丫表示每個(gè)學(xué)生有一名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的個(gè)數(shù)，則丫 B(400,0.8)近似n-1n5 5、工看管,340340 的概率。DXj=0.19,i =1,2.400近似X - N (440,76 )25由中心極限定理知：Y - N (320,64)則P(Y 950i =1-lii丿EXj=9.15，EX?=84.95,DX =1.2275950-915 7100 x1.22758 8 某產(chǎn)品的不合格

6、率為 0.0050.005，任取 1000010000 件中不合格品不多于 7070 件的概率為多少？解 依題意，1000010000 件產(chǎn)品中不合格品數(shù)X B(10000,0.005),由np = 50，n(1- p):5， 故可用二項(xiàng)分布的正態(tài)近似，所求概率為7050= 1-6(3.159)=0.0008,-1 = 0(2.8355 )=0.9977lJ50(1 -0.005)丿9 9、某廠生產(chǎn)的螺絲釘?shù)牟缓细衿仿蕿?.010.01，問一盒中應(yīng)裝多少只螺絲釘才能使盒中含有100100只合格品的概率不小于 0.950.95 ？解設(shè)n為一盒裝有的螺釘數(shù)，其中合格品數(shù)記為X，則有X B(n,0.

7、99)，該題要求n， 使得下述概率不等式成立。P(X 100)3 0.95或P(X 100) 0.05利用二項(xiàng)分布的正態(tài)近似，可得：fl0上0.9空0.05 = 6(-1.645)I j0.0099n丿P(X 103.19這意味著，每盒應(yīng)裝 104104 只螺釘，才能使每盒含有 100100 只合格品的概率不小于 0.950.95。(B)1 1、為確定一批產(chǎn)品的次品率要從中抽取多少個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢查， 次品率相差小于 0.10.1 的概率不小于 0.950.95。解：依題意，可建立如下概率不等式PQP JP| C0.1 )0.95使其次品出現(xiàn)的頻率與實(shí)際其中P是這實(shí)際的次品率，如抽取n個(gè)產(chǎn)品則次品

8、的頻率定理，P近似服從正態(tài)分布：N(P,P(1 -Pj/n或P-P N(0, p1-P)/n)r 0.1石、從而有工上型=0.9752Jp(1-p)丿查表可得:/ /0 0；M M 1 1-1.96或石319.6JP(1-P) JP(1-P)由于P未知，只得放大抽檢量，用 1/21/2 代替 J JP P( (1 1- -P P) )，可得：n 96，可見，需抽查 9696 個(gè)產(chǎn)品才能使其次品率與實(shí)際次品率相差Jn9.80.10.1 小于的概率不小2、假設(shè)批量生產(chǎn)的某產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為60%60%,求在隨機(jī)抽取的 200200 件產(chǎn)品中有 120120 到 150150件優(yōu)質(zhì)品的概率 a a 記叭一一隨機(jī)抽取的 200200 件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的的件數(shù)， 則叭服從二項(xiàng)分布，參數(shù)為 n n=200=200,np = 120,np(1 - p) =48.由于 n n=200=200 充分大，故根據(jù)棣莫佛- -拉普拉斯中心極限定理，解p=0.60p=0.60;近似地5=為壽=4呵1);3、5 Jc vn-120150