數(shù)學(xué)：第2章《推理與證明》教案（1）（新人教A版選修2-2）

1、)來(lái)源：高考資源網(wǎng)版權(quán)所有：高考資源網(wǎng)(www.k s 5 )課題:合情推理 掌握歸納推理的技巧，并能運(yùn)用解決實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)“自主、合作與探究”實(shí)現(xiàn)“一切以學(xué)生為中心”的理念。感受數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使其體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美感。教學(xué)重點(diǎn)：歸納推理及方法的總結(jié)。教學(xué)難點(diǎn)：歸納推理的含義及其具體應(yīng)用。教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。課時(shí)安排：1課時(shí)教學(xué)過(guò)程：(1)原理初探引入：“阿基米德曾對(duì)國(guó)王說(shuō)，給我一個(gè)支點(diǎn)，我將撬起整個(gè)地球！”提問(wèn)：大家認(rèn)為可能嗎？他為何敢夸下如此?？?？理由何在？探究：他是怎么發(fā)現(xiàn)“杠桿原理”的？從而引入兩則小典故：（圖片展示-阿基米德的靈感）A：一個(gè)小孩，為何

2、輕輕松松就能提起一大桶水？B：修筑河堤時(shí)，奴隸們是怎樣搬運(yùn)巨石的？正是基于這兩個(gè)發(fā)現(xiàn)，阿基米德大膽地猜想，然后小心求證，終于發(fā)現(xiàn)了偉大的“杠桿原理”。思考：整個(gè)過(guò)程對(duì)你有什么啟發(fā)？啟發(fā)：在教師的引導(dǎo)下歸納出：“科學(xué)離不開(kāi)生活，離不開(kāi)觀察，也離不開(kāi)猜想和證明”。歸納推理的發(fā)展過(guò)程觀察猜想證明(2)皇冠明珠追逐先輩的足跡，接觸數(shù)學(xué)皇冠上最璀璨的明珠 “歌德巴赫猜想”。鏈接:世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。哥德巴赫是德國(guó)一位中學(xué)教師，也是一位著名的數(shù)學(xué)家，生于1690年，1725年當(dāng)選為俄國(guó)彼得堡科學(xué)院院士。1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)（只能被和它本身整除的數(shù)）之和。如

3、633，1257等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫(xiě)信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一個(gè)6之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。 (b) 任何一個(gè)9之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。 這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6月30日給他的回信中說(shuō)，他相信這個(gè)猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡(jiǎn)單的問(wèn)題，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明，這個(gè)猜想便引起了許多數(shù)學(xué)家的注意。從提出這個(gè)猜想至今，許多數(shù)學(xué)家都不斷努力想攻克它，但都沒(méi)有成功。當(dāng)然曾經(jīng)有人作了些具體的驗(yàn)證工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 +

4、5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人對(duì)33×108以內(nèi)且大過(guò)6之偶數(shù)一一進(jìn)行驗(yàn)算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但驗(yàn)格的數(shù)學(xué)證明尚待數(shù)學(xué)家的努力。從此，這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬(wàn)數(shù)學(xué)家的注意。200年過(guò)去了，沒(méi)有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀(jì)20年代，才有人開(kāi)始向它靠近。1920年、挪威數(shù)學(xué)家布爵用一種古老的篩選法證明，得出了一個(gè)結(jié)論：每一個(gè)比大的偶數(shù)都可以表示為（99）。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科

5、學(xué)家們于是從（9十9）開(kāi)始，逐步減少每個(gè)數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個(gè)數(shù)，直到最后使每個(gè)數(shù)里都是一個(gè)質(zhì)數(shù)為止，這樣就證明了“哥德巴赫”。 思考：其他偶數(shù)是否也有類(lèi)似的規(guī)律？討論：組織學(xué)生進(jìn)行交流、探討。檢驗(yàn)：2和4可以嗎？為什么不行？歸納：通過(guò)剛才的探究，由學(xué)生歸納“歸納推理”的定義及特點(diǎn)。把從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納).注:歸納推理的特點(diǎn);簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。歸納推理的一般步驟：例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鱷魚(yú)是用肺呼吸的,海龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鱷魚(yú)、海龜、蜥蜴都是爬行動(dòng)物.結(jié)論：所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的。例2 前提

6、：三角形的內(nèi)角和是1800，凸四邊形的內(nèi)角和是3600，凸五邊形的內(nèi)角和是5400，結(jié)論：凸n 邊形的內(nèi)角和是（n2）×1800。例3 探究：上述結(jié)論都成立嗎？強(qiáng)調(diào)：歸納推理的結(jié)果不一定成立！ “ 一切皆有可能！”探索：先讓學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行思考?；顒?dòng)：“千里走單騎”鼓勵(lì)學(xué)生說(shuō)出自己的解題思路?；顒?dòng)：“圓桌會(huì)議”鼓勵(lì)其他同學(xué)給予評(píng)價(jià)，對(duì)在哪里？錯(cuò)在哪里？還有沒(méi)有更好的方法？【設(shè)計(jì)意圖】：提供一個(gè)舞臺(tái), 讓學(xué)生展示自己的才華，這將極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，增強(qiáng)學(xué)生的榮譽(yù)感，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了“自主探究”，同時(shí)，也鍛煉了學(xué)生敢想、敢說(shuō)、敢做的能力?！疽稽c(diǎn)心得】

7、：在“千里走單騎”和“圓桌會(huì)議”的探究活動(dòng)中，教師一定要以“鼓勵(lì)和表?yè)P(yáng)”為主，面帶微笑，消除學(xué)生的恐懼感，提高學(xué)生的自信心能力培養(yǎng)（例2拓展）思考：怎么求？組織學(xué)生進(jìn)行探究，尋找規(guī)律。歸納：由學(xué)生討論，歸納技巧，得到技巧和。技巧:有整數(shù)和分?jǐn)?shù)時(shí),往往將整數(shù)化為分?jǐn)?shù).技巧:當(dāng)分子分母都在變化時(shí),往往統(tǒng)一分子 (或分母),再尋找另一部分的變化規(guī)律.(1)歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。(2)歸納推理的一般步驟：通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì) 從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一

8、般命題（猜想）證明課題：類(lèi)比推理教學(xué)目標(biāo)：通過(guò)對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧，認(rèn)識(shí)類(lèi)比推理這一種合情推理的基本方法，并把它用于對(duì)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)中去。類(lèi)比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)，類(lèi)比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類(lèi)比得出的結(jié)論就越可靠。正確認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用，養(yǎng)成從小開(kāi)始認(rèn)真觀察事物、分析問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個(gè)性品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，探求新知識(shí)。認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在日常生產(chǎn)生活中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)，完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)學(xué)意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)：了解合情推理的含義，能利用類(lèi)比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。教學(xué)難點(diǎn)：用類(lèi)比進(jìn)行推理，做出猜想。教具

9、準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。課時(shí)安排：1課時(shí)教學(xué)過(guò)程：一問(wèn)題情境從一個(gè)傳說(shuō)說(shuō)起：春秋時(shí)代魯國(guó)的公輸班（后人稱魯班，被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹(shù)時(shí)被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.他的思路是這樣的：茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.這個(gè)推理過(guò)程是歸納推理嗎？二數(shù)學(xué)活動(dòng)我們?cè)倏磶讉€(gè)類(lèi)似的推理實(shí)例。例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)： 猜想不等式的性質(zhì)：(1) a=bÞa+c=b+c; (1) abÞa+cb+c;(2) a=bÞ ac=bc; (2) abÞ acbc;(3)

10、 a=bÞa2=b2;等等。 (3) abÞa2b2;等等。問(wèn)：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？例2、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類(lèi)比.圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.球的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.圓 球弦截面圓直徑大圓周長(zhǎng)表面積面積體積圓的性質(zhì)球的性質(zhì)圓心與弦(不是直徑)的中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面圓(不是大圓)的圓點(diǎn)的連線垂直于截面圓與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長(zhǎng)與球心距離相等的兩截面圓相等；與球心距離不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓較大圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直

11、線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)球的切面垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切面的直線必經(jīng)過(guò)球心上述兩個(gè)例子均是這種由兩個(gè)（兩類(lèi)）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?；或其中一?lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類(lèi)比推理（簡(jiǎn)稱類(lèi)比） 簡(jiǎn)言之，類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理類(lèi)比推理的一般步驟： 找出兩類(lèi)對(duì)象之間可以確切表述的相似特征； 用一類(lèi)對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想； 檢驗(yàn)猜想。即觀察、比較聯(lián)想、類(lèi)推猜想新結(jié)論例3.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上

12、的高.P為三角形內(nèi)任一點(diǎn),P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論:試通過(guò)類(lèi)比,寫(xiě)出在空間中的類(lèi)似結(jié)論.鞏固提高1(2001年上海)已知兩個(gè)圓x2+y2=1:與x2+(y-3)2=1,則由式減去式可得上述兩圓的對(duì)稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個(gè)更一般的命題,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個(gè)特例,推廣的命題為-2類(lèi)比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想直角三角形 3個(gè)面兩兩垂直的四面體C90°3個(gè)邊的長(zhǎng)度a，b，c 2條直角邊a，b和1條斜邊c PDFPDEEDF90° 4個(gè)面的面積S

13、1，S2，S3和S 3個(gè)“直角面” S1，S2，S3和1個(gè)“斜面” S3（2004，北京）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。 已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為_(kāi)，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為_(kāi) 課堂小結(jié)1類(lèi)比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類(lèi)比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類(lèi)比得出的結(jié)論就越可靠。2 類(lèi)比推理的一般步驟：找出兩類(lèi)事物之間的相似性或者一致性。用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）課 題：演

14、繹推理教學(xué)目標(biāo)：1. 了解演繹推理 的含義。2. 能正確地運(yùn)用演繹推理 進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。3. 了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別。教學(xué)重點(diǎn)：正確地運(yùn)用演繹推理 進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理教學(xué)難點(diǎn)：了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別。教學(xué)過(guò)程：一 復(fù)習(xí):合情推理歸納推理 從特殊到一般類(lèi)比推理 從特殊到特殊從具體問(wèn)題出發(fā)觀察、分析比較、聯(lián)想歸納。類(lèi)比提出猜想二 問(wèn)題情境。 觀察與思考1所有的金屬都能導(dǎo)電銅是金屬, 所以，銅能夠?qū)щ?.一切奇數(shù)都不能被2整除, (2100+1)是奇數(shù)， 所以， (2100+1)不能被2整除.3.三角函數(shù)都是周期函數(shù), tan 是三角函數(shù),所以，tan 是 周期函數(shù)。提出

15、問(wèn)題 ：像這樣的推理是合情推理嗎？二學(xué)生活動(dòng) ：1.所有的金屬都能導(dǎo)電 大前提銅是金屬, -小前提所以，銅能夠?qū)щ?結(jié)論2.一切奇數(shù)都不能被2整除 大前提(2100+1)是奇數(shù)，小前提 所以， (2100+1)不能被2整除. 結(jié)論3.三角函數(shù)都是周期函數(shù), 大前提t(yī)an 是三角函數(shù), 小前提所以，tan 是 周期函數(shù)。結(jié)論三， 建構(gòu)數(shù)學(xué) 演繹推理的定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理演繹推理是由一般到特殊的推理；“三段論”是演繹推理的一般模式；包括大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情況；結(jié)論-據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷三段論的基本格式MP（M

16、是P） （大前提）SM（S是M） （小前提）SP（S是P）（結(jié)論）3.三段論推理的依據(jù),用集合的觀點(diǎn)來(lái)理解:若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的一個(gè)子集,那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P.四，數(shù)學(xué)運(yùn)用解：二次函數(shù)的圖象是一條拋物線 （大前提）解 （1） lgan=nlga(a>0)-大前提lg8=lg23小前提lg8=3lg2結(jié)論 lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)大前提lg0.8=lg(8/10)小前提lg0.8=lg(8/10)結(jié)論例3.如圖;在銳角三角形ABC中,ADBC, BEAC, D,E是垂足,求證AB的中點(diǎn)M到D,E的距離相等解： (1)因?yàn)橛幸?/p>

17、個(gè)內(nèi)角是只直角的三角形是直角三角形,大前提在ABC中,ADBC,即ADB=90°-小前提所以ABD是直角三角形結(jié)論(2)因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半,大前提因?yàn)?DM是直角三角形斜邊上的中線,小前提 所以 DM= AB結(jié)論 同理 EM= AB所以 DM=EM.練習(xí)：第35頁(yè) 練習(xí)第 1，2，3，4，題五 回顧小結(jié)：演繹推理具有如下特點(diǎn):課本第33頁(yè) 。演繹推理錯(cuò)誤的主要原因是1大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的條件。 作業(yè)：第35頁(yè) 練習(xí) 第5題 。習(xí)題2。1 第4題。課題：推理案例賞識(shí)課型：新授課教學(xué)目標(biāo)：1. 了解合情推理和演繹推理 的含義。2. 能正確地運(yùn)用合

18、情推理和演繹推理 進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。3. 了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別。教學(xué)重點(diǎn)：了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別教學(xué)難點(diǎn)：了解合情推理和演繹推理是怎樣推進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的。教學(xué)過(guò)程：2 復(fù)習(xí) 合情推理和演繹推理的過(guò)程 3 案例：例一 正整數(shù)平方和公式的推導(dǎo)。提出問(wèn)題我們知道，前n個(gè)正整數(shù)的和為(n)=1+2+3+.+n= n(n+i) 那么，前n 個(gè)正整數(shù)的平方和（n）？ 三，數(shù)學(xué)活動(dòng)思路1 （歸納的方案） 參照課本 第36頁(yè) 37頁(yè) 三表 猜想 （n）思考 ：上面的數(shù)學(xué)活動(dòng)是由哪些環(huán)節(jié)構(gòu)成的？在這個(gè)過(guò)程中提出了哪些猜想？提出猜想時(shí)使用了哪些推理方法？合情推理和演繹推理分別發(fā)揮了

19、什么作用？思路2 （演繹的方案）嘗試用直接相加的方法求出正整數(shù)的平方和。2 把正整數(shù)的平方和表示出來(lái)，參照課本棣37頁(yè) 左右兩邊分別相加，等號(hào)兩邊的（n）被消去了，所以無(wú)法從中求出 （n）的值，嘗試失敗了。（2）從失敗中吸取有用信息，進(jìn)行新的嘗試（3）嘗試把兩項(xiàng)和的平方公式改為兩項(xiàng)和的立方公式。左右兩邊相加，終于導(dǎo)出了公式。思考： 上面的數(shù)學(xué)活動(dòng)是由哪些環(huán)節(jié)構(gòu)成的？在這個(gè)過(guò)程中提出了哪些猜想？提出猜想時(shí)使用了哪些推理方法？合情推理和演繹推理分別發(fā)揮了什么作用。四，數(shù)學(xué)理論：上面的案例說(shuō)明：（1）數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程是一個(gè)探索創(chuàng)造的過(guò)程.是一個(gè)不斷地提出猜想驗(yàn)證猜想的過(guò)程，合情推理和論證推理相輔相成，相

20、互為用，共同推動(dòng)著發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的進(jìn)程。（2）合情推理是富于創(chuàng)造性的或然推理，在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中，它為演繹推理確定了目標(biāo)和方向，具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，提供思路的作用。（3）演繹推理是形式化程度較高的必然推理，在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中，它具有類(lèi)似于“實(shí)驗(yàn)”的功能，它不僅為合情推理提供了前提，而且可以對(duì)猜想作出“判決”和證明，從而為調(diào)控探索活動(dòng)提供依據(jù)。五，鞏固練習(xí)：閱讀課本第39頁(yè) 棱臺(tái)體積公式的探求 通過(guò)閱讀或查資料，尋找合情推理和演繹推理在數(shù)學(xué)推理在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的作用的案例，并回答問(wèn)題：1 。案例中的數(shù)學(xué)活動(dòng)是由哪些環(huán)節(jié)構(gòu)成的？2 。在上這個(gè)過(guò)程中提出了哪些猜想？3 ， 提出猜想時(shí)使用了哪些推理方法？4，

21、合情推理和演繹推理分別發(fā)揮了什么作用？六，教學(xué)小結(jié)：（1）數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程是一個(gè)探索創(chuàng)造的過(guò)程.是一個(gè)不斷地提出猜想驗(yàn)證猜想的過(guò)程，合情推理和論證推理相輔相成，相互為用，共同推動(dòng)著發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的進(jìn)程。（2）合情推理是富于創(chuàng)造性的或然推理，在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中，它為演繹推理確定了目標(biāo)和方向，具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，提供思路的作用。（3）演繹推理是形式化程度較高的必然推理，在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中，它具有類(lèi)似于“實(shí)驗(yàn)”的功能，它不僅為合情推理提供了前提，而且可以對(duì)猜想作出“判決”和證明，從而為調(diào)控探索活動(dòng)提供依據(jù)。七，作業(yè)：八，教后感：課題：直接證明-綜合法與分析法1教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解

22、直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。過(guò)程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。2教學(xué)重點(diǎn)：了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)3教學(xué)難點(diǎn)：分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)4教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。5教學(xué)設(shè)想：分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn). “變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。 6教學(xué)過(guò)程:學(xué)生探究過(guò)程：證明的方法（1）、分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法

23、是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問(wèn)題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問(wèn)題。對(duì)于解答證明來(lái)說(shuō)，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。 （2）、例1設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且ab，求證：a3+b3a2b+ab2    證明：(用分析法思路書(shū)寫(xiě))    要證 a3+b3a2b+ab2成立，    只需證(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立， 

24、60;  即需證a2-ab+b2ab成立。(a+b0)    只需證a2-2ab+b20成立，    即需證(a-b)20成立。    而由已知條件可知，ab，有a-b0，所以(a-b)20顯然成立，由此命題得證。    (以下用綜合法思路書(shū)寫(xiě))    ab，a-b0，(a-b)20，即a2-2ab+b20    亦即a2-ab+b2ab    由題設(shè)條件知，a+b0，(a+b

25、)(a2-ab+b2)(a+b)ab    即a3+b3a2b+ab2，由此命題得證例2、若實(shí)數(shù)，求證：證明：采用差值比較法：= = =例3、已知求證本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。 證明：1) 差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于對(duì)稱，不妨設(shè)，從而原不等式得證。2）商值比較法：設(shè) 故原不等式得證。注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號(hào)。討論：若題設(shè)中去掉這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？鞏固練習(xí)：第81頁(yè)練習(xí)1 , 2 , 3 , 4課后作業(yè)：第84頁(yè) 1，2, 3教學(xué)反思：本

26、節(jié)課學(xué)習(xí)了分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn). “變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。課題：間接證明-反證法1教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。過(guò)程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 2.教學(xué)重點(diǎn)：了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)3. 教學(xué)難點(diǎn)：反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)4教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。5教學(xué)設(shè)想：利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通常是指

27、所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時(shí)假定矛盾等各種情況。 6教學(xué)過(guò)程:學(xué)生探究過(guò)程：綜合法與分析法(1)、反證法    反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。    反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握

28、一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒(méi)有；至少有n個(gè)/至多有(n一1)個(gè)；至多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一/至少有兩個(gè)。歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過(guò)程沒(méi)有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無(wú)源之水，無(wú)本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類(lèi)型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。(2)、例子例1、求證：不是有理數(shù)例2、已知，求證：（且）例3、設(shè)，求證證明：假設(shè)，則有，從而 因?yàn)?，所以，這與題設(shè)條件矛盾，

29、所以，原不等式成立。例4、設(shè)二次函數(shù)，求證：中至少有一個(gè)不小于.證明：假設(shè)都小于，則 （1） 另一方面，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，有 （2） （1）、（2）兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來(lái)的結(jié)論正確。注意：諸如本例中的問(wèn)題，當(dāng)要證明幾個(gè)代數(shù)式中，至少有一個(gè)滿足某個(gè)不等式時(shí)，通常采用反證法進(jìn)行。議一議：一般來(lái)說(shuō)，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通常是指所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時(shí)假定矛盾等各種情況。試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點(diǎn)？例5、設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 - a)b, (1 - b)c,

30、 (1 - c)a,不可能同時(shí)大于 證：設(shè)(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >,則三式相乘：ab < (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a < 又0 < a, b, c < 1 同理：, 以上三式相乘： (1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c 與矛盾原式成立例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0 證：設(shè)a < 0, abc > 0, bc < 0 又由a + b + c >

31、0, 則b + c = -a > 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 與題設(shè)矛盾 又：若a = 0，則與abc > 0矛盾， 必有a > 0 同理可證：b > 0, c > 0鞏固練習(xí)：第83頁(yè)練習(xí)3、4、5、6課后作業(yè)：第84頁(yè) 4、5、6教學(xué)反思：反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為

32、：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。     反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒(méi)有；至少有n個(gè)/至多有(n一1)個(gè)；至多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一/至少有兩個(gè)。歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過(guò)程沒(méi)有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無(wú)源之水，無(wú)本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類(lèi)型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相

33、矛盾。課題:數(shù)學(xué)歸納法一、教學(xué)目標(biāo)：1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。2掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的方法。3能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。二、教學(xué)重點(diǎn)：掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理及證明問(wèn)題的方法。難點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。三、教學(xué)過(guò)程：【創(chuàng)設(shè)情境】1華羅庚的“摸球?qū)嶒?yàn)”。 2“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”。問(wèn)題：如何保證所摸的球都是紅球？多米諾骨牌全部倒下？處了利用完全歸納法全部枚舉之外，是否還有其它方法？數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法實(shí)際上是一種以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個(gè)無(wú)窮的歸納過(guò)程轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過(guò)程，是處理自然數(shù)問(wèn)題的有力工具?！咎剿餮芯俊?數(shù)學(xué)歸納

34、法的本質(zhì)：無(wú)窮的歸納有限的演繹（遞推關(guān)系）2數(shù)學(xué)歸納法公理：（1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；（2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。（歸納證明）由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都正確?！纠}評(píng)析】例1：以知數(shù)列an的公差為d，求證：說(shuō)明：歸納證明時(shí)，利用歸納假設(shè)創(chuàng)造遞推條件，尋求f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系，是解題的關(guān)鍵。 數(shù)學(xué)歸納法證明的基本形式；（1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；（2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）證明當(dāng)n=k+1

35、時(shí)結(jié)論也正確。（歸納證明）由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都正確。EX: 1.判斷下列推證是否正確。 P88 2,32. 用數(shù)學(xué)歸納法證明例2：用數(shù)學(xué)歸納法證明(nN,n2)說(shuō)明：注意從n=k到n=k+1時(shí),添加項(xiàng)的變化。EX:1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊有_項(xiàng),右邊有_項(xiàng)；(2)當(dāng)n=k時(shí),左邊有_項(xiàng),右邊有_項(xiàng)；(3)當(dāng)n=k+1時(shí),左邊有_項(xiàng),右邊有_項(xiàng)；(4)等式的左右兩邊,由n=k到n=k+1時(shí)有什么不同? 變題: 用數(shù)學(xué)歸納法證明 (nN+)例3：設(shè)f(n)=1+,求證n+f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n) (nN,n2)說(shuō)明：注意分

36、析f(k)和f(k+1)的關(guān)系?！菊n堂小結(jié)】1數(shù)學(xué)歸納法公理：（1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；（2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。（歸納證明）由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都正確。2. 注意從n=k到n=k+1時(shí),添加項(xiàng)的變化。利用歸納假設(shè)創(chuàng)造遞推條件，尋求f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系.【反饋練習(xí)】1用數(shù)學(xué)歸納法證明3kn3(n3,nN)第一步應(yīng)驗(yàn)證( )A n=1B n=2 C n=3D n=42用數(shù)學(xué)歸納法證明第二步證明從“k到k+1”，左端增加的項(xiàng)數(shù)是( )A. B C D

37、3若n為大于1的自然數(shù)，求證 證明 (1)當(dāng)n=2時(shí)，(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即4用數(shù)學(xué)歸納法證明 【課外作業(yè)】 課標(biāo)檢測(cè)課題:數(shù)學(xué)歸納法一、教學(xué)目標(biāo)：1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。2掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的方法，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題3能通過(guò)“歸納-猜想-證明”處理問(wèn)題。二、教學(xué)重點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。難點(diǎn)：歸納猜想證明。三、教學(xué)過(guò)程：【創(chuàng)設(shè)情境】問(wèn)題1：數(shù)學(xué)歸納法的基本思想？ 以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個(gè)無(wú)窮歸納（完全歸納）的過(guò)程，轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過(guò)程。（遞推關(guān)系）問(wèn)題2：數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟？（1）遞推奠基

38、：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；（2）遞推歸納：假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。（歸納證明）由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都正確。 數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的一種重要方法，應(yīng)用十分廣泛，主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式；數(shù)的整除性、幾何問(wèn)題；探求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等問(wèn)題?！咎剿餮芯俊繂?wèn)題：用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被9整除。法一：配湊遞推假設(shè)：法二：計(jì)算f(k+1)-f(k)，避免配湊。說(shuō)明：歸納證明時(shí)，利用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件，是解題的關(guān)鍵。 注意從“n=k到n=k+1”時(shí)項(xiàng)的變化?！纠}評(píng)析】例1：求證: 能被整除（nN

39、+）。例2：數(shù)列an中，,a1=1且（1）求的值；（2）猜想an的通項(xiàng)公式，并證明你的猜想。說(shuō)明：用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的常用方法：歸納猜想證明變題：（2002全國(guó)理科）設(shè)數(shù)列an滿足，nN+, (1)當(dāng)a1=2時(shí)，求，并猜想an的一個(gè)通項(xiàng)公式； （2）當(dāng)a13時(shí)，證明對(duì)所有的n1,有 ann+2 例3：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條直線不共點(diǎn)，問(wèn)：這n條直線將平面分成多少部分？變題：平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交與兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓把平面分成n2+n+2個(gè)部分。例4：設(shè)函數(shù)f(x)是滿足不等式,(kN+)的自然數(shù)x的個(gè)數(shù)；（）求f(x)的解析式

40、；（）記Sn=f(1)+f(2)+f(n),求Sn的解析式；（）令n=n2+n-1 (nN+),試比較n與n的大小?！菊n堂小結(jié)】數(shù)學(xué)歸納法證明正整數(shù)問(wèn)題的一般方法：歸納猜想證明。2.兩個(gè)注意： （1）是否用了歸納假設(shè)？ （2）從n=k到n=k+1時(shí)關(guān)注項(xiàng)的變化？【反饋練習(xí)】1 觀察下列式子 則可歸納出_ (nN*)1用數(shù)學(xué)歸納法證明 2已知數(shù)列計(jì)算根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。a、b、c，使等式對(duì)一切都成立？并證明你的結(jié)論.【課外作業(yè)】 課標(biāo)檢測(cè)課題:復(fù)習(xí)課一、教學(xué)目標(biāo)：1了解本章知識(shí)結(jié)構(gòu)。2進(jìn)一步感受和體會(huì)常用的思維模式和證明方法，形成對(duì)數(shù)學(xué)的完整認(rèn)識(shí)。課題:數(shù)學(xué)歸納法3認(rèn)

41、識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，提高創(chuàng)新能力。二、教學(xué)重點(diǎn)：進(jìn)一步感受和體會(huì)常用的思維模式和證明方法，形成對(duì)數(shù)學(xué)的完整認(rèn)識(shí)。難點(diǎn)：認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，提高創(chuàng)新能力三、教學(xué)過(guò)程：【創(chuàng)設(shè)情境】推理與證明推理證明合情推理演繹推理直接證明間接證明類(lèi)比推理歸納推理 分析法 綜合法 反證法數(shù)學(xué)歸納法一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：【探索研究】我們從邏輯上分析歸納、類(lèi)比、演繹的推理形式及特點(diǎn)；揭示了分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法和反證法的思維過(guò)程及特點(diǎn)。通過(guò)學(xué)習(xí)，進(jìn)一步感受和體會(huì)常用的思維模式和證明方法，形成對(duì)數(shù)學(xué)的完整認(rèn)識(shí)?！纠}評(píng)析】例1：如圖第n個(gè)圖形是由正邊形“擴(kuò)展”而來(lái),（，）。則第n2個(gè)圖形中共有_個(gè)頂點(diǎn)。變題：黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案：第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)則第n個(gè)圖案中有白色地面磚 塊。例2：長(zhǎng)方形的對(duì)角線與過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的兩邊所成的角為，則=1，將長(zhǎng)方形與長(zhǎng)方體進(jìn)行類(lèi)比，可猜測(cè)的結(jié)論為：_;變題1：已知，m是非零常數(shù)，xR,且有= ,問(wèn)f(x)是否是周期函數(shù)？若是，求出它的一個(gè)周期，若不是，說(shuō)明理由。變題2：數(shù)列的前n項(xiàng)和記為Sn，已知證明：（）數(shù)列是等比數(shù)列；（）例3：設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0),若函數(shù)f(x+1)與函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求證：為偶函數(shù)。例4：設(shè)Sn=1+ (n>1,nN),求