光學(xué)教程第3章

1、3.1 證明反射定律符合費(fèi)馬原理。證明：設(shè)兩個(gè)均勻介質(zhì)的分界面是平面， 它們的折射率為 n1 和 n2。光線通過(guò)第一介質(zhì)中指定的 A 點(diǎn)后到達(dá)同一介質(zhì)中指定的 B 點(diǎn)。為了確定實(shí)際光線的路徑，通過(guò) A,B 兩點(diǎn)作平面垂直于界面， OO' 是它們的交線，則實(shí)際光線在界面上的反射點(diǎn) C 就可由費(fèi)馬原理來(lái)確定，如下圖所示。(1)反證法：如果有一點(diǎn) C' 位于線外，則對(duì)應(yīng)于 C ' ，必可在 OO' 線上找到它的垂足 C'' .由于 AC' AC'' , BC' BC' ' ,故光線 AC' B 總

2、是大于光程 AC' ' B 而非極小值，這就違背了費(fèi)馬原理，故入射面和反射面在同一平面內(nèi)得證。(2)在圖中建立坐 XOY 坐標(biāo)系，則指定點(diǎn) A,B 的坐標(biāo)分別為（ x1，y1）和（ x2，y2），未知點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ x，0）。C 點(diǎn)是在 A' 、 B' 之間的，光程必小于 C 點(diǎn)在 A' B' 以外的相應(yīng)光程， 即 x1xv2 ，于是光程 ACB 為n1 ACB n1 ACn1 CBn122x )22(x x1)y1 n1 ( x2y 2根據(jù)費(fèi)馬原理，它應(yīng)取極小值，即d (n1 ACB )01( x1)dx)1(xnx2xd (ACB )nn

3、1 (A CCB )n1 (sin i1 sin i2 ) 0(x x1)2 y12( x2x )2y22dxn1AC CB所以當(dāng) i1 'i1 ，取的是極值，符合費(fèi)馬原理。3.2 根據(jù)費(fèi)馬原理可以導(dǎo)出在近軸條件下，從物點(diǎn)發(fā)出并會(huì)聚倒像點(diǎn)的所有光線的光程都相等。由此導(dǎo)出薄透鏡的物象公式。解：略13.3 眼睛 E和物體 PQ之間有一塊折射率為 1.5 的玻璃平板 ( 見(jiàn)題 3.3 圖 ), 平板的厚度 d 為 30cm。 求物 PQ的像與物體 PQ之間的距離 d2 為多少？解：玻璃板前表面有折射定律得sin i1n' ，后表面有 sin i2 '1 ，所以sin i 21

4、sin i1 'n'有 sin i2 'sin i 2sin i1 'sin i1顯然對(duì)于平板玻璃來(lái)說(shuō) i2' i2 ，因此，由 sin i 2 'sin i2 得 i 1'i1 ，說(shuō)明出sin i 1 'sin i1射光線 A21，平板玻璃厚度為 d 出射光線對(duì)入社光線的側(cè)移量E/QAlA1 A2 sin(i1i2 )而 A1A2d，所以有cosi 2ldsin(i 1i 2 )d(sin i1 cosi2cosi1 sin i2 )cosi 2cosi 2d sin i1d cosi1sini 2cosi2d sin i1 (

5、1cosi1sin i2 )cosi2sin i1而sin i21，將其代入上式得sin i1n'ld sin i1 (11cosi1)d sin i1 (11cosi1)n' cosi2n'1 sin2 i 2d sin i1 (11cosi1)n'( 1 ) 2 sin 2 i11n'2d sin i1(1cosi 1)n'2 sin 2 i1則 PQ 于 PQ之間的距離為d 2lcosi1)1cosi1)d sin i1 (1n' 2 sin 2 i1d (1n'2 sin 2 i1sin i1sin i1d2 的大小不僅與

6、玻璃折射率和玻璃厚度有關(guān)， 而且與物體發(fā)出的光線入射玻璃的入射角有關(guān)，入射角不同， d2 不同。當(dāng)入射角 i1 =0 時(shí)，即垂直入射，則有d 2d (11) 30 (11 ) 10cmn'1.53.4玻璃棱鏡的折射棱角 A為 60度,對(duì)某一波長(zhǎng)的光其折射率n 為 1.6 。計(jì)算 : (1) 最小偏向角； (2) 此時(shí)的入射角； (3) 能使光線從 A角兩側(cè)透過(guò)棱鏡的最小入射角。sin0A解： (1)由最小偏向角測(cè)折射率的公式 n2，得sin An sin AA ，2sin 022所以 02sin1 (n sin A)A202 sin 1 (1.6sin60)602 sin 1 0.82

7、06046 16'(2)此時(shí)的入射角i100A 46 16'6053 8'22(3)有折射定律得 sin i2 '1sin i10 'nsin i 2 '11sin 901sin i 10'1.6n1.63i 2 'sin113841'1.6而 i2Ai 2 '6038 41'21 19'又因?yàn)?sin i 21 ，得 sini 10n sin i2sin i 10n所以 i10sin 1 (n sini 2 ) sin 1 (1.6 sin 21 19' ) 35 34'3.5題3

8、.5 圖表示一種恒偏向棱角鏡 , 它相當(dāng)于一個(gè) 30 6090 棱鏡與一個(gè)454590 度度棱鏡按圖示方式組合在一起。白光沿i 方向入射，旋轉(zhuǎn)棱鏡改變1 ，從而使任意一種波長(zhǎng)的光可以依次循著圖示的路徑傳播，出射光線為 r 。求證：如果 sin 1n ，則12 ，且光束 i 與 r2垂直（這就是恒偏向棱鏡名字的由來(lái)）。解： (1)因?yàn)?sin 1n sin i2 ，若 sin 1n ，則 sini 21 ，得 i 2 30有圖中幾何關(guān)系易得 i 2 ' i23022再有折射定律得 sin 2n sin i 2 'nn sin 302得 21 ，證畢。(2)又因?yàn)?1 190， 2

9、290而 21，所以 12即得 ri 。3.6 高 5cm 的物體距凹面鏡定點(diǎn) 12cm。凹面鏡的焦距為 10cm，求像的位置及高度，并作出光路圖。4解：由球面反射物象公式111s'sf '由題意可知 y=5cm，s=-12cm， f 'r10 cm，代入得2111s'1210s' =-60cmy's'n又由ysn'y'6015121即 y' 25cm3.7 一個(gè) 5cm 高的物體放在球面鏡前 10cm 處成 1cm 高的虛像，求：(1)此鏡的曲率半徑； (2)此鏡是凸面鏡還是凹面鏡？解：由放大倍數(shù)y's&

10、#39;nysn'1s'1 得51015s'2cm又因?yàn)?112 得s'sr112 ，即 r 5 cm210r(2) 因?yàn)?r 5 cm>0，故為凸面鏡。P160，NO3.8解：由球面反射物象公式111s'sf '11111s'f 's1040s' 8cms'( s)8 40所以x24 cm22P160，NO3.9解：由習(xí)題3.3 可知，放入玻璃板得效果是折射光線得反向延長(zhǎng)線交點(diǎn)cosi1) ，近似為P再 P 點(diǎn)得右邊距離 l d (1n'2sin 2 i1l d (1 1 )n即63.10 欲使由無(wú)

11、窮遠(yuǎn)發(fā)出的近軸光線通過(guò)透明球體并成像在右半球面的頂點(diǎn)處，問(wèn)這透明球體的折射率應(yīng)為多少 ?解：由球面折射物象公式n'nn' ns'sr由題意可知， s， s=2r， n=1，所以n'1n' 12rr得 n' 23.11 有一折射率為 1.5，半徑為 4 cm 的玻璃球，物體在距球表面 6cm 處，求： (1)物所成的像到球心之間的距離； (2)像的橫向放大率。解： (1)已知：對(duì)前一折射面， s=-6cm，r=4cm， n' 1.5 ，n=1由球面折射物象公式 n' n 1 (n' n) 得s'sr1.511 (1.

12、51)s'64cm計(jì)算得 s'36對(duì)后一折射面 s=-36-8=-44cm，r=-4cm， n'1，n=1.5由球面折射物象公式 n'n1 (n' n) 得111s'sr(11.5)s'444計(jì)算得 s'11 cm，15cm所以物到球心之間的距離為7(2)橫向放大率：對(duì)前一球面y's'3661s6y對(duì)后一球面y's'1112s444y所以總的放大率1 26 (1 )3 ，即放大倒立實(shí)像。423.12 一個(gè)折射率為1.53、直徑為 20cm 的玻璃球內(nèi)有兩個(gè)小氣泡?？瓷先ヒ粋€(gè)恰好在球心，另一個(gè)從離觀察

13、者最近的方向看去，好像在表面與球心連線的中點(diǎn)。求兩氣泡的實(shí)際位置。解：n'nn' ns'srnn'n' nss'r（ 1）即 s' r所以 nn'n' nnsrrr即 sr ，仍在原來(lái)球心處，物像重合。（ 2） s'r2所以 nn'n' n2n'n' nn' nsr / 2rrrrnrnd(d 為球的直徑 )即 sn2(n'n)n'1.532010 2cms(11.53)6.052離球心的距離 l106.053.95cm。3.13 直徑為 1 m 的球形魚(yú)缸的

14、中心處有一條小魚(yú)， 若玻璃缸壁的影響可忽略不計(jì)，求缸外觀察者所看到的小魚(yú)的表觀位置和橫向放大率。8解：由球面折射物象公式n'n1( n' n)s'srs=-0.5m、r=-0.5m、 n'1、 n=1.33，代入得11.3311.33)s'0.5(10.5計(jì)算得 s'0.5 m故小魚(yú)的表觀位置仍在原來(lái)的位置。橫向放大率y's'n0.51.331sn'0.51.33 。y13.14 玻璃棒一端成半球形，其曲率半徑為 2cm，將它水平地浸入折射率為 1.33 的水中，沿著棒的軸線離球面頂點(diǎn) 8cm 處的水中有一物體，利用計(jì)算和

15、作圖法求像的位置及橫向放大率，并作光路圖。解：如圖所示，物方焦距nr1.33f215.647 cmn'n1.50 1.33像方焦距 f 'n'r1.50217.647 cmn'n1.50 1.33由球面折射高斯公式f 'f1， s8 cms's17.64715.6471s'8即 s'18.46cm3.15 有兩塊玻璃薄透鏡的兩表面均各為凸球面及凹球面， 其曲率半徑為10cm。一物點(diǎn)在主軸上距鏡 20cm 處，若物和鏡均浸在水中，分別用作圖法和計(jì)算法求像點(diǎn)的位置， 設(shè)玻璃的折射率為 1.5 ，水的折射率為91.33 。解： (1)當(dāng)

16、兩表面均為凸球面時(shí)，物方焦距 fn11.3339.12 cmnn1n2n1.51.331.331.5r1r21010像方焦距 f 'n21.3339.12 cmnn1n2n1.5 1.33 1.331.5r1r21010由薄透鏡成像的高斯公式f'f1s'ss20 cm所以 39.1239.121s'20s'40.92 cm(2)當(dāng)兩表面均為凹球面時(shí)，物方焦距 fn11.3339.12 cmnn1n2n1.51.331.331.5r1r21010像方焦距 f 'n21.3339.12 cmnn1n2n1.5 1.33 1.331.5r1r21010

17、由薄透鏡成像的高斯公式f'f1s'ss20 cm所以39.1239.121s'20s'13.23cm(3) 作圖法略3.16 一凸透鏡在空氣中的焦距為 40cm，在水中時(shí)焦距為 136.8 cm ，問(wèn)此透鏡的折射率為多少 ( 水的折射率為 1.33)? 若將此透鏡置于 CS2中 (CS2 的折射率為 1.62) ，其焦距又為多少？解：透鏡在空氣中的焦距為f空氣 'n2，即 401n2 n1 nn n1n 1r1r2r1r210(n111（1）1)r240r1透鏡在水中的焦距為f水 'n21.33nn1n2，即 136.81.33 nnn 1.33

18、r1r2r1r2(n111.33（2）1.33)r2r1136.8由 1、2 兩式得(n1)1136.82.57(n1.33)401.33(n1) 2.57(n 1.33)得 n=1.54（ 2）透鏡置于水CS2 中的焦距為fCS2'n21.621.62(3)(1.54 1.62) 1n n1n2 n1.54 1.62 1.621.541r1r2r1r2r1r2由 1 式及 n=1.54 得 11 11110.046296r1r240(n1)40(1.541)代入3 式中得fCS2 'n21.621.62nn1n2n1.541.621.62 1.54 (1.541.62) 0.

19、046296r1r2r1r2fCS2 '437.4 cm3.17 兩片極薄的表面玻璃，曲率半徑分別為 20cm 和 25cm將兩片的邊緣粘起來(lái)，形成內(nèi)含空氣的雙凸透鏡，把它置于水中，求其焦距為多少？n21.3344.78 cm解： f 'n2 n1 1.33 1.33 1n n1r1r220253.18 會(huì)聚透鏡和發(fā)散透鏡的焦距都是10cm，求： (1)與主軸成 30°的一束平行光入射到每個(gè)透鏡上，像點(diǎn)在何處?(2) 在每個(gè)透鏡左方的焦平面上離主軸lcm 處各置一發(fā)光點(diǎn)，成像在何處?作出光路圖。11解： (1)因?yàn)?111,而 s,對(duì)于凸透鏡 f '10 cm

20、，s'sf '所以 s' x f ' 10cm， s'y f ' tan 30 10 0.5775.77 cm考慮到光可以是斜向上或向下30°入射，所以像點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 10，±5.77）對(duì)于凹透鏡 f '10 cm，所以 s' xf '10 cm， s'yf ' tan 30100.5775.77 cm考慮到光可以是斜向上或向下30°入射，所以像點(diǎn)的坐標(biāo)為（ -10，±5.77）(2) 因?yàn)?111,而 sff ' ,對(duì)于凸透鏡f ' 10cm，s&#

21、39;sf '所以 s'cm，即光為平行光出射。所以無(wú)像點(diǎn)存在，對(duì)于凹透鏡f '10cm， sf '所以 s' xf '5 cm，2y's' ， y'5又由于，即 y' 0.5cmys110考慮到物可以在主軸上、下距離1cm，所以像點(diǎn)的坐標(biāo)為（ -5，± 0.5）3.19 題 3.19 圖 (a) 、(b) 所示的 MM分別為一薄透鏡的主光軸， s 為光源， s 為像，用作圖法求透鏡中心和透鏡焦點(diǎn)的位置。解：略* 3.20 比累對(duì)切透鏡是把一塊凸透鏡沿直徑方向剖開(kāi)成兩半組成 , 兩半塊透鏡垂直光軸拉開(kāi)一點(diǎn)

22、距離 , 用擋光的光闌 K 擋住其間的空隙 ( 見(jiàn)題 3.20 圖 ), 這時(shí)可在屏上觀察到干涉條紋 . 已知點(diǎn)光源 P 與透鏡相距 300cm,透鏡的焦距 f =50cm,兩半透鏡拉開(kāi)的距離 t=1mm,光屏與透鏡相距 l =450cm.用波長(zhǎng)為 632.8nm的氦氖激光作為光源 , 求干涉條紋的間距 .12* 3.21 把焦距為 10cm的會(huì)聚透鏡的中央部分 C切去 ,C 的寬度為 1cm,把余下的兩部分粘起來(lái) ( 題3.21 圖 ). 如在其對(duì)稱軸上距透鏡 5cm處置一點(diǎn)光源，試求像的位置* 3.22 一折射率為 1.5 的薄透鏡 , 其凸面的曲率半徑為 5cm,凹面的曲率半徑為 15c

23、m,且鍍上銀 ( 見(jiàn)題 3.22 圖 ). 試證明 : 當(dāng)光從凸表面入射時(shí) , 該透鏡的作用相當(dāng)于一個(gè)平面鏡 .( 提示 : 物經(jīng)過(guò)凸面折射 , 凸面反射和凹面再次折射后 , ss ,1.)3.23題3.23 圖所示的是一個(gè)等邊直角棱鏡和兩個(gè)透鏡所組成的光學(xué)系統(tǒng) . 棱鏡折射率為 1.5, 凸透鏡的焦距為 20cm,凹透鏡的焦距離為 10cm,兩透鏡間距為 5cm,凸透鏡距棱鏡邊的距離為 10cm.求圖中長(zhǎng)度為 1cm的物體所成像的位置和大小 .( 提示 : 物經(jīng)棱鏡成像在透鏡軸上 , 相當(dāng)于經(jīng)過(guò)一塊厚 6cm的平板玻璃 , 可利用例 3.1 的結(jié)果求棱鏡所成像的位置 .)3.24 顯微鏡由焦

24、距為 1cm的物鏡和焦距為 3cm的目鏡組成 , 物鏡與物鏡之間的距離為 20cm,問(wèn)物體放在何處時(shí)才能使最后的像成在距離眼睛25cm處?3.25 題 3.25 圖中 L為薄透鏡 , 水平橫線 M M 為主軸 .ABC為已知的一條穿過(guò)這個(gè)透鏡的路徑，用作圖法求出任一條光線 DE穿過(guò)透鏡后的路徑。* 3.26 題 3.26 圖中 M M 是一厚透鏡的主軸 , H 、H 是透鏡的主平面， S1是點(diǎn)光源， S1 是點(diǎn)光源的像 . 試用作圖法求任一物點(diǎn)S2 的像 S2 的位置 .3.27雙凸透鏡的折射率為 1.5 ， r1 =10cm， r2 =15cm,r2 的一面鍍銀，污13點(diǎn) P在透鏡的前主軸上

25、 20cm處，求最后像的位置并作出光路圖.3.28 實(shí)物與光屏間的距離為z，在中間某一位置放一個(gè)凸透鏡，可使實(shí)物的像清晰地投于屏上。將透鏡移過(guò)距離 d 之后，屏上又出現(xiàn)一個(gè)清晰的像(1) 試計(jì)算兩個(gè)像的大小之比；(2) 證明透鏡的焦距為f 'l 2d 2； (3) 證明 l 不能小于 透鏡 焦距 的 4 倍 。4l解： (1)依題意作草圖如下令 s2 ' x ，則 s1 l xd ， s2 lx ， s1 ' d x由透鏡成像公式 111 得，s'sf '第一次成像 111 ，即111s1's1f 'd xl (dx) f '即l

26、1（1）x) l (dx)f '(d第二次成像 111，即111s2 's2f 'x(l x)f '即l1（2）x( lx)f '由 (1)(2)式得(dx) l(dx)x( lx)即 dld 2dxxlxdx2xl x2得l d2xld（ 3）0 ，所以 x2即 s1lxldd2s1 'd xdld ld2214s2l xl dl dl22s2 'ldx2（）求兩次象的大小之比：y's'，即ysy1's'ldld12y1sldld2y2 's2 'ldld22y2s2ldld而 y1y22

27、所以y1 's'ldld122y2 'sld()2ld2y1 ' 、 y2 ' 為兩次像的大小，所以兩像的大小之比為(ld )2(2)證明ld將 3式代入 2式得l1l d( ll d)f '224l1(ld )(ld )f '即 f'l 2d 24l(3)證明：由 f 'l 2d 2得l 2d24l4lf 'd 2l 24lf '可見(jiàn)：若 l4 f' ，則 d 無(wú)解，即得不到對(duì)實(shí)物能成實(shí)像的透鏡位置若l4 f ' ，則 d 0，即透鏡在l 中央，只有一個(gè)成像位置，1若 l4 f ' ，則 d>0可有15兩個(gè)成像位置。故欲使透鏡成像，物和屏的距離l 不能小于透鏡焦距的4 倍但要滿足題中成兩次清晰的像，則必須有l(wèi) 4 f '3.29一厚透鏡的焦距f為 60mm，其兩焦點(diǎn)間的距離為125mm，若（ 1）物點(diǎn)置于光軸上物方焦點(diǎn)左方20mm處；（ 2）物點(diǎn)置于光軸上物方焦點(diǎn)右方20mm處；（ 30) 虛物落在光軸上像方主點(diǎn)右方 20mm處，文在這三種情況下像的位置各在何處？像的性質(zhì)各如何？