(完整版)數(shù)學(xué)歸納法典型例題

1、數(shù)學(xué)歸納法典型例題【知識(shí)梳理】數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù) n 的命題的一種方法， 在高等數(shù)學(xué)中有著重要的用途，因而成為高考的熱點(diǎn)之一。 近幾年的高考試題， 不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)代的結(jié)論， 而且加強(qiáng)了對(duì)于不完全歸納法應(yīng)用的考查， 既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性，因此，初步形成“觀察歸納猜想證明”的思維模式，就顯得特別重要。一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n 有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n 取第一個(gè)值 n = n 0 時(shí)命題成立；（ 2）（歸納遞推）假設(shè) n = k（時(shí)命題也成立。）時(shí)命題成立，證明當(dāng)只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)n

2、 都成立。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯， 它的第一步稱為奠基步驟， 是論證的基礎(chǔ)保證，即通過(guò)驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn)， 這個(gè)基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠； 它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證， 即只要命題對(duì)某個(gè)正整數(shù)成立， 就能保證該命題對(duì)后繼正整數(shù)都成立， 兩步合在一起為完全歸納步驟， 稱為數(shù)學(xué)歸納法， 這兩步各司其職，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)危亲C明命題是否具有傳遞性， 如果沒(méi)有第一步， 而僅有第二步成立， 命題也可能是假命題?！疽c(diǎn)解析】1 、用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵在第二步，即nk1 時(shí)為什么成立，nk1 時(shí)成立是利用假設(shè) nk 時(shí)成立

3、，根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出 nk1 時(shí)成立，而不是直接代入， 否則 nk1 時(shí)也成假設(shè)了，命題并沒(méi)有得到證明。用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問(wèn)題，但并不是所有的正整數(shù)問(wèn)題都是用數(shù)學(xué)歸納法證明的，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問(wèn)題具體分析。2 、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)易犯的錯(cuò)誤（1）對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤，特別是尋找n k與 nk1 的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯(cuò)。（2）沒(méi)有利用歸納假設(shè)： 歸納假設(shè)是必須要用的， 假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過(guò)去了。（3）關(guān)鍵步驟含糊不清，“假設(shè)nk 時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明n k 1 時(shí)結(jié)論也成立”，是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問(wèn)題最重要的環(huán)節(jié)，對(duì)推導(dǎo)

4、的過(guò)程要把步驟寫完整，注意證明過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性?！镜湫屠}】例 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，。解析： 當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊 =右邊，所以等式成立。假設(shè)時(shí)等式成立，即有，則當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，等式也成立。由，可知，對(duì)一切等式都成立。點(diǎn)評(píng)：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式，命題關(guān)鍵在于 “先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n 的取值是否有關(guān)，由到時(shí)等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)。（2）在本例證明過(guò)程中，（ I ）考慮“ n 取第一個(gè)值的命題形式”時(shí)，需認(rèn)真對(duì)待，一般情況是把第一個(gè)值代入通項(xiàng)，考察命題的真假， （ II ）步驟在由到 的遞推過(guò)程中，必

5、須用歸納假設(shè)，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法。本題證明時(shí)若利用數(shù)列求和中的拆項(xiàng)相消法，即，則這不是歸納假設(shè)，這是套用數(shù)學(xué)歸納法的一種偽證。（3）在步驟的證明過(guò)程中，突出了兩個(gè)湊字，一“湊”假設(shè)，二“湊”結(jié)論，關(guān)鍵是明確 時(shí)證明的目標(biāo)，充分考慮由 到 時(shí)，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系。例2.。解析：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，命題成立。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即，那么當(dāng)時(shí)，左邊。上式表明當(dāng)時(shí)命題也成立。由（ 1）（ 2）知，命題對(duì)一切正整數(shù)均成立。例 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1 的自然數(shù) n，不等式成立。解析： 當(dāng)時(shí)，左 =，右，左 右，不等式成立。假設(shè)時(shí)，不等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)，時(shí)，不等

6、式也成立。由，知，對(duì)一切大于1 的自然數(shù) n，不等式都成立。點(diǎn)評(píng)：（ 1）本題證明 命題成立時(shí)，利用歸納假設(shè)，并對(duì)照目標(biāo)式進(jìn)行了恰當(dāng)?shù)目s小來(lái)實(shí)現(xiàn)，也可以用上歸納假設(shè)后，證明不等式成立。（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題時(shí)要注意兩個(gè)步驟缺一不可，第步成立是推理的基礎(chǔ)， 第步是推理的依據(jù)（即成立，則成立，另一方面，第步中，驗(yàn)證3 等；第步中，證明成立， ，從而斷定命題對(duì)所有的自然數(shù)均成立）中的未必是 1，根據(jù)題目要求，有時(shí)可為時(shí)命題也成立的過(guò)程中，要作適當(dāng)?shù)淖冃危O(shè)法。2，用上歸納假設(shè)。例 4.若不等式對(duì)一切正整數(shù)n 都成立，求正整數(shù) a 的最大值，并證明你的結(jié)論。解析：取，。令所以取

7、，得，而，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，（1）時(shí)，已證結(jié)論正確（2）假設(shè)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)?，所以，所以，即時(shí)，結(jié)論也成立，由（ 1）（ 2）可知，對(duì)一切，都有，故 a 的最大值為 25。例 5.用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被 9 整除。解析： 方法一：令，（1）能被 9 整除。（2）假設(shè)能被 9 整除，則能被 9 整除。由（ 1）（ 2）知，對(duì)一切，命題均成立。方法二：（ 1），原式能被 9 整除，（2）若，能被 9 整除，則時(shí)時(shí)也能被 9 整除。由（ 1），（ 2）可知，對(duì)任何，能被 9 整除。點(diǎn)評(píng)：證明整除性問(wèn)題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，而采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段湊出時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題

8、獲證。例 6.求證：能被整除，。解析： （1）當(dāng)時(shí)，命題顯然成立。（2）設(shè)時(shí)，能被整除，則當(dāng)時(shí)，。由歸納假設(shè)，上式中的兩項(xiàng)均能被整除，故時(shí)命題成立。由（ 1）（ 2）可知，對(duì)，命題成立。例 7.平面內(nèi)有 n 個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都交于兩點(diǎn)，且無(wú)三個(gè)圓交于一點(diǎn)，求證：這 n 個(gè)圓將平面分成個(gè)部分。解析： 時(shí)， 1 個(gè)圓將平面分成2 部分，顯然命題成立。假設(shè)時(shí)，個(gè)圓將平面分成個(gè)部分，當(dāng)時(shí)，第 k+1 個(gè)圓交前面 k 個(gè)圓于 2k 個(gè)點(diǎn)，這 2k 個(gè)點(diǎn)將圓分成 2k 段，每段將各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了2k 個(gè)區(qū)域，所以這k+1 個(gè)圓將平面分成個(gè)部分，即個(gè)部分。故時(shí)，命題成立。由，可知，對(duì)命題成

9、立。點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k 個(gè)變成 k+1 個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少， 這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來(lái)分析，在實(shí)在分析不出來(lái)的情況下， 將 n=k+1 和 n=k 分別代入所證的式子， 然后作差，即可求出增加量， 然后只需稍加說(shuō)明即可， 這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧。例 8.設(shè)，是否存在關(guān)于自然數(shù)n 的函數(shù)，使等式對(duì)于的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論。解析： 當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，猜想。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，等式恒成立。當(dāng)時(shí)，由上面計(jì)算知，等式成立。假設(shè)成立，那么當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，等式也成立。由知，對(duì)一切的自然數(shù) n，等式都成

10、立。故存在函數(shù)，使等式成立。點(diǎn)評(píng)：（ 1）歸納、猜想時(shí)，關(guān)鍵是尋找滿足條件的與 n 的關(guān)系式，猜想的關(guān)系未必對(duì)任意的都滿足條件，故需用數(shù)學(xué)歸納法證明。（2）通過(guò)解答歸納的過(guò)程提供了一種思路：可直接解出，即?！灸M試題】1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng) n 為正奇數(shù)時(shí)， 能被 整除”時(shí)，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成A.假設(shè)時(shí)，命題成立B. 假設(shè)時(shí)，命題成立C. 假設(shè)時(shí)，命題成立D. 假設(shè)時(shí)，命題成立2. 證明 ，假設(shè) 時(shí)成立，當(dāng) 1 時(shí)，左端增加的項(xiàng)數(shù)是A. 1項(xiàng)B.項(xiàng)C. k項(xiàng)D.項(xiàng)3.記凸 k 邊形的內(nèi)角和為，則凸邊形的內(nèi)角和（）A.B.C.D.4.某個(gè)命題與自然數(shù)n 有關(guān)，若時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)該

11、命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)時(shí)，該命題不成立，那么可推得A.當(dāng)時(shí)，該命題不成立B. 當(dāng)時(shí)，該命題成立C. 當(dāng) n=4 時(shí)，該命題不成立D. 當(dāng) n=4 時(shí)，該命題成立5.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由到時(shí)，不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是A.B.C.D.6.（ 5 分）在數(shù)列中，且，2成等差數(shù)列（表示數(shù)列的前 n 項(xiàng)和），則，分別為 _；由此猜想_。7. （5 分）已知對(duì)一切都成立，那么 a=_， b=_， c=_。8. （ 14 分）由下列各式：， 你能得出怎樣的結(jié)論？并進(jìn)行證明。9.（ 16 分）設(shè)數(shù)列滿足，。（1）證明：對(duì)一切正整數(shù)n 均成立；（2）令，判斷與的大小，并說(shuō)明理由。10. （ 14 分）已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，。（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明（2）證明：。11.（16 分）（ 2006 年，江西）已知數(shù)列滿足：，且。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，不等式恒成立?！驹囶}答案】1. B2. D3.