數(shù)學(xué)奧林匹克高中訓(xùn)練題4_0606

1、20中等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克高中訓(xùn)練題(4)第一試一、選擇題(每小題6分,共36分)1.如果一個(gè)n面體中m個(gè)面是直角三角形,就說這個(gè)n面體的直度為.如果一n).-|MT|與b-a的大小關(guān)系是(A)|OM|-|MT|>a(BOM|-|a()OM|-)ABC的三邊長a、b、c和面積S22滿足S=,且C既不是ABCk個(gè)n(n4)面體的直度為1,k,).n與k應(yīng)滿足(A)k)k=n2(C)k=n(D)k=2n32.如圖1,P為ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足AP=AB+AC.則PBC55的面積與ABC的面積圖1).之比為(A)(B)(C)(D)2x+2x+xf(x)=22x+cosx的最大值為M,最小值為m.則

2、M與m滿足().(A)M+m=2(B)M+m=4(C)M-m=2(D)M-m=44.如圖2,過雙曲線2-2=1(a>0,bab22).取值范圍是(A)(0,4)(C)(0,4(-1)(B)(4(-1),4)(D)(4,+)6.已知S是由n(n3)個(gè)正數(shù)組成的集().(A)1003(B)503(C)253(D)103二、填空題(每小題9分,共54分)1.正整數(shù)a、b、c滿足log6a+log6b+log6c=6,a、b、c依次構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,且b-axmy+n,x-y0,y0.2.已知點(diǎn)A(5,5),直線l:x=my+n>0)的左焦點(diǎn)F作圓222x+y=a的切線,切點(diǎn)為T,延長F

3、T交雙段PF的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則|OM|的外接圓的直徑為20,則n的值是.切,且它們均與60°的二面角-l-的兩2006年第6期21個(gè)半平面相切.另有一個(gè)更大的球O和該二面角的兩個(gè)半平面也都相切,同時(shí)與球O1和球O2相外切.那么,球O的半徑R=.4.若x、y-2006,2006,且滿足1+cos(2x+3y-1)22=,x-y+1則xy的最小值是.5.在平面直角坐標(biāo)系中,圓C1與圓C2A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(x3,y3)、Q(x4,y4).求證:y1+y2=y3+y4.(20分)設(shè)2006個(gè)實(shí)數(shù)a1,a2,五、a2006滿足aaa2a1+3a2+2007a20

4、06=,3,7.40133a4a2相交于點(diǎn)P、Q,其中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2),兩圓半徑的乘積為.若直線y=kx(k>0)2x軸均與圓C1和圓C2相切,6.(22007+2008+4012=求代數(shù)式3+-x),fn(x)x)n個(gè)5+7+4013的值.第二試(50分)如圖4,G、一、H是ABC內(nèi)兩點(diǎn),且滿足ACG=BCH,CAG=BAH.過點(diǎn)G分別作GDBC,GECA,GFAB,垂足分別為D、E、F.若DEF=90°,求證:H為BDF的垂圖4心.(50分)求證:存在唯一的正整數(shù)數(shù)二、列a1,a2,使得a1=1,a2>1,an+1(an+1-1)=anan+23fn(x)的反函

5、數(shù)為fn(x).則-1-1f40=.(20分)一個(gè)袋子中裝有m個(gè)紅球和三、f40n個(gè)白球(m>n4),它們除顏色不同外,其余都相同.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球.(1)若取出兩個(gè)紅球的概率等于取出一紅一白兩個(gè)球的概率的整數(shù)倍,求證:m必為奇數(shù);(2)若取出兩個(gè)球顏色相同的概率等于取出兩個(gè)球顏色不同的概率,求滿足m+n40的所有數(shù)組(m,n).(20分)如四、圖3,A1、A2是橢圓2+2=1(aabanan+2-1+1-1>b>0)的左、右頂點(diǎn),M(m,0)(m>a)為x軸上一(n=1,2,).圖3直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)A、B,直線A1A和m(50分)對(duì)由n個(gè)P、三、n個(gè)Q和n個(gè)R排

6、成的行,在其下面重新定義一行(比上面一行少一個(gè)字母).若其頭上的兩個(gè)字母不同,則在該位置寫上第三個(gè)字母;若其頭上的兩個(gè)字母相同,則在該位置寫上該字母.對(duì)新得到的行重復(fù)上面的操作,直到變?yōu)橐粋€(gè)字母22中等數(shù)學(xué)最大值和最小值,所以,g(x)也存在最大值M和最小值m,且M+m=0.故M+m=(M+1)+(m+1)=2.4.C.n=2的一個(gè)例子.求所有的正整數(shù)n,使得對(duì)任意的初始排列,經(jīng)上述操作后,所得到的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上的字母要么全相同,要么兩兩不同.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F,則|PF|=|PF|+2a.因?yàn)閨PF|=2|MF|,|PF|=2|OM|,所以,|MF|=|OM|+a.在RtOTF中,因?yàn)?/p>

7、|TF|OF|-|2參考答案第一試一、1.B.因?yàn)閚面體的直度為1,所以,它的n直角三角形.又因?yàn)閚且每條棱屬于兩個(gè)面,n,即=n.22.D.如圖6,設(shè)AM=AB,5AN=AC,則AP=AM+5MPAC,NPAB.過點(diǎn)P作BC的平行圖6線,分別交AB、AC于點(diǎn)B、(或C.則PBC與ABC邊BC上的高之比為AB),設(shè)為(0<<1),故=.ACSABC由相似三角形的性質(zhì)得=,即NPNC=.AMAC-AN-CCb,所以|MT|+b.MT|+|OM|+a,即|-|=b-a.5.B.不妨設(shè)0<ACB<,則2從而,<C<.4222222又k=SabsinC2=4tan2

8、absinC2在上是增函數(shù),所以,424tan<k<4tan.84故4(-1)<k<4.6.C.設(shè)有三個(gè)正數(shù)a1、a2、a3(a1<a2<a3).若a1+a2a3,則這三個(gè)數(shù)不能構(gòu)成三角形的三邊.為使a3最小,取a1+a2=a3.令a1=4,a2=5,a3=a1+a2=9,ai=ai-1+ai-2,(i3),AB-BBAC從而,=.ABAC-CC55所以,-=.22-5解得=1(舍去),=.53.A.22x+cosx2x+cosx因?yàn)間(x)=2為奇函數(shù),且f(x)存在2x+cosx可得一個(gè)非三角數(shù)集A=ai|i=1,2,.A0=4,5,9,14,23,37

9、,60,97,157,254.所以,m<254.若將A0中的任一元素?fù)Q成4到253中的非A0的任一其他正整數(shù),由此得到的新的10元子集都是三角數(shù)集.2006年第6期23故m的最大可能值為253.二、1.111.由題設(shè)得abc=66,且b2=ac.所以,b=36.又b-a為一完全平方數(shù),所以,a可取值為11,20,27,32.經(jīng)檢驗(yàn),只有a=27符合題意.此時(shí),c=48.故a+b+c=27+36+48=111.2.10因?yàn)镽>1,所以,R=4.253.注意到直線l:x-y=0也過點(diǎn)A,所以,A為直線l與l的交點(diǎn).可行域如圖7中AOB陰影部分(含邊界)所示.=,=.-)sin(6所以,

10、=tan,得m=-m6又直線l過點(diǎn)A(5,5),所以,5=-×5+n.解得n=103.3.因?yàn)?+cos2(2x+3y-1)>0,所以,22x-y+12=x-y+1=x-y+1+>x-y+故x-y+2x+3y-1)2,所以,2x+3y-1)=2,且x-y+1=1.,且x=y.,2x+3y-1=k從而,x=y=52(kZ).2故xy=.5525當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí),上式等號(hào)成立.55.2設(shè)兩圓圓心的坐標(biāo)為Ci(xi,yi)(i=1,2).則|PCi|=yi,即(xi-3)2+(yi-2)2=yi,亦即2xi-6xi-4yi+13=0(i=1,2).又兩圓的連心線C1C2過坐標(biāo)

11、原點(diǎn)O,且是直線y=kx與x軸所成角的平分線,設(shè)其方程為y=mx,則yi=mxi(i=1,2).將式代入式得2xi-(6+4m)xi+13=0.所以,x1x2=13.圖8如圖8,易知三個(gè)球的球心O、O1、O2均在二面角-l-的平分面上.設(shè)球O1與面、分別切于點(diǎn)A、B,BCl,EFl,O1CA=OFD=30°.又由題設(shè)知y1y2=故m2=2,即mx1x2=.22(,即m=則因無解,-舍去).2222=21-m從而,O1C=2,OF=2R.聯(lián)結(jié)O1O2交OF于點(diǎn)H,則H為球O1與球O2的切點(diǎn),且OHO1O2,OH=2R-2,O1H=1,OO1=R+1.222OO1由二倍角的正切公式得k=

12、6.9f1(x)=f(x)=f2(x)=f(f(x)-x2,在RtOHO1中,OH+O1H=(2R-2)+1=(R+1).22,即=-222=解得R=.31-2x2,1-x24f3(x)=f(f(f(x)中等數(shù)學(xué)(a2+k2b2)y2+2kmb2y+b2(m2-a2)=0.2222故y1+y2=-222,y1y2=222.a+kba+kb=-222=1-3x2,兩式相除得y11-2x+y2=-歸納易得fn(x)=由y=x=y,ky1+m+ay,2ky+m+a+y1y2-nx2.又直線A1A和直線A1B的斜率分別為kA1A=kA1B=yx1+ayx2+a=1-nx1+ny-122及x、y同號(hào)得A

13、1A.+nx2+kAB所以,fn(x)=-1.22k(m+a).-412y1+y2從而,fn(x)fn(x)=f-=2k+(m+a)2-22m-2=-.m-a故f40=.9因?yàn)辄c(diǎn)P,ym3+am2、Q,ym42分別在直線A1A、A1B上,所以,y3=kA1A(1)記三、“取出兩個(gè)紅球”為事件A“取出一紅,211P(A)=2,P(B)=2.Cm+nCm+n,y4=kA1BkAA12于是,y3+y4=+am+kA1B依題意得P(A)=kP(B)(kN+).則有Cm=kCmCn.211=a(m+a)-m-y4=-由此得m=2kn+1.因?yàn)閗、nN+,所以,m為奇數(shù).(2)記“取出兩個(gè)白球”為事件C,

14、則P(C)=由式、得y1+y2=y3+.2Cm+n2五、記n=2006,并定義R(x)=x+1a+x+2+x+n.依題意得P(A)+P(C)=P(B).則有2211Cm+Cn=CmCn.由此得m+n=(m-n)2.從而,m+n為完全平方數(shù).又由m>n4及mn40,得9m+n40.m+n=9,m+n=16,所以m-n=;m-n=4;m+n=25,m+n=36,m-n=5;mn=6.m=6,m=10m=15m=21,(舍)n=3n=6;n=10;n=15.故滿足條件的數(shù)組(m,n)為(10,6),(15,10),(21,15).四、設(shè)lAB:x=ky+m,代入2+2=1,得ab22則所求代數(shù)

15、式為a3+a5+7+a4013=R22.記R(x)=(),px其中,p(x)=(x+1)(x+2)(x+n),q(x)是次數(shù)小于n的多項(xiàng)式.由定義可知R(k)=(k=1,2,n).2k+1從而,多項(xiàng)式4p(x)-(2x+1)q(x)的次數(shù)不大于n,且1,2,n是方程4p(x)-(2x+1)q(x)=0的根.由代數(shù)基本定理有2006年第6期4p(x)-=c(x-n25其中,c是依賴于a1,a2,an的常數(shù),比較式(2x+1)q(x)1)(x-2)(x-n).因?yàn)閍n、an+1、an+2均為正整數(shù),若an+1+3anan+2-1=1,則an+1=1,anan+2-1=0.從而,an=an+2=1.

16、于是,an=an+1=an+2=1.故an是各項(xiàng)均為1的常數(shù)數(shù)列,這與a2>1矛盾.所以,an+1+3兩端x的系數(shù)可得c=4-2(a1+a2+an).將x=-c=代入式,可得2n.2n+10.anan+2-11另外,將x=4p2-2q代入式得22=.n(2n+1)×2則an+1-3anan+2-3anan+2=1+n1n=時(shí),a2;=2a4=1+a33.3369,a2a4=1+(1+a32)=2+3a2+3a2+a2.由式得R2q=p=2-(2n2注意到a4為正整數(shù),則有a2|2.又a2>1,所以,a2=2.由此可得a3=9,a4=365.故數(shù)列an唯一確定.下面用數(shù)學(xué)歸

17、納法證明:an是正整數(shù)數(shù)列.由上知a1、a2、a3、a4N+,假設(shè)an、an+1、an+2、an+3N+.則an+4=R=-=1-2.22(2n+1)24013第二試一、如圖9,聯(lián)結(jié)DH.因?yàn)镚DBC,GECA,所以,C、D、G、E四點(diǎn)共圓.故GDE=ACG=BCH.從而,DECH.圖9同理,EFAH.又DEF=90°,所以,AHC=90°.因?yàn)?,CHACcosHCAACHCD=ACG,所以,HCDACG.則CHD=CAG=EFG.又因?yàn)镃HEF,所以,DHGF.于是,DHAB.同理,FHBC.故H是BDF的垂心.二、an+1(an+1-1)=(3333an+2663=.

18、3an+2an+1333333因?yàn)閍3n+1+a3n+3a3n+1=a3n+1+(1+a3n+2)3=an+2+3an+2+3an+2+1+an+1=an+2+3an+2+3an+2+anan+2,99所以,an+2|(a3n+1+a3n+3a3n+1).又anan+2=1+a3n+1,所以,(an+2,a3n+1)=1,a3n+1|(a3n+1+a3n+3a3n+1).從而,an+2a3n+1|(a3n+1+a3n+3a3n+1).于是,N+,即an+4N+.3an+2an+1333故an是正整數(shù)數(shù)列.三、當(dāng)n=1時(shí),只有如圖10的6種情形:PQRRPQPRQQPRQRPQPRRQPPQRR

19、PQQRPRQPPRQ3圖10anan+2-1+1-1)anan+2-1+1anan+2-1)-323均符合題意.對(duì)n2的情形,依下面的方法處理.當(dāng)n2時(shí),用0、1、2分別代表P、Q、R.xi,j表示第i行的第j個(gè)數(shù),那么,xi+1,j2(xi,j+xi,j+1)(mod3).由此可知,最后一行的那個(gè)數(shù)為-1anan+2-1,3=(即(an+1-anan+2-1)(an+1+anan+2-1-1)=0.26中等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克高中訓(xùn)練題(5)第一試一、選擇題(每小題6分,共36分)1.若x=x-x(x表示不超過x的2006D)3c=a-b)上,直線lx=-,c222且點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-,PQl于點(diǎn)Q.P、FQ,).()(C)23(B)(D)22最大整數(shù)),則方程2005x+x=).數(shù)解的個(gè)數(shù)是(A)02.cos().(A)3(B)4(C)4(B1)2等于285.使得三個(gè)數(shù)a+5、b-2、a+b是某個(gè)(D)3.若ABCD-ABCD是一個(gè)單位正方直角三角形的三條邊的長度的二元有序整數(shù)).對(duì)(a,b)的個(gè)數(shù)是(A)0(B)1(C)2(D)36.使得1ab100,且57|ab的正整).數(shù)對(duì)(a,b)的個(gè)數(shù)是(A)225(B)228(C)231(D)234二、填空題(每小題9分,共54分)1.設(shè)a是一個(gè)實(shí)數(shù).若對(duì)于任何實(shí)數(shù)