江蘇啟東中學(xué)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)之考點(diǎn)透析10：三角證明與計(jì)算的

1、1江蘇啟東中學(xué)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)之考點(diǎn)透析10：三角證明與計(jì)算的綜合考查【考點(diǎn)聚焦】考點(diǎn)1：同角的三角函數(shù)關(guān)系式； 考點(diǎn)2：誘導(dǎo)公式；考點(diǎn)3：和、差、倍角公式 考點(diǎn)4：正弦定理、余弦定理、面積公式。 【考題形式】與倍角公式有關(guān)的計(jì)算與證明。 【考點(diǎn)小測(cè)】1. cos43°cos77°+sin43°cos167°的值為解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos 43cos 77sin 43sin 77cos120-=212已知f (cosx =cos3x ，則f (sin30º 的值為

2、1 3. 如果cos 51，且是第四象限的角，那么 2cos(+解： 已知cos( sin (2+=-=-=；4. 已知(2, ，sin =53, 則tan(4+解：由3(, , sin , 25=則3tan 4=-，tan( 4+=1tan 11tan 7+=-，。5已知sin =53，(2， ，tan(=21，則tan(2=_ _234( tan tan 743tan(2 341tan tan 2241( (43-=+-6 設(shè)(43, 4 ，(04，cos(4=53，sin(43+=135，則sin(+=_7. 已知tan2=2，則tan( 4+6sin cos 3sin 2cos +-=

3、 。解：（I ） tan2=2, 22tan 224tan 1431tan2=-;2所以tan tantan 1tan( 41tan 1tan tan 4+=-=41134713-+=-+； （II ）由(I, tan=34, 所以6sin cos 3sin 2cos +-=6tan 13tan 2+-=46( 17463( 23-+=-.8. （江蘇卷）-+40cos 270tan 10sin 310cos 20cot 【思路點(diǎn)撥】本題考查三角公式的記憶及熟練運(yùn)用三角公式計(jì)算求值 解： 00000cos 20cos10cot 20cos1010tan 702cos 402cos 40sin

4、20cos 70+-=+ 2cos 40sin 20= cos 20(cos10102cos 40sin 20+=- 00cos 20(cos10102cos 20(cos10sin 30sin 10cos 302cos 402cos 40sin 20sin 202cos 20sin 402sin 20cos 402sin 20+=-=-=【典型考例】【問(wèn)題1】“拆項(xiàng)”與“添項(xiàng)”巧湊“和角、差角”公式 例1（1）8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin +=32-；（2）20cos 20sin 10cos 2-=3例2已知：41 2tan(, 52 tan(=-=+，求：

5、 4tan(+的值.223點(diǎn)評(píng)：進(jìn)行三角變換的技巧常常是變角注意角的和、差、倍、半、互余、互補(bǔ)關(guān)系，根據(jù)實(shí)際情況，對(duì)角進(jìn)行“拆”或“添”變形，這樣可以大大減少運(yùn)算量. 【問(wèn)題2】弦切互化 例3 P44例1 例4 P44例2 P 46T 5（安徽卷）已知40, sin 25<<=（）求22sin sin 2cos cos 2+的值；（）求5tan( 4-的值。解：( 由40, sin 25<<=，得3cos 5=，所以22sin sin 2cos cos 2+322sin 2sin cos 203cos 1+=-。（）sin 4tan cos 3=，5tan 11tan(

6、 41tan 7-=+?！締?wèn)題3】sin cos 與sin cos ±對(duì)偶互化 例5已知51cos sin , 02=+<<-x x x . （I ）求sin x cos x 的值；（）求xx x xxx cot tan 2cos2cos2sin22sin322+-的值.思路分析：將sin x -cos x =51平方，求出sin x cos x 的值，進(jìn)而求出（sin x -cos x ）2，然后由角的范圍確定sin x -cos x 的符號(hào). 解法一：（）由, 251coscos sin 2sin, 51cos sin 22=+=+x x x x x x 平方得即 .

7、 2549cos sin 21cos (sin. 2524cos sin 22=-=-=x x x x x x又, 0cos sin , 0cos , 0sin , 02<-><<<-x x x x x 故 . 57cos sin -=-x x（）xx xxx xxx x xxx sin cos cos sin 1sin 2sin2cot tan 2cos2cos2sin2sin3222+-=+-125108 512( 2512( sin cos 2(cos sin -=-=-=x x x x解法二：（）聯(lián)立方程=+=+. 1cos sin , 51cos sin

8、 22x x x 由得, cos 51sin x x -=將其代入，整理得, 012cos 5cos252=-x x=-=<<-=-=.54c o s , 53s i n , 02.54c o s 53c o s x x x x x 或故 . 57cos sin -=-x x4（）xx x xxx cot tan coscossinsin322+-xx xxx xsin cos cos sin 1sin sin22+-=125108 53542(54 53( sin cos 2(cos sin -=+-=-=x x x x點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函

9、數(shù)在各象限符號(hào)等基本知識(shí)，以及推理和運(yùn)算能力. 例6：已知 3tan(sin , 2572cos , 1027 4sin(+=-及求.解法一：由題設(shè)條件，應(yīng)用兩角差的正弦公式得cos (sin22 4sin(1027-=-=，即57cos sin =- 由題設(shè)條件，應(yīng)用二倍角余弦公式得sin (cos57 sin (cossin (cossincos 2cos 25722-=+-=-=故51sin cos -=+ 由式和式得 54cos , 53sin -=. 因此，43tan -=，由兩角和的正切公式331433tan 313tan 4tan(-=+-=+-=-+=+解法二：由題設(shè)條件，應(yīng)用

10、二倍角余弦公式得-=2sin212cos 257解得53sin , 259sin2±=即 由57cos sin , 1027 4sin(=-=-可得由于057sin cos , 0cos 57sin <-=>+=且，故在第二象限，于是53sin =.從而5457sin cos -=-=，以下同解法一.【問(wèn)題4】向量與三角小綜合例7 已知向量528, 2, (, cos , sin 2( sin , (cos=+-=n m 和，求 82cos(+的值.5解法一： sin cos , 2sin (cos+-=+n m22s i n (c o s 2s i n (c o s +

11、-=+n ms i n (c o s 224-+=4c o s (44+=4c o s (2+=由已 知528=，得257 4cos(=+ 又1 82(cos 2 4cos(2-+=+ 所以2516 82(c o s 2=+0 82c(898285, 2<+<+<<< 5482c o s -=+解法二：n m nmn n m m n m n m +=+=+=+22 (22222c o s s i n s i n 2(c o s 2 c o s s i n 2( s i n c o s (2222222+-+-+=82(cos 84cos(14 sin (cos22

12、42+=+=-+=由已 知528=，得54 82c o (=+0 82cos(898285, 2<+<+<<< 5482c o s -=+例7已知, , A B C 是三角形A B C 三內(nèi)角， 向量(1, , cos , sin m n A A =-=，且1m n =. （）求角A ；（）若221sin 23cos sin B B B+=-，求tan B .解：（）1m n = (1, cos , sin 1A A -= 即cos 1A A - =12sin cos 122A A -= ,1sin 62A -= 50, 666A A <<-<-

13、<66A -=3A =（）由題知2212sin cos 3cos sin B B B B+=-，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B -=cos 0B 2tan tan 20B B -= tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 tan 2B =(tan tan C A B =-+(tan A B =-+tan tan 1tan tanA BA B +=-=- 11= 例9已知向量(cossin (cossin |5a b a b =-=，=，(1 求cos( -的值；(2若500sin sin 2213&

14、lt;<-<<=-，且，求的值。解：(1因?yàn)?cossin (cossin a b =，=，所以(coscos sin sin a b -=- ， 又因?yàn)閨5a b -= 5= 即4322cos( cos( 55-=-=；(2 00022<<-<<<-<，又因?yàn)?cos( 5-=，所以 4sin( 5-=，5sin 13=-，所以12cos 13=，所以63sin sin( 65=-+=例10平面直角坐標(biāo)系有點(diǎn)4,4,1, (cos, cos , 1(-x x Q x P 求向量OP 和OQ 的夾角的余弦用x 表示的函數(shù) (x f ；求的最

15、值.解：（1）cos =OQ OP ， xx x x x 22cos1cos 2cos cos cos1(cos cos +=+=+即xx x f 2cos 1cos 2 (+=44(-x（2）xx cos 1cos 2cos += ， 又 223,2cos 1cos +xx ，1, 322cos ， 0min = ， 322arccosmax =.【問(wèn)題6】函數(shù)與三角小綜合例11已知函數(shù)321( 43cos , 32f x x x =-+其中, x R 為參數(shù)，且02.（I ）當(dāng)c os 0=時(shí)，判斷函數(shù)( f x 是否有極值；（II ）要使函數(shù)( f x 的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；

16、（III ）若對(duì)（II ）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)( f x 在區(qū)間(21, a a -內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。解：本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力。滿分12分。 （I ）解：當(dāng)cos 0=時(shí)31( 4, 32f x x =+則( f x 在(, -+內(nèi)是增函數(shù)，故無(wú)極值。（II ）解：2'( 126cos , f x x x =-令'( 0, f x = 得12cos 0, . 2x x =由02及（I ），只需考慮cos 0>的情況。當(dāng)x 變化時(shí)，'( f x 的符號(hào)及( f

17、x 的變化情況如下表： 因此，函數(shù)(f x 在cos 2x =處取得極小值c o s (,2f 且 3cos 11( cos . 2432f =-+要使cos (0, 2f >必有311cos 0, 432-+>可得10cos , 2<<所以32<<（III ）解：由（II ）知，函數(shù)( f x 在區(qū)間(, 0 -與cos (, 2+內(nèi)都是增函數(shù)。由題設(shè)，函數(shù)( f x 在(21, a a -內(nèi)是增函數(shù)，則a 須滿足不等式組210a aa -< 或21121cos 2a a a -<-由（II ），參數(shù)(, 32時(shí)，10cos . 2<&l

18、t;要使不等式121cos 2a -關(guān)于參數(shù)恒成立，必有121. 4a -綜上，解得0a 或51. 8a <所以a 的取值范圍是5(, 0,1. 8- 課后訓(xùn)練一、選擇題：1設(shè)函數(shù)x cos b x sin a x (f -=圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為4x =, 則直線0c by ax =+-的傾斜角為A.4 B.43 C. 3 D.322已知23tan( , tan( 5422+=+=，那么t a n ( 4-= A.15B. 14C.1318D.13223若函數(shù)f (x同時(shí)具有以下兩個(gè)性質(zhì)：f (x是偶函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x ，都有f (x +4=f (x -4，則f (x的解析式可以是 A

19、 f (x=cosx B f (x=cos(2x2+C f (x=sin(4x2+D f (x =cos6x4把函數(shù)x x y sin 3cos -=的圖象沿向量 0(, (>-=m m m a 的方向平移后，所得的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng)，則m 的最小值是 A 6 B 3C 32 D 655在(0,2 內(nèi)，使cos sin tan x x x >>成立的x 的取值范圍是 （A ）(43, 4（B ）(23,45（C ）（2, 23） （D ）(47,236函數(shù)y=cosx（sinx+cosx）的最小正周期為 A 4B2C D 27如果, 2 ，且4s i n 5=，那么(s i

20、n c o s 44+= A. 5B.5-C. 5D.5- 8已知sin(4x 53，則sin2x 的值為（ ）A. 2519 B. 2516 C. 2514 D .2579函數(shù)f(xsin(x 3cos(x 的圖像關(guān)于點(diǎn)（5，0）對(duì)稱(chēng)，則的值是（ ）A. 3210 B. 35 C.2k 3210 D . k35 （k Z ）10已知向量 sin , (cos1=oP ， cos 1, sin 1(2-+=oP （O 為原點(diǎn)，R ），則向量21P P 的長(zhǎng)度的最大值是（ ）A 2 B22 C32 D42 11曲線 4cos( 4sin(2-+=x x y 和直線21=y 在y 軸右側(cè)的交點(diǎn)按橫

21、坐標(biāo)從小到大依次記為P 1，P 2，P 3，則24|P P 等于 A B 2 C 3 D 412已知ABC 中，c b a , , 分別為角C B A , , 所對(duì)的邊，且4=a ，5=+c b ，B A B A tan tan 33tan tan =+，則ABC 的面積為（A 23 （B ）33（C 323（D ）23二、填空題：13A B C 的三內(nèi)角, , A B C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為, , a b c 設(shè)向量(, p a c b =+, (, q b a c a =- , 若/p q , 則角C 314對(duì)于函數(shù) (x f >cos sin , cos cos sin , sin x

22、 x x x x x （R x ）， 則它的值域?yàn)?;15已知sin 54，cos( 53，、（0，2），則sin2的值為 。16定義運(yùn)算b a *為：(, >=*b a b b a a b a 例如，121=*, 則函數(shù)( sin cos f x x x =*的值域?yàn)槿⒔獯痤}： 1已知2tan =，求（1）sin cos sin cos -+；（2）22cos 2cos . sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos -=-+=-+=-+=+；(2 +-=+-222222cos sin co

23、s 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=+-=+-=.2(上海卷 已知是第一象限的角，且5cos 13=，求(sin 4cos 24+ +的值。解：42cos(sin(+=sin cos 122sin cos sin (cos222cos sin (cos2222-=-+=+由已知可得sin 1312=, 原式=142131312135122-=-.3已知點(diǎn)A(2，0 ，B(0，2 ，C(cos，sin ，且0<<。(1若7|=+OC OA ，求OB 與OC 的夾角；(2若BC A

24、C ，求tan 的值。 解：(1，7|=+OC OA 7s i n c o s 2(22=+ 21cos =又 , 0(，3=AOC 又2=AOB ，OB 與OC 的夾角為6. (5分(2 sin , 2(cos-=AC ， 2sin , (cos-=BC BC AC ，0=BC AC21sin cos =+ 41 sin (cos2=+43cos sin 2-=+ , 0( , 2(又由47cos sin 21 sin (cos2=-=-及0sin cos <-得27sin cos -=-由471cos -=，471sin +=374tan +-=。4已知A (3，0 ，B (0，3

25、，C (cos, sin 若AC BC =1, 求2sin 的值；若|O A O C +=, 且(0, 求OB 與O C 的夾角. 解答:(1AC =(cos 3, sin , BC =(cos , sin 3, 由AC ·BC =1, 得(cos 3 cos +sin (sin 3=1, cos +sin =32, 兩邊平方, 得1+2sin =94, 2sin =951 (2 OA+ OC =(3+ cos q , sin q , cos q + sin q =13, cos q = 2 ,q (3+ (0, 2 2 3 1 3 3 3 C ( , , OB ×OC =

26、 q = 3 sin q = 2 , 2 2 2 , 設(shè) OB 與 OC 的夾角為 b ,則 cosb ® p 3 3 OB × OC 3 = 2 = = , 3 2 | OB | OC | p b = 6 即為所求. ® ® 2 ， m n 時(shí)， sin 2q 且 求 2 5 已知向量 m = (a - sin q ,- ，n = ( , cos q （） a = 當(dāng) 的值； （）當(dāng) a = 0 ，且 m n 時(shí)，求 tan q 的值 解： （）當(dāng) a = ® ® 1 2 ® 1 2 ® ® ®

27、; ® ® 2 2 1 時(shí)， m = ( - sin q ,- ，Q m n ， 由 m× n = 0 ， 得 2 2 2 sin q + cosq = 2 ， 2 1 1 ，因此， sin 2q = - 2 2 ® ® 上式兩邊平方得 1 + sin 2q = ® （）當(dāng) a = 0 時(shí)， m = (- sin q ,-1 ，由 m n 得 sin q cos q = 即 sin 2q = 1 4 1 2 tan q Q sin 2q = ， tanq = 2 + 3 或 2 - 3 2 1 + tan 2 q 3p 10 <

28、 a < p , tan a + cot a = - （）求 tan a 的值； 4 3 a a 2 6.（安徽卷）已知 2 （）求 5sin 2 + 8sin 2 cos 2 + 11cos 2 - 8 的值。 pö æ 2 sin ç a - ÷ 2ø è a a 解： (由 tan a + cot a = - 又 10 2 t 3 a n 得 3tan a + 10 tan a + 3 = 0 ， a a = -t 或 即n 3 a =- ， 1 3 3p 1 < a < p ，所以 tan a = - 為所求

29、。 4 3 5sin 2 a 2 （） + 8sin a 2 2 pö æ 2 sin ç a - ÷ 2ø è cos a + 11cos 2 a -8 5 = 2 1- cos a 1+ cos a + 4sin a + 11 -8 2 2 - 2 cos a = 5 - 5cos a + 8sin a + 11 + 11cos a - 16 8sin a + 6cos a 8 tan a + 6 = =- 5 2 。 = 6 -2 2 cos a -2 2 cos a -2 2 11 1 - 2 sin(2 x - 4 ， 7 （北京卷）已知函數(shù) f ( x = cos x p （）求 f ( x 的定義域； （）設(shè) a 是第四象限的角，且 tan a = - 解： （1）依題意，有 cosx¹0，解得 x¹