專題29：代數幾何綜合題好題

1、專題29：代數幾何綜合題好題1（2014山東淄博22，8分）如圖，在直角坐標系中，點A的坐標是（0，3），點C是x軸上的一個動點，點C在x軸上移動時，始終保持ACP是等邊三角形當點C移動到點O時，得到等邊三角形AOB（此時點P與點B重合）（1）點C在移動的過程中，當等邊三角形ACP的頂點P在第三象限時（如圖所示），求證：AOCABP；由此你發(fā)現(xiàn)什么結論？（2）求點C在x軸上移動時，點P所在函數圖象的解析式【考點解剖】本題考查了動點問題，全等三角形，等邊三角形的性質，求函數解析式等知識，解題的關鍵是找出題目中的相等關系，和運動過程中的特殊點【解題思路】（1）根據AOB與ACP都是等邊三角形，得到

2、AO=AB，AC=AP，CAP=OAB=60CAP+PAO=OAB+PAO從而CAO=PAB證明出AOCABP從這兩個三角形的全等關系可以判斷出點P在過點B且與AB垂直的直線上（2）由AOB是等邊三角形，求出點A和點B的坐標，當點C移動到使點P在y軸上時，得到點P的坐標，根據待定系數法求出一次函數關系式【解答過程】解：（1）證明：AOB與ACP都是等邊三角形，AO=AB，AC=AP，CAP=OAB=60CAP+PAO=OAB+PAOCAO=PABAOCABP結論：點P在過點B且與AB垂直的直線上，或PBAB，或ABP=90（2）點P所在函數圖象是過點B且與AB垂直的直線上，AOB是等邊三角形，

3、A（0，3），B（，）當點C移動到使點P在y軸上時，得P（0，3）設點P所在直線的解析式為：，把B，P兩點的坐標代入，得.解得.所以點P所在函數圖象的解析式為2. （2014黑龍江龍東地區(qū)，28，10分）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A在y軸正半軸上，頂點B在x軸正半軸上，OA、OB的長分別是一元二次方程x27x120的兩個根（OAOB）（1）求點D的坐標（2）求直線BC的解析式 （3）在直線BC上是否存在點P，使PCD為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由ABOCDxy【考點解剖】本題考查了正方形與圖形坐標，結合三角形全等求函數關系式以及點的存在性問題

4、，解題的關鍵是根據題意求出圖形中各個點的坐標【解題思路】（1）過點D作y軸的垂線，利用全等三角形求D點坐標；（2）同（1）過點C作x軸垂線，利用全等三角形求C點坐標，然后利用待定系數法求直線解析式.（3）要使PCD為等腰三角形，則需PC=DC，故P點有兩個【解答過程】解：（1）x27x+12=0x1=3，x2=4 OAOBOA=4,OB=3過D作DEy于點E正方形ABCDAD=AB，DAB=90DAE+OAB=90ABO+OAB=90 ABO=DAE DEAEAED =90=AOBDAEABO DE=OA=4，AE=OB=3 ，OE=7D（4，7）ABOCDxyEM（2）過點C作CMx軸于點M

5、 同上可證得BCMABO CM=OB=3 BM=OA=4 OM=7C（7，3） 設直線BC的解析式為y=kx+b（k0，k、b為常數）代入B（3，0），C（7，3）得，解得y=x （3）存在P1（3，0），P2（11，6）如圖所示，當PC=CD時PCD是等腰三角形由題意可知：BC=DC，故P1與點B重合，故P1（3，0）.當點P在BC延長線上時，如圖P2C=DC=BC，則過點P2N垂直于x軸，則CM是BP2N的中位線，故P2N=2CM=6，ON=OB+2BM=3+42=11，故P2（11，6）.ABOCDxyEMP2(P1)N3（2014湖南湘潭，25，10分）ABC為等邊三角形，邊長為a，D

6、FAB，EFAC，（1）求證：BDFCEF；（2）若a4，設BFm，四邊形ADFE面積為S，求出S與m之間的函數關系，并探究當m為何值時S取最大值；（3）已知A、D、F、E四點共圓，已知tanEDF，求此圓直徑【考點解剖】本題是一道綜合題，問題考查了相似形、二次函數的最值、等邊三角形的性質、圓周角定理、解直角三角形等內容，解題的關鍵是讀懂問題要求，將問題進行合理拆分、分步解決問題，最后一小問需利用圓周角定理將條件中的圓周角轉化到合適的位置【解題思路】（1）只需找到兩組對應角相等即可；（2）四邊形ADFE面積S可以看成ADF與AEF的面積之和，借助三角函數用m表示出AD、DF、AE、EF的長，進

7、而可以用含m的代數式表示S，然后通過配方，轉化為二次函數的最值問題，就可以解決問題；（3）易知AF就是圓的直徑，利用圓周角定理將EDF轉化為EAF在AFC中，知道tanEAF、C、AC，通過解直角三角形就可求出AF長【解答過程】解：（1）DFAB，EFAC，BDFCEF90ABC為等邊三角形，BC60BDFCEF，BC，BDFCEF（2）BDF90，B60，sin60，cos60BFm，DFm，BDAB4，AD4SADFADDF（4）mm2m同理：SAEFAEEF（4）（4m）m22SSADFSAEFm2m2（m24m8）（m2）23其中0m40，0m4，當m2時，S取最大值，最大值為3S與m

8、之間的函數關系為：S（m2）23（其中0m4）當m2時，S取到最大值，最大值為3（3）如圖2，A、D、F、E四點共圓，EDFEAFADFAEF90，AF是此圓的直徑tanEDF，tanEAFC60，tan60設ECx，則EFx，EA2xACa，2xxaxEF，AEAEF90，AF此圓直徑長為4.（2014黑龍江省齊齊哈爾市，28，10分）如圖，在平面直角坐標系中，已知RtAOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸、y軸的正半軸上（OAOB），且OA、OB的長分別是一元二次方程的兩個根.線段AB的垂直平分線CD交AB于點C，交x軸于點D.點P是直線CD上的一個動點，點Q是直線AB上的一個動點.（1）求

9、A、B兩點的坐標；（2）求直線CD的解析式；（3）在坐標平面內是否存在點M，使以點C、P、Q、M為頂點的四邊形是正方形，且該正方形的邊長為AB長.若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由 【考點解剖】本題考查了利用解一元二次方程確定點的坐標、利用相似三角形由待定系數法求一次函數表達式和利用正方形、全等的三角形的性質和判定方法確定點的坐標.【解題思路】（1）解方程可得OA、OB的長，從而求出A、B兩點的坐標.（2）分別求出點C和D的坐標，由待定系數法求直線CD的解析式；（3）利用正方形、全等的三角形的性質和判定方法確定點M的坐標.【解答過程】解：（1）x1=6， x2=8OAOBOA=

10、6，OB=8A(6，0)，B(8，0) （2）根據勾股定理得AB=10 CD是AB的垂直平分線 AC=5，易求C(3，4) 由于AOBACD，求得AD=OD=AD-OA=D(，0) 由C、D坐標得yCD=x+（3）存在，M1 (2，-3) M2 (10，3) M3 (4，11) M4(-4，5)5. （2014湖北隨州，24，10分）已知兩條平行線 、之間的距離為6，截線CD分別交 、于C、D兩點，一直角的頂點P在線段CD上運動（點P不與點C、D重合），直角的兩邊分別交 、于 A、B兩點.（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，過點P作直線 ，作PE，點E是垂足，過點B作BF，點F是垂足.此時，小明認為PEAP

11、FB，你同意嗎？為什么？EFD第24題圖1P CABCD第24題圖2P （2）猜想發(fā)現(xiàn)將直角APE從圖1的位置開始，繞點P順時針旋轉，在這一過程中，試觀察、猜想：當AE滿足什么條件時，以點P、A、B為頂點的三角形是等腰三角形？在圖2中畫出圖形，證明你的猜想.(3)延伸探究在（2）的條件下，當截線CD與直線所夾的鈍角為150時，設CPx，試探究：是否存在實數x，使PAB的邊AB的長為 ？請說明理由.【考點解剖】本題綜合考查了相似三角形的性質和判定、等腰三角形的分類討論和勾股定理、一元二次方程等知識，解題的關鍵是注意等腰三角形的分類和數形結合轉化為一元二次方程【解題思路】(1) 如圖1，易證PEAPFB；（2）如圖2，要使PAB為等腰三角形，只能是PAPB；（3）解：如圖2，找出題中信息 PEBF6,BFAE,可得AE6，當AB時，由題意得PA，在RtPEC中，由勾股定理列方程，解方程進行判斷?！窘獯疬^程】解：(1)解：如圖1，由題意， 又 PEAPFB（2）證明：如圖2， ， 要