高中數(shù)學(xué)《用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布》教案3 北師大版必修3

1、 用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布教學(xué)分析 教科書通過(guò)探究欄目引導(dǎo)學(xué)生思考居民生活用水定額管理問(wèn)題,引出總體分布的估計(jì)問(wèn)題,該案例貫穿于本節(jié)始終.通過(guò)對(duì)該問(wèn)題的探究,使學(xué)生學(xué)會(huì)列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖.教科書在這里主要介紹有關(guān)頻率分布的列表和畫圖的方法,而關(guān)于頻率分布的隨機(jī)性和規(guī)律性方面則給教師留下了較大的發(fā)揮空間.教師可以通過(guò)初中有關(guān)隨機(jī)事件的知識(shí),也可以利用計(jì)算機(jī)多媒體技術(shù),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)由樣本確定的頻率分布表和頻率分布直方圖的隨機(jī)性；通過(guò)初中有關(guān)頻率與概率之間的關(guān)系,了解頻率分布直方圖的規(guī)律性,即頻率分布與總體分布之間的關(guān)系,進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想. 由于樣

2、本頻率分布直方圖可以估計(jì)總體分布,因此可以用樣本頻率分布特征來(lái)估計(jì)相應(yīng)的總體分布特征,這就提供了估計(jì)總體特征的另一種途徑,其意義在于：在沒(méi)有原始數(shù)據(jù)而僅有頻率分布的情況下,此方法可以估計(jì)總體的分布特征.三維目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例體會(huì)分布的意義和作用,通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的探究,感知應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的方法.2.在表示樣本數(shù)據(jù)的過(guò)程中,學(xué)會(huì)列頻率分布表,畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖,理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法.3.通過(guò)對(duì)樣本分析和總體估計(jì)的過(guò)程,感受數(shù)學(xué)對(duì)實(shí)際生活的需要,通過(guò)實(shí)例體會(huì)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征,從而恰當(dāng)?shù)剡x擇上述方法分析樣本的分布,準(zhǔn)確地作出總體估

3、計(jì),認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活并指導(dǎo)生活的事實(shí),體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)列頻率分布表,畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖.教學(xué)難點(diǎn):能通過(guò)樣本的頻率分布估計(jì)總佒的分布.課時(shí)安排 1課時(shí)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課思路1 在NBA的2006賽季中,甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的原始記錄如下甲運(yùn)動(dòng)員得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50乙運(yùn)動(dòng)員得分：8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33 請(qǐng)問(wèn)從上面的數(shù)據(jù)中你能否看出甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員哪一位發(fā)揮比較穩(wěn)定？ 如何根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出正確的判斷呢？這就是我們這堂課

4、要研究、學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布（板書課題）.思路2 如下樣本是隨機(jī)抽取近年來(lái)北京地區(qū)7月25日至8月24日的日最高氣溫.7月25日至8月10日4193753573543723813473373333253463303083102863152888月8日至8月24日286315288332325303302298331328298256247300301295303 怎樣通過(guò)上表中的數(shù)據(jù),分析比較兩時(shí)間段內(nèi)的高溫（33 ）狀況？這就是我們這堂課要研究、學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布.思路3討論：我們要了解我校學(xué)生每月零花錢的情況,應(yīng)該怎樣進(jìn)行抽樣？提問(wèn)：學(xué)習(xí)了哪些

5、抽樣方法？一般在什么時(shí)候選取什么樣的抽樣方法呢?討論：通過(guò)抽樣方法收集數(shù)據(jù)的目的是什么？（從中尋找所包含的信息,用樣本去估計(jì)總體）指出兩種估計(jì)手段：一是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布,二是用樣本的數(shù)字特征（平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等）估計(jì)總體的數(shù)字特征.這就是我們這堂課要研究、學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題（1）我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一,城市缺水問(wèn)題較為突出,某市政府為了節(jié)約生活用水,計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理,即確定一個(gè)居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a,用水量不超過(guò)a的部分按平價(jià)收費(fèi),超出a的部分按議價(jià)收費(fèi).如果希望大部分居民的日常生活不受影響,那么標(biāo)準(zhǔn)a定為多少

6、比較合理呢？你認(rèn)為,為了較合理地確定出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn),需要做哪些工作？（讓學(xué)生展開討論）（2）什么是頻率分布？（3）畫頻率分布直方圖有哪些步驟？（4）頻率分布直方圖的特征是什么？討論結(jié)果：（1）為了制定一個(gè)較為合理的標(biāo)準(zhǔn)a,必須先了解全市居民日常用水量的分布情況,比如月均用水量在哪個(gè)范圍的居民最多,他們占全市居民的百分比情況等.因此采用抽樣調(diào)查的方式,通過(guò)分析樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)全市居民用水量的分布情況. 分析數(shù)據(jù)的一種基本方法是用圖將它們畫出來(lái),或者用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式,作圖可以達(dá)到兩個(gè)目的,一是從數(shù)據(jù)中提取信息,二是利用圖形傳遞信息.表格則是通過(guò)改變數(shù)據(jù)的構(gòu)成形式,為我們提供解釋數(shù)據(jù)的新方式

7、. 下面我們學(xué)習(xí)的頻率分布表和頻率分布圖,則是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度,來(lái)表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律.可以讓我們更清楚地看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況.（2）頻率分布是指一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大小；一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布.（3）其一般步驟為：計(jì)算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差,即求極差；決定組距與組數(shù)；將數(shù)據(jù)分組；列頻率分布表；畫頻率分布直方圖.（4）頻率分布直方圖的特征：從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(shì).從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,把數(shù)據(jù)表示成直方圖后,原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了. 同樣一組數(shù)據(jù),如果組距不同,橫軸、縱軸的單

8、位不同,得到的圖和形狀也會(huì)不同.不同的形狀給人以不同的印象,這種印象有時(shí)會(huì)影響我們對(duì)總體的判斷,分別以0.1和1為組距重新作圖,然后談?wù)勀銓?duì)圖的印象.提出問(wèn)題（1）什么是頻率分布折線圖？（2）什么是總體密度曲線？（3）對(duì)于任何一個(gè)總體，它的密度曲線是否一定存在？是否可以被非常準(zhǔn)確地畫出來(lái)？（4）什么叫莖葉圖？畫莖葉圖的步驟有哪些？（5）莖葉圖有什么特征？討論結(jié)果：（1）連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn),就得到頻率分布折線圖.（2）在樣本頻率分布直方圖中,相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線,統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.它能夠精確地反映總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比,它能給我

9、們提供更加精細(xì)的信息.（3）實(shí)際上,盡管有些總體密度曲線是客觀存在的,但一般很難像函數(shù)圖象那樣準(zhǔn)確地畫出來(lái),我們只能用樣本的頻率分布對(duì)它進(jìn)行估計(jì),一般來(lái)說(shuō),樣本容量越大,這種估計(jì)就越精確（4）當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí),用中間的數(shù)字表示十位數(shù),即第一個(gè)有效數(shù)字,兩邊的數(shù)字表示個(gè)位數(shù),即第二個(gè)有效數(shù)字,它的中間部分像植物的莖,兩邊部分像植物莖上長(zhǎng)出來(lái)的葉子,因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖.畫莖葉圖的步驟如下：將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分,在此例中,莖為十位上的數(shù)字,葉為個(gè)位上的數(shù)字;將最小莖和最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列,寫在左(右)側(cè);將各個(gè)數(shù)據(jù)的葉按大小次序?qū)懺谄淝o右(左)側(cè).（

10、5）用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是從統(tǒng)計(jì)圖上沒(méi)有原始數(shù)據(jù)信息的損失,所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時(shí)記錄,隨時(shí)添加,方便記錄與表示.莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù),而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù),兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄,但是沒(méi)有表示兩個(gè)記錄那么直觀,清晰.莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來(lái)描述樣本數(shù)據(jù)的分布情況的.莖葉圖由所有樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成,沒(méi)有損失任何樣本信息,可以在抽樣的過(guò)程中隨時(shí)記錄(這對(duì)于教練員發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)員現(xiàn)場(chǎng)狀態(tài)特別有用);而頻率分布表和頻率分布直方圖則損失了樣本的一些信息,必須在完成抽樣后才能制作.正確利用三種分布的描述方法，都能得到一些有

11、關(guān)分布的主要特點(diǎn)(如分布是否具有單峰性、是否具有對(duì)稱性、樣本點(diǎn)落在各分組中的頻率等),這些主要特點(diǎn)受樣本的隨機(jī)性的影響比較小,更接近于總體分布的相應(yīng)的特點(diǎn).頻率分布表和頻率分布直方圖之間的密切關(guān)系是顯然的,它們只不過(guò)是相同的數(shù)據(jù)的兩種不同的表達(dá)方式,莖葉圖和頻率分布表極為類似,事實(shí)上,莖相當(dāng)于頻率分布表中的分組;莖上葉的數(shù)目相當(dāng)于頻率分布表中指定區(qū)間組的頻數(shù).應(yīng)用示例思路1例1 有100名學(xué)生,每人只能參加一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì),其中參加足球隊(duì)的有30人,參加籃球隊(duì)的有27人,參加排球隊(duì)的有23人,參加乒乓球隊(duì)的有20人.(1)列出學(xué)生參加運(yùn)動(dòng)隊(duì)的頻率分布表.(2)畫出頻率分布條形圖.解：(1)參加足球隊(duì)

12、記為1,參加籃球隊(duì)記為2,參加排球隊(duì)記為3,參加乒乓球隊(duì)記為4,得頻率分布表如下：試驗(yàn)結(jié)果頻數(shù)頻率參加足球隊(duì)（記為1）30參加籃球隊(duì)（記為2）27參加排球隊(duì)（記為3）23參加乒乓球隊(duì)（記為4）20合 計(jì)100(2)由上表可知頻率分布條形圖如下：例2 為了了解中學(xué)生的身體發(fā)育情況,對(duì)某中學(xué)17歲的60名女生的身高進(jìn)行了測(cè)量,結(jié)果如下：（單位：cm）154 159 166 169 159 156 166 162 158 156 166 160 164 160 157 151 157 161 158 153 158 164 158 163 158 153 157 162 159 154 165 16

13、6 157 151 146 151 160 165 158 163 163 162 161 154 165 162 159 157 159 149 164 168 159 153 列出樣本的頻率分布表；繪出頻率分布直方圖.解：第一步,求極差：上述60個(gè)數(shù)據(jù)中最大為169,最小為146.故極差為：16914623 cm.第二步,確定組距和組數(shù),可取組距為3 cm,則組數(shù)為,可將全部數(shù)據(jù)分為8組.第三步,確定組限：145.5,148.5),148.5,151.5),151.5,154.5),154.5,157.5),157.5,160.5),160.5,163.5),163.5,166.5),16

14、6.5,169.5).第四步,列頻率分布表：分組個(gè)數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率145.5,148.5)1148.5,151.5)3151.5,154.5)6154.5,157.5)8157.5,160.5)18160.5,163.5)11163.5,166.5)10166.5,169.5)3合計(jì)60 第五步,根據(jù)上述數(shù)據(jù)繪制頻率分布直方圖如下圖： 以上例1和例2兩種情況的不同之處在于,前者的頻率分布表列出的是幾個(gè)不同數(shù)值的頻率,相應(yīng)的條形圖是用其高度表示取各個(gè)值的頻率；后者的頻率分布表列出的是在不同區(qū)間內(nèi)取值的頻率,相應(yīng)的直方圖是用圖表面積的大小來(lái)表示在各個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的頻率. 我們?cè)谔幚硪粋€(gè)數(shù)理問(wèn)題時(shí)可以采

15、用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布的方法,這是因?yàn)?頻率分布隨著樣本容量的增大更加接近于總體分布,當(dāng)樣本容量無(wú)限增大且分組的組距無(wú)限縮小時(shí),頻率分布的直方圖就演變成一條光滑的曲線總體密度曲線.這條曲線是客觀存在的,但是我們卻很難將它準(zhǔn)確地畫出,我們只能用樣本的頻率分布去對(duì)它進(jìn)行估計(jì).基于頻率分布與相應(yīng)的總體分布有這種關(guān)系,再加上我們通常并不知道一個(gè)總體的分布,我們往往是從一個(gè)總體中抽取一個(gè)樣本,用樣本的頻率去估計(jì)相應(yīng)的總體分布.一般說(shuō)來(lái),樣本的容量越大,這種估計(jì)就越精確.例3 從某校高一年級(jí)的1 002名新生中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為100的身高樣本,如下（單位：cm）作出該樣本的頻率分布表，

16、并估計(jì)身高不小于170(cm)的同學(xué)所占的百分率168165171167170165170152175174165170168169171166164155164158170155166158155160160164156162160170168164174170165179163172180174173159163172167160164169151168158168176155165165169162177158175165169151163166163167178165158170169159155163153155167163164158168167161162167168161165

17、174156167166162161164166解：（1）在全部數(shù)據(jù)中找出最大值180與最小值151,它們相差（極差）29,決定組距為3；（2）將區(qū)間150.5,180.5分成10組；分別是150.5,153.5),153.5,156.5),177.5,180.5)；（3）從第一組150.5,153.5)開始分別統(tǒng)計(jì)各組的頻數(shù),再計(jì)算各組的頻率,列頻率分布表：分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率150.5,153.5)44004153.5,156.5)128008156.5,159.5)208008159.5,162.5)3111011162.5,165.5)5322022165.5,168.5)721901

18、9168.5,171.5)8614014171.5,174.5)937007174.5,177.5)974004177.5,180.5)1003003合計(jì)1001 根據(jù)頻率分布表可以估計(jì),估計(jì)身高不小于170的同學(xué)所占的百分率為：0.14×+0.07+0.04+0.03×100%=21%點(diǎn)評(píng)：一般地，編制頻率分布表的步驟如下：（1）求極差,決定組數(shù)和組距；（2）分組,通常對(duì)組內(nèi)的數(shù)值所在的區(qū)間取左閉右開區(qū)間；（3）登記頻數(shù),計(jì)算頻率,列出頻率分布表思路2例1 下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機(jī)抽樣得出的120人的身高(單位：cm).區(qū)間界限122,126)126,13

19、0)130,134)134,138)138,142)人數(shù)58102233區(qū)間界限142,146)146,150)150,154)154,158)人數(shù)116520(1)列出樣本頻率分布表;(2)畫出頻率分布直方圖;(3)估計(jì)身高小于134 cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比.分析：根據(jù)樣本頻率分布表、頻率分布直方圖的一般步驟解題.解：（1）樣本頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率122,126)5126,130)8130,134)10134,138)22138,142)33142,146)20146,150)11150,154)6154,158)5合計(jì)1201（2）其頻率分布直方圖如下：（3）由樣本頻率分布表可

20、知身高小于134 cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0.04+0.07+0.08=0.19,所以我們估計(jì)身高小于134 cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的19%.例2 為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖(如下圖),圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為24171593,第二小組頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？（2）若次數(shù)在110以上（含110次）為達(dá)標(biāo),試估計(jì)該學(xué)校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？分析：在頻率分布直方圖中,各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率,小長(zhǎng)方形的高與頻數(shù)成正比,各組頻數(shù)之和等于樣本容量,頻率之和等于1.解：（1）由

21、于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小,因此第二小組的頻率為：=0.08；又因?yàn)轭l率=，所以樣本容量=150.（2）由圖可估計(jì)該學(xué)校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為×100%=88%.例3 甲、乙兩籃球運(yùn)動(dòng)員在上賽季每場(chǎng)比賽的得分如下,試比較這兩位運(yùn)動(dòng)員的得分水平甲：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50;乙：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51.解：畫出兩人得分的莖葉圖如下：從這個(gè)莖葉圖可以看出甲運(yùn)動(dòng)員的得分大致對(duì)稱,平均得分及中位數(shù)、眾數(shù)都是30多分；乙運(yùn)動(dòng)員的得分除一個(gè)51外,也大致對(duì)稱,平均得分及中位數(shù)

22、、眾數(shù)都是20多分,因此甲運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮比較穩(wěn)定,總體得分情況比乙好知能訓(xùn)練1.下面是甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員某賽季一些場(chǎng)次得分的莖葉圖,據(jù)下圖可知（ ） C.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)沒(méi)有明顯的差異 答案：A2.有一個(gè)容量為45的樣本數(shù)據(jù),分組后各組的頻數(shù)如下：(12.5,15.5,3;(15.5,18.5, 8;(18.5,21.5,9;(21.5,24.5,11;(24.5,27.5,10;(27.5,30.5,4.由此估計(jì),不大于27.5的數(shù)據(jù)約為總體的（ ）A.91% B.92% C.95% D.30%答案：A3.一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：（10,20）,2；（20,30

23、）,3；（30,40）,4；（40,50）,5；（50,60）,4；（60,70）,2.則樣本在區(qū)間（10,50）上的頻率為（ ） B. C 答案：B4.一個(gè)高中研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)本地區(qū)2000年至2002年快餐公司發(fā)展情況進(jìn)行了調(diào)查,制成了該地區(qū)快餐公司個(gè)數(shù)情況的條形圖和快餐公司盒飯年銷售量的平均數(shù)情況條形圖（如下圖）,根據(jù)圖中提供的信息可以得出這三年中該地區(qū)每年平均銷售盒飯_萬(wàn)盒 快餐公司個(gè)數(shù)情況圖 快餐公司盒飯年銷售量的平均數(shù)情況圖答案：85拓展提升 為了了解一大片經(jīng)濟(jì)林生長(zhǎng)情況,隨機(jī)測(cè)量其中的100株的底部周長(zhǎng),得到如下數(shù)據(jù)表（單位：cm）.13598102110991211109610

24、0103125971171131109210210910411210912487131971021231041041281051231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108（1）編制頻率分布表；（2）繪制頻率分布直方圖；（3）估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中底部周長(zhǎng)小于100 cm的樹木約占多少？周長(zhǎng)不小于120 cm的樹木約占多少？解：（1）這組數(shù)據(jù)的最大值為135,最小值為80, 極差為55,可將其分為11組