高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 3.2.2 復數(shù)的乘法和除法課堂探究 新人教B版選修1-2

1、高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 3.2.2 復數(shù)的乘法和除法課堂探究 新人教B版選修1-2探究一 復數(shù)的乘、除運算兩個復數(shù)的積和商仍為復數(shù)，運算過程中乘法運算可類比多項式的乘法運算規(guī)則；對于除法運算要格外注意，復數(shù)的除法與實數(shù)的除法有所不同，實數(shù)的除法可以直接約分化簡，得出結(jié)論，但復數(shù)的除法因為分母為復數(shù)一般不能直接約分化簡【典型例題1】 (1)(2014課標全國卷高考)設復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)的對應點關于虛軸對稱，z12i，則z1z2()A5 B5 C4i D4i解析：由題意知：z22i.又z12i，所以z1z2(2i)(2i)i245.故選A.答案：A(2)(2014新課標全國

2、卷高考)()A1i B1i C1i D1i解析：1i.故選D.答案：D點評 對于復數(shù)的運算，除應用四則運算法則之外，對于一些簡單的算式要知道其結(jié)果，這樣起點就高，計算過程就可以簡化，達到快速、簡捷、出錯少的效果比如下列結(jié)論，要記住：i；i；i；abii(bai)；31；31.探究二 共軛復數(shù)性質(zhì)的應用1共軛復數(shù)常用的性質(zhì)有：z.z·|z|2|2.z2a，z2bi.(可推廣到有限個).·(可推廣到有限個)(z20)(2)證明zR的方法：設zabi，證明b0；利用zzR；利用z20zR；利用|z|2z2zR.(3)證明z為純虛數(shù)的方法：設zabi，證明a0，且b0；利用z20z

3、為純虛數(shù)；若z0則z0z為純虛數(shù)【典型例題2】 給定兩復數(shù)z1，z2，且|z1|z2|z1z2|1，求證：zz.證明：zz(z1z2)(zz1z2z)，由題設知z1z2，故只需證明zz1z2z0.|z1|2z111，|z2|2z221，1，2.又由|z1z2|1 (z1z2)(12)1，(z1z2)1.去分母并整理，得zz1z2z0，zz0，故zz.【典型例題3】 已知z1，z2C，z12z2R，且1，求證：z23z1為純虛數(shù)證明：1，10z5z2z1·z2，即z4z4z1·z29zz6z1·z2，也即(z12z2)2(3z1z2)2.z12z2R，又z10，z2

4、0，(z12z2)20，(3z1z2)20，(3z1z2)2為負實數(shù)，z23z1為純虛數(shù)探究三 復數(shù)方程1在復數(shù)范圍內(nèi)解方程，一般是把根設出來代入方程，用復數(shù)相等的充要條件解決，這種方法也可以叫做待定系數(shù)法2實系數(shù)一元二次方程根的判別式b24ac對復系數(shù)一元二次方程是無意義的，絕對不能輕易套用【典型例題4】 已知x，y為共軛復數(shù)，且(xy)23xyi46i，求x，y.思路分析：(1)x，y為共軛復數(shù)，可用復數(shù)的基本形式表示出來；(2)利用復數(shù)相等，將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題解：設xabi(a，bR)，則yabi，xy2a，xya2b2，代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i，根據(jù)復數(shù)相等得

5、解得或或或故所求復數(shù)為或或或【典型例題5】 已知關于x的方程x2(k2i)x2ki0有實根，求這個實根以及實數(shù)k的值思路分析：把實根xx0代入方程整理成復數(shù)的標準形式根據(jù)復數(shù)相等的條件，解出x0和k即可解：設xx0是方程的實根，代入方程并整理得(xkx02)(2x0k)i0，由復數(shù)相等的條件得解得或方程的實根為x或x，相應的k值為k2或k2.點評本題往往會出現(xiàn)以下錯解：由方程有實根，有(k2i)24(2ki)0，即k2120，k2或k2.探究四易錯辨析易錯點：在求解很多復數(shù)問題時，往往因?qū)忣}不細或忽視在復數(shù)集內(nèi)的條件而將問題在實數(shù)范圍內(nèi)求解，從而導致錯誤【典型例題6】 在復數(shù)集內(nèi)解方程：x25|x|60.錯解：x25|x|60，|x|25|x|60.|x|2或|x|3，x±2或x±3.錯因分析：這里常出現(xiàn)將|x|看成“絕對值”的錯誤解法(1)將方程變?yōu)閨x|25|x|60|x|2或|x|3x±2或x±