費(fèi)馬點(diǎn)的兩證明方法_第1頁(yè)
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1、費(fèi)馬點(diǎn) 的兩證明方法費(fèi)馬點(diǎn)，就是平面上到三角形三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)。當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于一百二十度的時(shí)候，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)；如果三 個(gè)內(nèi)角都在 120 度以內(nèi)，那么，費(fèi)馬點(diǎn)就是使得費(fèi)馬點(diǎn)與三角形三頂點(diǎn)的連線兩兩夾角為 120 度的點(diǎn)。1、費(fèi)馬點(diǎn)不在三角形外，這個(gè)就不用證了，很顯然。但為了嚴(yán)謹(jǐn)，還是說(shuō)一下2、當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于等于 120 度時(shí)候?qū)θ切蝺?nèi)任一點(diǎn) P延長(zhǎng)BA至C使得AC=AC做/ CAP= / CAP并且使得 AP=AP, PC=PC,（說(shuō)了這么多,其實(shí)就是把三角形APC以 A為中心做了個(gè)旋轉(zhuǎn)）則厶 APCA APCvZ BAO 120/PAP=180 - Z B

2、AP-Z CAP=180 - Z BAP-Z CAP=180 - Z BACC 60等腰三角形 PAP中，AP PP PA+PB+P3CPP+PB+PCBC=AB+AC所以A是費(fèi)馬點(diǎn)3、當(dāng)所有內(nèi)角都小于 120時(shí)做出 ABC內(nèi)一點(diǎn)P,使得/ APCM BPCM CPA=120 ,分別作PA,PB,PC的垂線，交于D,E,F三點(diǎn)，如圖，再作任一異于 P的點(diǎn)P，連結(jié)PA,PB,PC，過(guò)P作PH垂直EF于H易知/ D=Z E=Z F=60,即厶DEF為等邊三角形，計(jì)邊長(zhǎng)為d,面積為S則有 2S=d(PA+PB+PC) PA PH所以 2SA EPFW PA*d同理有2SA DPFW PB*d2SA EPDW PC*d相加得 2SPA+PC+P,C與假設(shè)矛盾，所以圓與橢圓必相切(不可能沒(méi)有公共點(diǎn)吧, 因?yàn)槎歼^(guò)P)做他們的公切線，并作直線 BP,顯然BP與公切線垂直由橢圓的幾何性質(zhì)易知，BP平分角APC所以/ APB=/ CPB同理有

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