1本題20分如所示宇宙飛船在距火星表面H高度

1、智浪教育-普惠英才文庫(kù)當(dāng)飛因a1、（本題20分）如圖6所示，宇宙飛船在距火星表面 H高度處作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星半徑為 R 船運(yùn)行到P點(diǎn)時(shí)，在極短時(shí)間內(nèi)向外側(cè)點(diǎn)噴氣， 使飛船獲得一徑向速度， 其大小為原來(lái)速度的 a倍 很小，所以飛船新軌道不會(huì)與火星表面交會(huì)。飛船噴氣質(zhì)量可以不計(jì)。（1）試求飛船新軌道的近火星點(diǎn) A的高度h近和遠(yuǎn)火星點(diǎn)B的高度h遠(yuǎn)；（2）設(shè)飛船原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度為 vo ,試計(jì)算新軌道的運(yùn)行周期 T。1參考解答:對(duì)圓軌道應(yīng)用動(dòng)力學(xué)，有:GM則橢圓軌道上P點(diǎn)的速度:2 GM=v0(: Vo )2 = . 1：, R H對(duì)PT A過(guò)程，機(jī)械能守恒：丄mvp - GmM2R+H2比較P、A兩

2、點(diǎn)，用開(kāi)普勒第二定律（此處特別注意，mvAGmM點(diǎn)的速度取垂直矢徑的分速度）vorp = vaa解四式可得:同理，對(duì)P和B用能量關(guān)系和開(kāi)普勒第二定律，可得:rB =橢圓的長(zhǎng)半軸：a =A +B = R+H2 1_: 2最后對(duì)圓軌道和橢圓軌道用開(kāi)普勒第三定律可得橢圓運(yùn)動(dòng)的周期。答: h 近=口，h 遠(yuǎn)=口1 機(jī)1 -a2 二(R H)Vo2，（20分）有一個(gè)擺長(zhǎng)為I的擺（擺球可視為質(zhì)點(diǎn)，擺線(xiàn)的質(zhì)量不計(jì)），在過(guò)懸掛點(diǎn)的豎直線(xiàn)上距懸掛點(diǎn) O的距離為x處（xvl ）的C點(diǎn)有一固定的 釘子，如圖所示，當(dāng)擺擺動(dòng)時(shí)，擺線(xiàn)會(huì)受到釘子的阻擋當(dāng)l 一定而x取不同值時(shí)，阻擋后擺球的運(yùn)動(dòng)情況將不同現(xiàn)將擺拉到位于豎直線(xiàn)

3、的左方（擺球的高度不超過(guò) O點(diǎn)），然后放手，令其自由擺動(dòng)，如果擺線(xiàn)被釘子阻擋后，擺球恰巧能夠擊中釘子，試 求x的最小值.00 預(yù) 20-52.參考解答擺線(xiàn)受阻后在一段時(shí)間內(nèi)擺球作圓周運(yùn)動(dòng)，若擺球的質(zhì)量為m，擺球受重力mg和擺線(xiàn)拉力T的作用，設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)任一時(shí)刻的速度為 v ,如圖預(yù)解20-5所示。用表示此時(shí)擺線(xiàn)與重力方向之間的夾角，則 有方程式2十mvT mg c o s =I x運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，令 二表示擺線(xiàn)在起始位置時(shí)與豎直方向的夾角, 取O點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，則有關(guān)系(1)1 2_mgl cos = mv mgx - （l - x）cos :）擺受阻后，如果后來(lái)擺球能擊中釘子，則必定在

4、某位置時(shí)擺線(xiàn)開(kāi)始松 弛，此時(shí)T = 0，此后擺球僅在重力作用下作斜拋運(yùn)動(dòng)。設(shè)在該位置時(shí)擺(2)球速度v二v0，擺線(xiàn)與豎直線(xiàn)的夾角=:-0，由式（1 ）得v =g(l _x)cos： 0，(3)代入（2）式，求出21 cost -3(x -l)cos % 2x(4)要求作斜拋運(yùn)動(dòng)的擺球擊中 C點(diǎn)，則應(yīng)滿(mǎn)足下列關(guān)系式:(l x)sin _：叱=v0 cosj0t，(5)1 2(l - x)cos : 0 = v0sin : 0tgt2(6)利用式（5）和式（6）消去t，得到2Vog(l x)sin2 : 02cos=0(7)由式（3）、（ 7）得到cos十遼3(8)代入式（4），求出.=arcco

5、s- 2l(9)V越大，cos71越小,x越小，71最大值為二/2，由此可求得x的最小值:所以（10）x = (2.3 3)t =0.46413, （ 20分）如圖所示，一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)剛性輕桿的兩端分別連結(jié) 小球a和b，它們的質(zhì)量分別為 ma和mb.桿可繞距a球?yàn)長(zhǎng)/4 處的水平定軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).初始時(shí)桿處于豎直位置.小 球b幾乎接觸桌面在桿的右邊水平桌面上，緊挨著細(xì)桿放著一 個(gè)質(zhì)量為m的立方體勻質(zhì)物塊，圖中ABCD為過(guò)立方體中心且與 細(xì)桿共面的截面.現(xiàn)用一水平恒力f作用于a球上，使之繞0軸 逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，求當(dāng)a轉(zhuǎn)過(guò)：.角時(shí)小球b速度的大小.設(shè)在此過(guò)程 中立方體物塊沒(méi)有發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，且小球b與

6、立方體物塊始終接觸沒(méi)有分離不計(jì)一切摩擦.4、把上端A封閉、下端B開(kāi)口的玻璃管插入水中，放掉部分空氣后放手圖）.設(shè)玻璃管的質(zhì)量m=40克，橫截面積S=2厘米2,水面以上部分的長(zhǎng)度a C>-*F0占，玻璃管可以豎直地浮在水中b=1厘米，大氣壓強(qiáng)P°=105帕斯卡玻璃管壁厚度不計(jì)，管內(nèi)空氣質(zhì)量不計(jì).（1）求玻璃管內(nèi)外水面的高度差 h.（2）用手拿住玻璃管并緩慢地把它壓入水中，當(dāng)管的A端在水面下超過(guò)某一深度時(shí)，放手后玻璃管不浮起.求這個(gè)深度.（3）上一小問(wèn)中，放手后玻璃管的位置是否變化 ？如何變化？（計(jì)算時(shí)可認(rèn)為管內(nèi)空氣的溫度不變）5、 一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平的桌面上，其軸線(xiàn)沿豎直

7、方向，母線(xiàn)與軸線(xiàn)之間的夾角9 =30° （如右圖）.一條長(zhǎng)度為I的繩（質(zhì)量不計(jì)），一端的位置固定在圓錐體的頂點(diǎn) O處，另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為 m的小物體（物體可看作質(zhì)點(diǎn)，繩長(zhǎng)小于圓錐體的母線(xiàn)）.物體以速率v繞圓錐體的軸線(xiàn)做水平勻 速圓周運(yùn)動(dòng)（物體和繩在上圖中都沒(méi)畫(huà)出）.當(dāng)¥= 時(shí)'求繩對(duì)物體的拉力.當(dāng)中=吋t求繩對(duì)物體的拉力6、 （13分）一輛車(chē)通過(guò)一根跨過(guò)定滑輪的繩PQ!升井中質(zhì)量為m的物體，如圖所示.繩的P端拴在車(chē)后的掛鉤上,Q端拴在物體上.設(shè)繩的總長(zhǎng)不變，繩的質(zhì)量、定滑輪的質(zhì)量和尺寸、滑輪上的摩擦 都忽略不計(jì).開(kāi)始時(shí)，車(chē)在A點(diǎn),左右兩側(cè)繩都已繃緊并且是豎直的，左

8、側(cè)繩長(zhǎng)為H.提升時(shí)，車(chē)加速向左運(yùn)動(dòng),沿水平方向從A經(jīng)過(guò)B駛向C.設(shè)A到B的距離也為H,車(chē)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度為vB.求在車(chē)由A移到B 的過(guò)程中，繩Q端的拉力對(duì)物體做的功.7. 在兩端封閉、內(nèi)徑均勻的直玻璃管內(nèi)，有一段水銀柱將兩種理想氣體a和b隔開(kāi).將管豎立著達(dá)到平衡時(shí)，若溫度為T(mén),氣柱a和b的長(zhǎng)度分別為la和lb；若溫度為T(mén)7 ,長(zhǎng)度分別為I抋和I抌.然后將管平放在水平桌面上，在平衡時(shí)，兩段氣柱長(zhǎng)度分別為I攁和I攂.已知T、Tl|.一 18如圖所示，質(zhì)量為M =9Kg的小車(chē)放在光滑的水平面上， 其中AB部分為半徑R=0.5m的光滑一4圓弧，BC部分水平且不光滑，長(zhǎng)為 L=2m 小物塊質(zhì)量 m=6Kg

9、由A點(diǎn)靜止釋放，剛好滑到 C點(diǎn)靜止（取g=io%），求： 物塊與BC間的動(dòng)摩擦因數(shù) 物塊從A滑到C過(guò)程中，小車(chē)獲得的最大速度9.如圖所示，在光滑水平面上放一質(zhì)量為M邊長(zhǎng)為l的正方體木塊，木塊上擱有一長(zhǎng)為 L的輕質(zhì)光滑棒，棒的一端用光滑鉸鏈連接于地面上0點(diǎn)，棒可繞0點(diǎn)在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端固定一質(zhì)量為m的均質(zhì)金屬小球開(kāi)始時(shí)，棒與木塊均靜止，棒與水平面夾角為角當(dāng)棒繞O點(diǎn)向垂直于木塊接觸邊方向轉(zhuǎn)動(dòng)到棒與水平面間夾角變?yōu)橐唬旱乃矔r(shí)，求木塊速度的大小.圖 2.1110如圖所示，一半徑為R的金屬光滑圓環(huán)可繞其豎直直徑轉(zhuǎn)動(dòng).在環(huán)上套有一珠子.今逐漸增大圓 環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 3,試求在不同轉(zhuǎn)動(dòng)速度下珠子能

10、靜止在環(huán)上的位置.以珠子所停處的 半徑與豎直直徑的夾角 B表示.11如圖所示，一木塊從斜面 AC的頂端A點(diǎn)自靜止起滑下，經(jīng)過(guò)水平面 CD后，又滑上另一個(gè)斜面 DF , 到達(dá)頂端F點(diǎn)時(shí)速度減為零。兩斜面傾角不同，但木塊與所有接觸面間的摩擦系數(shù)相同，若AF連線(xiàn)與水平面夾角為9，試求木塊與接觸面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù) 卩。12.圖中的AOB是游樂(lè)場(chǎng)中的滑道模型，它位于豎直平面內(nèi)，由兩個(gè)半徑都是 R的1/4圓周連接而成，它們的圓心O1、02與兩圓弧的連接點(diǎn) 0在同一豎直線(xiàn)上.O2B沿水池的水面一小滑塊可由弧AO的任意點(diǎn)從靜止開(kāi)始下滑.1 若小滑塊從開(kāi)始下滑到脫離滑道過(guò)程中，在兩個(gè)圓弧上滑過(guò)的弧長(zhǎng)相等，則小滑

11、塊開(kāi)始下滑時(shí)應(yīng)在圓弧A0上的何處？（用該處到 01的連線(xiàn)與豎直線(xiàn)的夾角表示）2凡能在0點(diǎn)脫離滑道的小滑塊，其落水點(diǎn)到02的距離如何?參考解答1參考解答:對(duì)圓軌道應(yīng)用動(dòng)力學(xué)，有：Vo =! GMF R +H則橢圓軌道上P點(diǎn)的速度：Vp = ., V0 - （: Vo）12比較P、A兩點(diǎn)，用開(kāi)普勒第二定律（此處特別注意，對(duì)PtA過(guò)程，機(jī)械能守恒： 丄mvp2GmMR HGmM點(diǎn)的速度取垂直矢徑的分速度）vorp = vaa解四式可得:_ R+H rA =-1 +ot同理，對(duì)P和B用能量關(guān)系和開(kāi)普勒第二定律，可得:rB =T =BCD橢圓的長(zhǎng)半軸：a = A 邑2最后對(duì)圓軌道和橢圓軌道用開(kāi)普勒第三定

12、律可得橢圓運(yùn)動(dòng)的周期。答：h近=旦R1 +ot2.參考解答擺線(xiàn)受阻后在一段時(shí)間內(nèi)擺球作圓周運(yùn)動(dòng)，若擺球的質(zhì)量為m，則擺球受重力mg和擺線(xiàn)拉力T的作用，設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)任一時(shí)刻的速度為 v ,如圖預(yù)解20-5所示。用表示此時(shí)擺線(xiàn)與重力方向之間的夾角，貝U 有方程式2十mvT mg c o s =I x運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，令 二表示擺線(xiàn)在起始位置時(shí)與豎直方向的夾角， 取O點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，則有關(guān)系1 2-mgl cosmv -mgx -（I -x）cos -）2(1)(2)擺受阻后，如果后來(lái)擺球能擊中釘子，則必定在某位置時(shí)擺線(xiàn)開(kāi)始松 弛，此時(shí)T = 0，此后擺球僅在重力作用下作斜拋運(yùn)動(dòng)。設(shè)在該位置時(shí)擺

13、球速度V =v°，擺線(xiàn)與豎直線(xiàn)的夾角? - >0，由式（1 ）得v0 =g(l _x)cos: 0，(3)代入（2）式，求出21 cost -3(x -l)cos 靂0 2x(4)要求作斜拋運(yùn)動(dòng)的擺球擊中 C點(diǎn)，則應(yīng)滿(mǎn)足下列關(guān)系式:(I -x)sin ：-0 =v0 cos： 0t ,(5)1 2(l -x)COS? -V0Sn 0t 2gt(6)利用式（5）和式（6）消去t，得到g(l x)sin2 ： 02cos=0(7)由式（3）、（ 7）得到COS十乜3(8)代入式（4），求出J - arccos(9)V越大，COST越小,x越小，v最大值為二/2，由此可求得x的最小值

14、:所以x =(2 33)t = 0.4641(10)3.參考答案：如圖所示，用vb表示a轉(zhuǎn)過(guò)角時(shí)b球速度的大小，v表示此時(shí)立方體速度的大小，則有為a、b角速度相同，13Oal ， Ob1，所44以得1VaVb(2)3根據(jù)功能原理可知F -sin :二丄 mav42(l l -mag 4- 4-colmbv2 mbg42JUos:1mv242(3)由于b與正立方體的接觸是光滑的，相互作用 力總是沿水平方向，而且兩者在水平方向的位移相 同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相 同，符號(hào)相反，做功的總和為 o 因此在整個(gè)過(guò)程 中推力F所做的功應(yīng)等于球a、b和正立方體機(jī)械 能的增量現(xiàn)用 va表示此

15、時(shí)a球速度的大小，因?qū)?1)、(2)式代入可得l1f 1"2sin a = ma vb 142<3丿丄 cos-lmbvf423131)12mbgcos m(vb cos ).442 b解得vb22ma 18mb 18m cos :91 F sin 很亠ma - 3mb g 1 - cos.：:4. 玻璃管A端浮在水面上方時(shí)，管受力平衡.設(shè)管中空氣壓強(qiáng)為P，則管所受內(nèi)外空氣壓力之差(豎直方 向)是f=(P1-Po)So (a)用p表示水的密度，P1=P0+p gh,(b)則： f= P ghS. (c)f應(yīng)與管所受重力平衡：P ghS=mg. (d)故：h =巴.(e)ps代入

16、數(shù)值.得h二 胖5 =米二曲米二加厘米.10J xZxLO(2)管豎直沒(méi)入水中后，設(shè)管A端的深度為H,管內(nèi)氣柱長(zhǎng)度為I,則A端所在處水內(nèi)壓強(qiáng)為：Pa=p°+h p g, (f)管內(nèi)氣壓,由管內(nèi)水面在水下的深度可知：為：p2=p0+h p g+l p g. (g)管所受兩者壓力之差(豎直方向)為：f =（P2-Pa）s=i p gs （h）隨著管的下降，管內(nèi)水面也必下降，即管內(nèi)水面在水下的深度增大若管內(nèi)水面的深度不變（或減小），則P2不變（或減?。?而因管A端的下降，管內(nèi)空氣的體積卻減小了，這與玻-馬定律不符.因此，P2增大，1減小，故f'減小.當(dāng)管A端到達(dá)某一深度H0時(shí)， 與

17、管所受重力相等，超過(guò)這一深度后，f'小于重力，放手后管不浮起.由此，當(dāng) H=H0時(shí)，/f =l p gS=mg， （i）這時(shí)，由玻-馬定律：P2lS=P1（b+h）S.（k）即：仏+ H腕+三曲三=（卩卄三p© -（b+卻，ps pspsps故：H嚴(yán)b（l+至）.mg代入數(shù)值后，Ho lxlO-2|l+ 10 叱!米"貯米.x9.8j（3）由上一小問(wèn)解答的分析可知，當(dāng)管A端的深度超過(guò)H0時(shí)f <mg.故放手后管的位置要變化，將 自行下沉.評(píng)分說(shuō)明：全題14分.（1）3分;（2）和（3）共11分.（1）中，利用（a）、（b）式求出（c）式的,給2分.直接用阿基米

18、德原理得出管（及管內(nèi)空氣）所受浮力（c）式的,同樣給2分.利用條件（d）得出結(jié)果（e）的,再給1分.因單純運(yùn)算或數(shù)值計(jì)算（包括單位 換算）錯(cuò)誤而結(jié)果錯(cuò)誤的，扣1分.（2）、（3）,這兩小問(wèn)的解答中考生需要通過(guò)分析得知f'隨著管的下降而減小，從而確定放手后管不浮起的條件和管位置的變化.故兩小問(wèn)一起定評(píng)分說(shuō)明.利用（f）、（g）得出（h）式的，給2分.直接求浮力而得出（h）式的，同樣給2分.利用平衡條件得 出（j）式的，再給1分.禾U用玻-馬定律決定H0部分，占3分.分析f'隨管的下降而減小，占4分，不要求嚴(yán)格論證，能說(shuō)出管下降時(shí)I減小即可.用其他話(huà)說(shuō) 的,正確的,也可.不作分析的

19、不給這4分.說(shuō)出自行下沉的，再給1分.因單純運(yùn)算或數(shù)值計(jì)算（包括單位換算）錯(cuò)誤而結(jié)果錯(cuò)誤的，扣1分.g值取作10米/秒2而得出h0=0.51米的，同樣給分.5、題目要求考生說(shuō)明每問(wèn)解法的根據(jù).物體做水平勻速圓周運(yùn)動(dòng)有兩種可能：一種是物體與錐體表面 接觸（見(jiàn)圖1）; 一種是物體與錐體表面不接觸（見(jiàn)圖2）.當(dāng)接觸時(shí)，物體受力如圖1所示,T是繩對(duì)物體的拉力,N是支持力，mg是重力.物體與錐面間無(wú)摩擦. 將力沿水平方向和豎直方向分解，按牛頓定律得：Tcos 9 +Nsin 9 =mg. （b）由（a）、（b）兩式消去T,可得N跟v的關(guān)系如下：$in6在日給定后e越犬就越小.當(dāng)# =時(shí)nN = 0.令表

20、示這個(gè)速率，并將9 =30°代入，可得b因?yàn)镹是支持力，最小等于0,所以當(dāng)v>vb時(shí)，物體不再與錐面接觸.（L）Sv、因?yàn)閂<Yhf所以物棒與錐面援他E（小式消去N, 丁得:T = m -p + mgcosO=m+mg1 + 33mg.或:T=1.03mg.當(dāng)"遲創(chuàng)時(shí),因?yàn)閂AVb併以物體與鏈面不接觸.這吋物體只受重力和繩子拉力作用（如圖2所示）.用表示繩與圓錐體軸線(xiàn)之間的夾角，將力沿水平方向和豎直方向分解，按牛頓定律得：V3Tsin a = m km aTcos:=mg. （e） 將v = J代入W）式由、兩式消去佑 可得：2T2-3mgT-2m2g2=0解此

21、方程,取合理值，得：T=2mg.評(píng)分說(shuō)明：全題12分.本題要求考生說(shuō)明每問(wèn)解法的根據(jù)，即要求得出（c）式，并將（1）、（2）兩問(wèn)中的速率與（c）式相比較.這部分內(nèi)容占6分不論考生用什么方法解題，得出（c）式的給4分，再將（1）、（2） 兩問(wèn)中的速率與（c）式比較的，再各給1分.在（1）中，列 （a）、（b）式及求解占3分.（a）、（b）兩式中有一個(gè)列錯(cuò)的，扣2分.單純運(yùn)算錯(cuò)誤，扣1分.答案最后結(jié)果寫(xiě)作T=mg的,不扣分.在中，列 (d)、(e)式及求解占3分.(d)、(e)兩式中有一個(gè)列錯(cuò)的，扣2分.單純運(yùn)算錯(cuò) 誤，扣1分若誤認(rèn)為：=30° ,扣2分.6、設(shè)繩的P端到達(dá)B處時(shí),左邊繩

22、與水平地面所成夾角為 求的功為W,則：=in/ + mgh.2因繩總長(zhǎng)不變，所以:sinv=v bcos 9 .(c)將(b)、(c)兩式代入(a)式,得：W =cos3 9 + mg( -l)H.2曲iB因再：=74可得：W=49 ,物體從井底上升的高度為h,速度為v,所評(píng)分說(shuō)明：全題13分.列出(a)式的，給3分.列出(b)式的，給3分.列出(c)式的，給5分.列出(d)式的，給1分.最后結(jié)果正確的，再給1分.7、對(duì)于a段氣體,有:(b)對(duì)于b段氣體,有：pJl_ PjAT T1 TT T1 '壓強(qiáng)關(guān)系有:p b-p a=P抇b-p抇a，(e)Pa=Pb-(f)由以上各式可得T T=1訂-1討Tl；T_h ”評(píng)分說(shuō)明：全題10分.(a)、(b)、(c)、(d)四式全都列對(duì)的，給4分；部分列對(duì)但無(wú)列錯(cuò)的，給1分；有列錯(cuò)的，不 給分.(e)式列對(duì)給3分 ;(f)式列對(duì)給 份.最后結(jié)果正確再給2分.8解：由A點(diǎn)滑到C點(diǎn)，物塊靜止，由于系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，C處車(chē)也靜止。故重力勢(shì)能的減少轉(zhuǎn)化為熱能。mgR=i mgL,卩=R/L=0.25物塊由A到B,小車(chē)向左加速；由B到C,物塊速度