塑性力學(xué)_第三章應(yīng)變狀態(tài)

1、第三章 應(yīng)變狀態(tài)理論 在外力、溫度變化或其他因素作用下，物體內(nèi)部各質(zhì)點將產(chǎn)生位置的變化，即發(fā)生位移。如果物體內(nèi)各點發(fā)生位移后仍保持各質(zhì)點間初始狀態(tài)的相對位置，則物體實際上只發(fā)生了剛體平移和轉(zhuǎn)動，這種位移稱為剛體位移。如果物體各質(zhì)點發(fā)生位移后改變了各點間初始狀態(tài)的相對位置，則物體同時也產(chǎn)生了形狀的變化，其中包括體積改變和形狀畸變，物體的這種變化稱為物體的變形運動或簡稱為變形，它包括微元體的純變形和整體運動。應(yīng)變狀態(tài)理論就是研究物變形后的幾何特性。即給定物體內(nèi)各點變形前后的位置，確定無限接近的任意兩點之間所連矢量因物體變形所引起劇烈變化。這是一個單純的幾何問題，并不涉及物體變形的原因，也就是說并不

2、涉及物體抵抗變形的物理規(guī)律。本章主要從物體變形前后的幾何變化論述物體內(nèi)一點的應(yīng)變狀態(tài)。3.1 位移與線元長度、方向的變化1.1坐標(biāo)與位移 設(shè)變形前物體上各點的位置在笛卡爾坐標(biāo)(Descarter coordinate)系的軸()上的投影為()，又設(shè)物體上各點得到一位移，并在同一坐標(biāo)軸上的投影為(、)，這些位移分量可看作是坐標(biāo)()的函數(shù)。于是物體上任點的最終位置由下述坐標(biāo)值決定。即 (3.1-1)上式中函數(shù)、以及它們對坐標(biāo)()的偏導(dǎo)數(shù)假設(shè)是連續(xù)的，則式(3.1-1)確定了變量()與之間的關(guān)系。因為物體中變形前各點對應(yīng)看變形后的各點，因此式(3.1-1)是單值的，所以式(3.1-1)可看成是坐標(biāo)的

3、一個變換。 如果在(3.1-1)中，假設(shè)，則由(3.1-1)式可得如下三個方程 (3.1-2)式(3.1-2)決定了一條曲線，曲線上各點，在物體變形前為平行于軸的直線()上(圖3.1)。由此可見，變形前物體上與坐標(biāo)軸平行的坐標(biāo)線，在變形后的物體上一般將成為曲線。換句話說，如果用沒有變形狀態(tài)的坐標(biāo)()末表征物體上各點的位置，到變形終了狀態(tài)將是曲線坐標(biāo)；反之，如果用表示各點的坐標(biāo)，則對巳變形物體是笛卡爾坐標(biāo)，而對于變形前的物體將是曲線坐標(biāo)。 由以上可見，描述連續(xù)介質(zhì)變形的方法有上述兩種，分別稱為Lagrange法Euler法。Lagrange描述法是用變形前的坐標(biāo) ()做自變量，而Euler法則是

4、用變形后的坐標(biāo)做自變量。 在固體力學(xué)中，通常物體的初始形狀、固定情況以及載荷是一定的，需要確定的是物體各點的位移、和應(yīng)力。對于小變形一般采用Lagrange坐標(biāo)法；而對于大變形有時用Euler法。在數(shù)值計算中，通常采用矢量來表示，因為要計算變形前后兩次應(yīng)變的變化，所以用Euler法比較方便。在以后的討論中，我們采用Lagrange坐標(biāo)法。 圖 3.1 變形表示法1.2 變形體的應(yīng)變 設(shè)物體中變形前相距十分近的兩點，變形后移位至。變形前的坐標(biāo)分別為，變形后的坐標(biāo)分別。那么，矢量所表示的線元在物體變形后由矢量表示線元。那么，和的平方為 (a) (b)根據(jù)(3.1-1)式，點在方向有 (c)此處是因

5、兩點所產(chǎn)生的增量，將其在()處展開為Taylor級數(shù)，即 (d)略去(d)式中的高階微量(，并將(d)式代入(c)式，則可得 由(3.1-1)式知，,所以 (3.1-3a)同理可得 (3.1-3b) (3.1-3)式表示用物體的任意線元在變形前的投影表出它在變形后的投影。我們的目的是為了計算與之差，于是由(a)式和(e)式可得 (f)式中 (3.1-4)式(3.1-4)實際上就是應(yīng)變在各坐標(biāo)方向的分量，它是非線性的。如果知道了變形體各點的位移，則可由該式求得各點的應(yīng)變分量，式(3.1-4)可采用張量表示為 (3.1-5)1.3線元的長度變化 引入符號 (3.1-6)是點和N間由變形引起的距離的

6、增加量對二者間變形前的距離的比我們把這個量稱作點在點N方向的相對伸長度。根據(jù)式(a)和式(f)，并注意(3.1-2)式，則可得伸長度的表達式為 (3.1-7)式中 ，是矢量的方向余弦。如果在(g)式中令，那么有 (3.1-8a)此處表示點在x方向的相對伸長度。類似有點在y、z方向的相對伸長度為 (3.1-8b)因此，應(yīng)變分量、描述了變形前平行于坐標(biāo)軸的那些線元的伸長度，它們稱為正應(yīng)變。1.4線元方向的變化 變形物體中的線段，在變形時不僅長度要改變，而且方向也會發(fā)生變化。矢量與坐標(biāo)軸(X，Y，Z)形成的方向余弦分別為、；而矢量與坐標(biāo)軸夾角的方向余弦分別為 (3.1-9)利用(3.1-6)式解得=

7、，并注意到(3.1-3)式可得 (3.1-10)式(3.1-10)表示任意線元在變形后的方向，即變形后的方向余弦可以用變形前的方向余弦表示。如果變形前線元與X軸平行，則該線元的方向余弦為，那么由(3.1-10)式知，該線元變形后的方向余弦為 (3.1-11)此處是變形前與X軸平行線元的伸長度。由上式可以看出，對于任意線元，因各個方向的位移、不相同，因此方向要改變(圖3.2)；同時各個方向的伸長度也不相同，方向也要改變。 因為線元在變形后成為已變形物體上坐標(biāo)曲線上的線元，所以式(3.1-11)實際上給出了點上坐標(biāo)曲線的切線方向的方向余弦。類似地可以由 (3.1-11)式得出已變形物體上坐標(biāo)曲線和

8、的切線的方向余弦。如果用、表示點在坐標(biāo)切線方向的三個單位矢量，那么該三個單位矢 圖3.2 線元的方向余弦量相對于笛卡爾坐標(biāo)的方向余弦可由(3.1-11)式如同線元那樣得到類似的(3.1-11)式。具體列于表3.1。 類似于(3.1-9)的方法也導(dǎo)出用的方向余弦表示變形前的方向余弦，讀者可自行推導(dǎo)。表3.1 變形后相對于笛卡爾坐標(biāo)的方向余弦XYZ 1.5剪切度與切應(yīng)變 Z 如圖3.3所示，設(shè)變形前物體中經(jīng)過 點的兩條任意纖維和，此兩纖維在點 的切線的方向余弦分別為、和、 、；變形后，物體中的點移動到， 纖維和變成纖維和， 纖維和的 Y方向余弦也變?yōu)椤⒑?、?由前面可知，變形后兩纖維的方向余弦可用

9、 X變形前的方向余弦表示，同時由解析幾何知 圖3.3 剪切變形 (3.1-12) 則可求得變形后纖維和之間夾角的方向余弦。將(3.1-10)式代入上式，并注意(3.1-5)式，則可得 (3.1-13)注意，式中纖維和的伸長度和由(3.1-7)確定，但必須用變形前物體的纖維和的方向余弦、和、。 由(3.1-13)顯然可知，當(dāng)知道了6個應(yīng)變分量、和變形前經(jīng)過物體中任意一點處的兩纖維的方向余弦后，則可由(3.1-7)式和(3.1-13)求得該兩纖維變形后的夾角。 如果變形前物體中纖維和分別平行于軸和軸，則，其余的方向余弦為，且變形后物體中纖維和的切線方向分別與單位矢量、重合，則根據(jù)(3.1-7)式和

10、表達式(3.1-8)可知 在變形前，纖維和的夾角為直角，令為變形后纖維引起的夾角減少量，那么由上式可得 (3.1-14a)類似可得分別與軸和軸平行的兩纖維夾角的減少量和為 (3.1-14b)稱角、和為剪切度。由以上分析可知，、和表示了切應(yīng)變，當(dāng)它們均為零時，則纖維之間的夾角變形后保持不變。 由以上的分析可知，在(3.1-4)式中，應(yīng)變所出現(xiàn)的量不外乎下面9個分量 (3.1-15)稱為相對位移張量。因此，當(dāng)知道了位移對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)，則可根據(jù)(3.1-4)式計算出應(yīng)變分量，從而也就知道了任何一根線段在任何方向的伸長(由(3.1-7)式)，同時還可計算出原來與坐標(biāo)軸平行的兩線段角度的減少量，更一般地

11、還可計算，因此充分地表示了應(yīng)變。如果=0，則意味著沒有變形，僅有剛體移動或轉(zhuǎn)動；如果已知應(yīng)變分量，則不能求得一根線段的絕對角度變化，因為這時并不知道(3.1-15)中的任何值，所以也無法由(3.1-10)式求得等，反過來也不知道、等，所以無法求出。3.2 應(yīng)變張量與轉(zhuǎn)動張量 一般來說，物體中各點的變形由(3.1-5)式中的6個分量可完全確定，因為知道了這6個分量就等于知道了伸長度和剪切度。 在變形理論分析中，通常還需引入9個參數(shù)，即 (3.2-1)這樣，位移的所有一階偏導(dǎo)數(shù)都于由這(3.2-1)式的9個參數(shù)表示為 (3.2-2)2.1微元體的轉(zhuǎn)動為了研究微元體的轉(zhuǎn)動，首先闡述的幾何意義。為此，

12、設(shè)垂直于軸的線元為，利用(3.2-2)，并注意此時，則(3.1-3)式成為 (3.2-3) 在圖3.4中表示出平面，線段是變形前線元的長度，而線段是變形后在平面上的投影。根據(jù)圖3.4顯然有 ， (3.2-4)再根據(jù)(3.2-3)式和分子分母均除原長，則有 (3.2-5) 圖3.4 線元角度的變化變形物體在變形過程中，由前節(jié)已經(jīng)知道，線元不僅產(chǎn)生尺度變化，而且線元的方向也發(fā)生變化。但是在變形時起變化的不僅線元的相對方向，而且還有它的絕對方向，因為從初始狀態(tài)的物體中割離出來的無限小微元體，到終了狀態(tài)時，除了產(chǎn)生形變外，還有些轉(zhuǎn)動。把這術(shù)語應(yīng)用到微元體上(它在產(chǎn)生位移過程中不僅位置要發(fā)生改變，而且還

13、改變了大小和形狀)，意指所有屬于微元體的許多個線元轉(zhuǎn)動的平均值。同時，約定作為繞軸的轉(zhuǎn)動角，此處軸是變形前和線元垂直的軸，是線元 (在變形前的位置)和它在變形后在垂直軸平面上投影之間的夾角(圖3.5)因此因變形產(chǎn)生繞軸的轉(zhuǎn)動角為 (3.2-6)由(3.2-5)、(3.2-6)和三角函數(shù)關(guān)系式可得從上式可解得 圖3.5 線元繞軸角度變化取從到間隔中的平均值(即取所有垂直于軸的線元的的平均值)， 其中 令，則積分可化為 而積分可化為 = (a)式中 由以上可得 (b)因為所求得的 ()且多值函數(shù)，所以結(jié)果不定，但這種不定性可以揭示出來。如果考慮到使趨近于零時，從(a)式可知積分必然趨近于，據(jù)此在

14、(b)式中必須使 (c)于是得到的表達式為 (3.2-7a)用類似的方法可以寫出和為 (3.2-7b) 三個參數(shù)，表征出包圍點的無限小體積的轉(zhuǎn)動，它們分別和，成正比，而且在后者等于零時也等于零。因此，如果它們在任一坐標(biāo)系等于零，那么它們在任何其他坐標(biāo)系中都等于零。因此可得出結(jié)論，在物體上任一點，如果有 (3.2-8)則表示通過該點的線元對于通過這點的任意軸平均來說沒有轉(zhuǎn)動。所以，等式(3.2-8)是物體上點周圍任意無限小微元體沒有轉(zhuǎn)動的條件。2.2應(yīng)變張量與轉(zhuǎn)動張量在直角坐標(biāo)系下，式(3.1-5)稱為Green應(yīng)變張量。雖然是在直角坐標(biāo)系中導(dǎo)出的，但它們所描述的幾何關(guān)系與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，因此

15、適用于任意正交坐標(biāo)系。從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，Green應(yīng)變張量屬對稱二階張量。對于式(3.1-4)，如果忽略高階微量，則(3.1-4)式中將成為 (3.2-9)將其寫為張量形式為 (3.2-10)在直角坐標(biāo)系中，稱(3.2-10)式為Cauchy應(yīng)變張量，它也是二階張量。 由張量分析知，任何一個二階張量都可唯一地分解成一個對稱張量和一個反對稱張量。因此(3.1-15)式可寫成 (3.2-11)其中的元素為(3.2-10)式，而的各元素為 (3.2-12)根據(jù)(3.2-1)式，上式也可寫為 (3.2-13)由(3.2-7)知，反映了包圍某點無限小微元體的轉(zhuǎn)動，因此稱為轉(zhuǎn)動張量。2.3物體變形的描述與簡

16、化以上的討論闡述了已知位移、決定物體任意一點無限小區(qū)域的位移、轉(zhuǎn)動和純應(yīng)變?nèi)齻€因素，這些因素確定了假想從物體中切割出來的無限小微元體受載后的終了位置和終了形狀。 但是必需指出，整體位移和微元體的轉(zhuǎn)動并不是微元體變形的特征，變形是由應(yīng)變所決定的。但是，如果說整個物體的變形，則其具有特征的是物體上各點的位移和各纖維的轉(zhuǎn)動角。如梁的變形通常是指梁的撓度(即位移)，而軸的變形是指軸的一端相對于另一端的扭轉(zhuǎn)角(即轉(zhuǎn)動角)。因此從這個觀點出發(fā)，位移和轉(zhuǎn)動是整個物體變形的特征，而伸長度和剪切度是物體在無限小微元體變形的特征。這兩個特征具有實際意義，前者決定承力構(gòu)件或物體的剛度，后者決定承力構(gòu)件或物體的強度。

17、 由上面的敘述可知，“小變形”這一術(shù)語就產(chǎn)生二種解析，“小形變”可以了解釋為小伸長度和小剪切度(同1相比)；或者可以解釋為小位移(同物體的尺度相比)和小轉(zhuǎn)動角(同1相比)必須指出，小變形的經(jīng)典理論實際上是建立在小位移和小轉(zhuǎn)動角的假設(shè)基礎(chǔ)上的。但是這一情況很少用應(yīng)有的明確程度加以說明。因此，習(xí)慣于將變形的概念聯(lián)想到應(yīng)變分量，以為是指小伸長度和小切應(yīng)變。應(yīng)孩強調(diào)的是關(guān)于小位移和小轉(zhuǎn)動角的假投，比之小應(yīng)變分量的假設(shè)，很大程度地限制了論述的普遍性、并且前一假設(shè)的結(jié)果也服從后一假設(shè)，但反過來則并不肯定。其次必須指出，在必須表明小位移時，常常沒有預(yù)先說明它應(yīng)和什么比較是微小的，其實這樣的預(yù)先說明是十分必要

18、的，因為位移是具有量綱的量。 今后使用“小變形”這一術(shù)語時，始終是指小伸長度和小剪切度(同1相比)。 此外，如果所研究的問題同時又有小位移和小轉(zhuǎn)動，總是預(yù)先加以說明。 直到現(xiàn)在，還沒有對伸長度和剪切度的大小加以任何限制。但是在彈塑性力學(xué)的論述中這樣的普遍性照例是沒有必要的，因為只有很少的材料(例如橡皮)才在頗大的相對應(yīng)變的情況下還保留它的彈性的性質(zhì)，大多數(shù)應(yīng)用在工程上的材科(例如所有的金屬和合金)僅在同1相比很小的伸長度和剪切度下才是彈性的。例如鋼的彈性變形區(qū)域大概在相對伸長度的數(shù)值是10-3到5這一量級，鋼的彈性切應(yīng)變的最大數(shù)值也在類似的量級上。有色金屬(及其合金)，數(shù)字稍有不一樣，但它們的

19、彈性變形區(qū)域也限制在很小的伸長度和切應(yīng)變內(nèi)。 從上面可見，彈塑性力學(xué)應(yīng)用于金屬結(jié)構(gòu)時，略去同1比較起來很小的伸長度和剪切度以簡化公式是很自然的而且是合理的。由此，小應(yīng)變理論提供了最大的實際興趣。當(dāng)忽略同1相比很小的伸長度和剪切度來簡化前面己求得的公式，則對于 (3.1-8)實行簡化，得到： ， ， 而根據(jù)(3.1-14)式得到 ， ， 因此在小應(yīng)變的情況下，應(yīng)變分量可以與相應(yīng)的伸長度等同看待，而應(yīng)變分量可以與相應(yīng)的剪切度等同，但因它們?nèi)孕栌檬?2.1-4)計算，所以小應(yīng)變?nèi)詫俜蔷€性。 應(yīng)當(dāng)指出，如果轉(zhuǎn)動很大，而剪切度卻很小，那么在決定變形后線元的方向時，同轉(zhuǎn)動相比可以略去剪切度(這里是指可一般

20、略去剪切度；在有剪切度但不同時有轉(zhuǎn)動的式子中，就不能略去剪切度)。材料力學(xué)梁的理論中的平面假設(shè)、和板理論中的Kirchhoff假設(shè)，就是這種簡化處理可變形物體線元方向的例子，兩者都是是假定同轉(zhuǎn)動相比可以略去剪切度而作出結(jié)論的。 如果應(yīng)變和轉(zhuǎn)動角都很小，此時同1相比微小的不僅僅是應(yīng)變分量，而且在(3.2-7)中還可略去與轉(zhuǎn)動角相關(guān)的平方項高，從而可以獲得 ， 當(dāng)伸長度、剪切度和轉(zhuǎn)動角同1相比都很小時，利用(3.2-1)式可將(3.1-4)改寫為 (3.2-14) 在應(yīng)變分量公式(3.2-14)中包括了以下項：(a)參數(shù)的線性項；(b)參數(shù)彼此相乘的項；(c彼此相乘的項和(d)參數(shù)與的乘積項。 當(dāng)

21、和同1相比很小時，則有兩種可能性，則有兩種可能性：(1) 與同階或更高階的微量；(2) 與同階或更高階的微量。 對于第一種情況，(3.2-14)式中只需保留線性項，因此應(yīng)變分量用(3.2-10)式計算，即為Cauchy張量。對于第二種情況，在(3.2-14)式中只需保留(a)和(c)形式的項，簡化后可得應(yīng)變分量為 (3.2-15) 式(3.2-14)和式(3.2-15)應(yīng)用很廣，式(3.2-14)用于小應(yīng)變分量和小轉(zhuǎn)動分量，而且兩者屬同一量級時，則就是通常指的小變形情況。式(3.2-15)用于小應(yīng)變和小轉(zhuǎn)動，但轉(zhuǎn)動仍比應(yīng)變大很多，因此適合柔性構(gòu)件問題，如細(xì)長桿、板殼等，這種情況通常稱為大變形小

22、應(yīng)變。而(3.1-4)式屬大變形大應(yīng)變問題?？傊?，Cauchy應(yīng)變張量屬于線性問題，其余均為非線性問題。3.3主應(yīng)變和應(yīng)變不變量3.1應(yīng)變張量的坐標(biāo)變換 同一個變形可在不同的坐標(biāo)系中研討。在所有各種情況下，可以用前面所確定的六個應(yīng)變分量把變形的特征充分地表示出來，但這六個應(yīng)變分量的值卻隨坐標(biāo)軸方向的選擇而變更。設(shè)原有的坐標(biāo)系為、，另坐標(biāo)系為、，它的各軸的方向?qū)Φ谝粋€坐標(biāo)系各軸的方向余弦如表3.2所示。表3.2 新舊坐標(biāo)系之間的方向余弦 因為二個坐標(biāo)系均為直角坐標(biāo)，因此表3.2所列方向余弦之間有下面的關(guān)系： (3.3-1a)上式也可寫為 (3.3-1b) 如果線段在第二個坐標(biāo)系、各軸上的投影是，

23、那么在第個坐標(biāo)系、各軸上的投影是： (3.3-3)注意3.1節(jié)中的式(f)左邊是表示點和之間距離的平方因變形而引起的變化，由于這兩點的選擇與坐標(biāo)無關(guān)，該式左邊也應(yīng)與坐標(biāo)選擇無關(guān)，因此在坐標(biāo)變換過程是應(yīng)是不變量。于是將(3.1-7)式右邊的用矢量在新坐標(biāo)上的投影，的(3.3-3)代入，將有 (3.3-4)其中 (3.3-5)由以上可見，式(3.3-4)與式(3.1-7)在形式上相類似，因此式中所含的各系數(shù)在坐標(biāo)系、中的意義與系數(shù)在坐標(biāo)系、的意義一樣。顯然，式(3.3-5) 就是坐標(biāo)軸變換時應(yīng)變分量的變換規(guī)律。3.2主應(yīng)變和應(yīng)變不變量 現(xiàn)在討論在那一個方向伸長度會具有極值。設(shè)取軸平行這個方向，那么

24、根據(jù)(3.3-4)式有 或 (3.3-6) 由上式可見，求的極值歸結(jié)為求的極值，也即要確定的值，使得在該方向上使(3.3-5)式中的第一式有極值。由(3.3-1b)式于知，之間存在如下關(guān)系 (3.3-7)那么，假設(shè)一函數(shù)為 式中為Lagrange乘子?，F(xiàn)將上式分別對求偏導(dǎo)數(shù)，并使其等于零，則得如下線性方程組 (3.3-8) 由于條件式(3.3-7)的存在，不可能同時為零，因此(3.3-8)是關(guān)于的線性齊次方程組。根據(jù)齊次方程組有非零解的條件，(3.3-8)式中的系數(shù)行列式必為零，即 (3.3-9)它至少有一個實根，將它記為。注意到(3.3-5)中的表達式還可寫為 將上式括號中的式子用(3.3-

25、8)中的值代入，并注意到(3.3-7)式，將發(fā)現(xiàn)，即的極值就是。當(dāng)分別設(shè)平行于伸長度具有極值的方向時，采用類似的方法可分別得到關(guān)于和關(guān)于的類似于(3.3-8)式的線性齊次方程組，且其系數(shù)行列式與(3.3-9)式完全一樣。將(3.3-9)式展開該式得 (3.3-10)其中 這三個參數(shù)分別稱為第一、第二、第三應(yīng)變不變量。方程式(3.3-10)有三個實根。設(shè)這三個實根分別為、。則由根與系數(shù)關(guān)系，有 (3.3-11)稱、為主應(yīng)變，所在方向稱之為主方向。另外，注意到應(yīng)變分量和可以寫為將上面兩式中括號內(nèi)的式子用(3.3-8)代入，則有 由(3.3-1a)可知，。因此，如果在軸方向的伸長度是極值，那末應(yīng)變分

26、量，也就是變形發(fā)生時，在方向和方向之間的直角以及方向和方向之間的直角沒有變化。由此可見，不論在物體上任何點的變形怎樣，總可以找出通過物體的三條纖維，它們在變形前是互相垂直的，而在變形后仍然還是互相垂直。 將代入(3.3-8)式，則可求得，從而可確定的方向，即主方向。如果將(3.3-8)式中的分別用和代替，以及別將用和代替，則可求得和，從而確定主應(yīng)力和的主方向。 完全類似地還可求得最大切應(yīng)變?yōu)?以及八面體的切應(yīng)變?yōu)?(3.3-12)應(yīng)變偏量及其不變量分別為 (3.3-13) (3.3-14)34 應(yīng)變率張量和應(yīng)變增量張量4.1應(yīng)變率張量在小變形條件下，應(yīng)變張量可簡寫為 (3.4-1)而當(dāng)介質(zhì)處在

27、運動狀態(tài)時，以表示質(zhì)點的速度，表示速度的三個分量，以時間作為起點，則經(jīng)過無限小時間段以后，位移為，由于很小， 及其對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)也很小，因此可以應(yīng)用小變形公式，即 (3.4-2)如果令，則有 (3.4-3)稱為應(yīng)變率張量，上式定義不論大小都成立，但要求是對每一瞬時狀態(tài)進行計算，不是按初始位置計算。因為，在一般情況下當(dāng)按初始位置計算時 只有在小變形條件下才有 (3.4-4)由(3.4-2)和(3.4-4)式可知 (3.4-5)于是應(yīng)變對時間的變化率為 (3.4-6)將上式寫為張量形式為 (3.4-7) 4.2應(yīng)變增量張量應(yīng)當(dāng)指出，對于固體材料，當(dāng)溫度不變時或變形是緩慢的，則其力學(xué)行為與應(yīng)變率關(guān)系不

28、大，只有在受到動載荷時，因變形速率很快，材料的力學(xué)性質(zhì)才會與應(yīng)變速率有關(guān)，這類材料通常稱為應(yīng)變率敏感材料。因此，根據(jù)第一章中的基本假設(shè)，時間因素對物體的彈塑性力學(xué)行為不發(fā)生影響(即不考慮粘性效應(yīng))，而且這里的并不代表真實的時間，僅僅代表加載變形的過程。于是，對于這里所討論的問題主要關(guān)心的不是應(yīng)變速率而是應(yīng)變增量。于是采用應(yīng)變增量代替應(yīng)變率更能表示不受時間參數(shù)選擇的特點。 以代表位移增量，則(3.4-3)式成為 (3.4-8)在小變形條件下 (3.4-9) 這說明在小變形時、按瞬時狀態(tài)計算與按初始狀態(tài)計算(近似地)沒有什么區(qū)別。類似地、應(yīng)變增量張量的應(yīng)變增量偏量為 (3.4-10) 注意，在求應(yīng)

29、變增量時，每一次都應(yīng)從瞬時位置計起，而不是從初始位置算起。例如在簡單拉伸時，軸向應(yīng)變增量為 此處是拉伸時的瞬時長度(為了不與相混淆，令)。一般情況下應(yīng)變增量的累計值的物理意義并不明顯，但是當(dāng)應(yīng)變張量的主方向不變時，它們的積分才有明確的物理意義。對于簡單拉伸問題有 (3.4-11)這就是對數(shù)應(yīng)變，又稱為真應(yīng)變。4.5小變形的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 對于一個連續(xù)的物體，按某一應(yīng)變狀態(tài)變形后必須既不出現(xiàn)開裂，又不會出現(xiàn)重疊，即保持其連續(xù)性。此時所給定的應(yīng)變狀態(tài)是協(xié)調(diào)的，否則是不協(xié)調(diào)的。這就要求位移函數(shù)在所定義的域內(nèi)為單值連續(xù)函數(shù)。一旦出現(xiàn)了開裂，位移函數(shù)就會出現(xiàn)間斷；出現(xiàn)了重疊，位移函數(shù)就不可能為單值。因此、

30、為保持物體變形后的連續(xù)性，各應(yīng)變分量之間必須有一定的關(guān)系。 在小變形情況下，6個應(yīng)變分量是通過6個幾何方程與3個位移函數(shù)相聯(lián)系。若已知位移分量，則由(3.4-1)求得各應(yīng)變分量。若給定一組應(yīng)變，(3.4-1)式是關(guān)于未知位移函數(shù)的微分方程組，它包含6個方程，僅三個未知函數(shù)，方程的個數(shù)超過了未知數(shù)的個數(shù)，若任意給定，則方程(3.4-1)不一定有解，僅當(dāng)滿足某種可積條件，或稱為應(yīng)變協(xié)調(diào)關(guān)系時，才能由方程(3.4-1)積分得到單值連續(xù)的位移場。 在小變形條件下，應(yīng)變的計算式為(3.2-9)。將(3.2-9)式中的6個應(yīng)變分量分為兩組。第一組為(3.2-9)式中的前三式，將該式中前兩式分別對和求二階偏

31、導(dǎo)數(shù)，得 ， 將上面兩式相加，得 這就是我們需要的應(yīng)變之間的一個關(guān)系式將上式內(nèi)各字母循環(huán)替換，就得到另外二式，第一組中共有三個關(guān)系式。 第二組為方程(3.2-9)中的后三式，將它們分別對、和求偏導(dǎo)得 ， ， 將上式中的第二和第三式相加，并減去第一式，然后再對求導(dǎo)，則有 將上式各字母循環(huán)替換，就得到另外二式。第二組也共有三個關(guān)系式。 于是第一組和第二組的6個關(guān)系如下 (3.5-1)上列應(yīng)變分量之間的6個微分關(guān)系式，稱為應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，又稱變形連續(xù)方程(圣維南恒等式)。 當(dāng)彈塑性變形固體在外界因素影響下，物體中產(chǎn)生應(yīng)力與應(yīng)變，如能先求得位移，對于小變形問題則可由式(3.4-9)可計算應(yīng)變分量，這時應(yīng)

32、變協(xié)調(diào)方程(3.5-1)自然滿足，因應(yīng)變協(xié)調(diào)方程本是由式(3.4-9)所導(dǎo)得。但是，如先求出應(yīng)力，然后再求應(yīng)變，則所求的應(yīng)變分量必須同時滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程(3.5-1)，否則，應(yīng)變分量之間可能互不相容，因此也就不能用式(3.4-9)求得正確的位移。 式(3.2-2)可以視為位移分量的微分方程，如果應(yīng)變分量和轉(zhuǎn)動分已知，則求式(3.2-2)的積分，就可求得位移分星，進步可證明，在求上述積分時、必須滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。3.6正交曲線坐標(biāo)中的應(yīng)變幾何方程 在求解具有曲線或曲面邊界的彈塑性力學(xué)問題時，一般選用正交曲線坐標(biāo)系比笛卡兒直角坐標(biāo)系更為方便。6.1正交曲線坐標(biāo) 設(shè)以三個獨立變量()來定義的三個獨立

33、標(biāo)量函數(shù)()為 , , (3.6-1)如果()表示笛卡爾坐標(biāo)，則對任何一組()，變量()都是空間坐標(biāo)。那么在一規(guī)則區(qū)域內(nèi)，獨立標(biāo)量函數(shù)與獨立變量之間存在唯一解，即 (3.6-2) 如果()為常值()，則方程(3.6-2)給出 ， ， (3.6-3)方程定義一個坐標(biāo)面。當(dāng)取不同的值，就得到與對應(yīng)的一族坐標(biāo)面。類似地，方程和給出另外兩族坐標(biāo)面。兩個坐標(biāo)面的交線定義一坐標(biāo)線。如和的交線定義一條坐標(biāo)線，沿這條線只有在變化，該交線稱為坐標(biāo)線。類似的面和的交線定義出坐標(biāo)，而和的交線定義出坐標(biāo)。一般來說，坐標(biāo)線均為曲線。因此，變量()稱為曲絨坐標(biāo)。 通常三個坐標(biāo)面在空間相交于一點，因此空間中的一點與三線的交匯點()有關(guān)。如果通過任何點()的曲線坐標(biāo)線相互垂直，則稱它為正交的，其曲線坐標(biāo)系稱為正交曲線坐標(biāo)系。如柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系均屬正交曲線坐標(biāo)系。 在直角坐標(biāo)系()中，一點()的位置矢量可以寫作，其中分別為坐標(biāo)方向的單位矢量。因此，一個曲線坐標(biāo)系()可以用矢量方程定義，如果令分別是對()的偏導(dǎo)