數(shù)值分析簡(jiǎn)明教程習(xí)題答案

1、 （2）雅可比迭代： ì (k (k ï x1( k +1 = -5 x 2 + 3 x3 +2 ï ï (k + 5 (k 1 (k í x 2 = x1 + x3 - 2 ， G 2 2 ï ï ( k +1 2 ( k 1 ( k 11 x3 = x1 + x 2 + ï 5 5 5 î 高斯-賽德?tīng)柕?¥ = 8 > 1 ,不收斂。 ì ì (k (k (k (k ï x1( k +1 = -5 x 2 ï x1( k +1 = -5 x

2、 2 + 3 x3 +2 + 3 x3 +2 ï ï 25 ( k ï ( k + 5 ( k +1 1 ( k ï (k + (k + x3 - 2 = - x2 + 8 x3 +3 或 í x2 í x 2 = x1 2 2 2 ï ï 1 ( k 14 ( k 18 ï ( k +1 2 ( k +1 1 ( k +1 11 ï ( k +1 x3 = x1 + x2 + x3 = - x2 + x3 + ï ï 5 5 5 2 5 5 î î G

3、¥ = 8 > 1 ,不收斂。 3、 （p.171，題 6）加工上述題 5 的方程組，比如調(diào)換方程組的排列順序，以保證迭代過(guò)程 的收斂性。 【解】加工后結(jié)果如下： （1） í ì3 x1 + x 2 = 2 î x1 + 2 x 2 = -1 ì5 x1 - 2 x 2 + x3 = 4 ï （2） í x1 + 5 x 2 - 3 x3 = 2 ï2 x + x - 5 x = -11 2 3 î 1 方程組（1）的雅可比迭代： 1 (k 2 ì ( k +1 3 x1 = - x2 +

4、 ï ï 3 3 ， GJ í 1 1 ï x ( k +1 = - x ( k - 2 1 ï 2 2 î 方程組（1）的高斯-賽德?tīng)柕?¥ = 1 < 1 ，迭代收斂。 2 1 (k 2 ì ( k +1 3 x1 = - x2 + ï ï 3 3 ， GG - S í ï x ( k +1 = 1 x ( k - 2 2 1 ï 6 3 î 方程組（2）的雅可比迭代： ¥ = 1 < 1 ，迭代收斂。 3 ì (

5、k +1 2 ( k 1 ( k 4 = x 2 - x3 + ï x1 5 5 5 ï 1 3 (k 2 ï ( k +1 = - x1( k + x3 + ， GJ í x2 5 5 5 ï ï ( k +1 2 ( k 1 ( k 11 = x1 + x 2 + ï x3 5 5 5 î 方程組（1）的高斯-賽德?tīng)柕?¥ = 4 < 1 ，迭代收斂。 5 ì ( k +1 2 ( k 1 ( k 4 = x 2 - x3 + ï x1 5 5 5 ï 2 (

6、k 16 ( k 6 ï ( k +1 = - x2 + x3 + ， GG - S í x2 25 25 25 ï 6 ( k 321 ï ( k +1 18 ( k = x2 + x3 + ï x3 125 125 125 î ¥ = 18 < 1 ，迭代收斂。 25 6.1 高斯消元法 1、 （p.198，題 2）用選列主元高斯消元法求解下列方程組： ì x1 - x 2 + x 3 = - 4 ï （1） í 5 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = - 12 ï

7、2 x + x + x = 11 2 3 î 1 ì2 x1 + 3 x 2 + 5 x3 = 5 ï （2） í3 x1 + 4 x 2 + 7 x3 = 6 ï x + 3x + 3x = 5 2 3 î 1 5 -4 æ1 -1 1 - 4 ö æ 5 - 4 3 - 12 ö - 1 r1+ r 2æ ç ç ÷ r1« r 2ç ÷ 5 1 【解】 （1） ç 5 - 4 3 - 12 ÷

8、74; ç 1 - 1 1 - 4 ÷ ® ç 0 - 5 ç ç 2 1 1 11 ÷ ç 2 1 1 11 ÷ ç2 1 è ø è ø è 3 - 12 ö 2 8÷ - ÷ 5 5÷ 1 11 ÷ ø æ ö æ 5 - 4 3 - 12 ö - 2 r1+ r 3ç 5 - 4 3 - 12 ÷ æ 5 -

9、4 3 - 12 ö 5´r 3ç ÷ 5 ÷ ç ÷ 5´r 3ç ®ç0 -1 2 - 8 ÷ ® ç0 -1 2 - 8 ÷ ®ç0 -1 2 - 8 ÷ 13 1 79 ÷ ç ç 2 1 1 11 ÷ ÷ ç - ç0 ÷ è 0 13 - 1 79 ø è ø 5 5 5 ø

10、è æ ö æ 5 - 4 3 - 12 ö 1 r 2+ r 3ç 5 - 4 3 - 12 ÷ 13 r 3æ 5 - 4 3 - 12 ö r 2 « r 3ç ÷ 13 ÷ ç ÷ 25 ç ® ç 0 13 - 1 79 ÷ ® ç 0 13 - 1 79 ÷ ® ç 0 13 - 1 79 ÷ 25 25 ÷ ç &

11、#231;0 -1 2 - 8 ÷ ç 1 -1 ÷ - ÷ è0 0 ç0 0 è ø ø 13 13 ø è x + 79 4 x - 3 x3 - 12 4 ´ 6 - 3 ´ (-1 - 12 所以： x3 = -1 ， x 2 = 3 = 6 , x1 = 2 = = 3. 13 5 5 æ 2 3 5 5ö æ 3 4 7 6 ö - 2 r1+ r 2æ 3 ç ç ÷ r

12、1« r 2ç ÷ 3 （2） ç 3 4 7 6 ÷ ® ç 2 3 5 5 ÷ ® ç 0 ç ç1 3 3 5÷ ç1 3 3 5÷ ç1 è ø è ø è æ ç3 ® ç0 ç ç0 è 1 - r 2 + r 3æ 3 ç 5 ® ç0 ç0 è

13、 1 - r1+ r 3 3 4 1 3 3 7 6ö æ 3 4 7 6ö ÷ 1 ÷ 3r 2ç 1 ÷ ®ç 0 1 1 3 ÷ 3 ÷ ç ÷ 3 5÷ ø è1 3 3 5ø 所以： 4 7 6ö ÷ 5 2 9÷ 0 1 2÷ ø - 2 x3 + 9 - 4 x 2 - 7 x3 + 6 - 4 ´ 1 - 7 ´ 2 + 6 x3 = 2 ，

14、 x 2 = = 1 , x1 = = = -4 . 5 3 5 ö 4 7 6÷ æ 3 4 3r 3ç 1 1 3 ÷ ®ç 0 1 5 2 ÷ ç 3÷ 0 5 3 3 ø è 4 7 6 ö 5 r 3æ 3 ÷3 ç 5 2 9 ÷ ®ç 0 ç 0 3 5 6 5÷ ø è0 æ 3 4 7 6ö 7 6ö ÷ r

15、2« r 3ç ÷ 1 3÷ ® ç 0 5 2 9÷ ç 0 1 1 3÷ 2 9÷ ø è ø 2、 （p.199，題 9）計(jì)算下列三階坡度陣的條件數(shù)： é ê1 ê1 （1） ê ê2 ê1 ê ë3 1 2 1 3 1 4 1ù 3ú 1ú ú。 4ú 1ú 5ú û 1 2 1 3 1 4 1

16、49; 3ú 1ú ú ，先求 A-1。 4ú 1ú 5ú û 1 - 1 2 ù 0 0ú ú 1 0ú ú 0 1ú ú û é ê1 ê1 【解】令： A = ê ê2 ê1 ê ë3 é ê1 ê1 ê ê2 ê1 ê ë3 1 2 1 3 1 4 1 3 1 4 1 5 1 1

17、ù é 1 0 0ú ê1 2 1 3 ú - 2 r1+ r 2 ê 1 1 0 1 0ú ® ê 0 12 12 ú ê 1 1 1 ú ê 0 0 1ú ê û ë3 4 5 0 é ê1 12 r 2 ® ê0 ê1 ê ê ë3 1 2 1 1 4 1 1 ù é 1 0 0ú - 1 r1+ r 2 

18、34;1 3 2 3 1 - 6 12 0ú ® ê0 1 ú ê 1 1 ê0 0 0 1ú 5 ú ê û ë 12 1 3 1 4 45 ù 0ú - 6 12 0ú ú 1 - 0 1ú 3 ú û 1 0 - 1 r 2+ r 3 12 é ê1 ® ê0 ê ê0 ê ë 1 2 1 0 1 2 1 0 1 3 1 1 180 ù é 0ú ê1 180 r 3 - 6 12 0ú ® ê0 ú ê 1 ê0 - 1 1ú 6 ú ê û ë 1 0 1 2 1 0 1 ù 1 0 0 ú 3 1 - 6 12 0 ú ú 1 30 - 180 180ú ú û 1 ù 0 -9 60 - 60 ú 2 1 0 -