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文檔簡(jiǎn)介
1、判斷充分與必要條件的方法判斷充分與必要條件的方法一、定義法 可以簡(jiǎn)單的記為箭頭所指為必要,箭尾所指為充分 . 在解答 此類題目時(shí),利用定義直接推導(dǎo),一定要抓住命題的條件和 結(jié)論的四種關(guān)系的定義 .例 1 已知 p:-2分析 條件 p 確定了 m, n 的范圍,結(jié)論 q 則明確了方程的根 的特點(diǎn),且 m, n 作為系數(shù),因此理應(yīng)聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān) 系,然后再進(jìn)一步化簡(jiǎn) .解 設(shè)x1 , x2是方程x2+mx+n=0的兩個(gè)小于1的正根,即0而對(duì)于滿足條件p的m=-1, n=,方程x2-x+=0并無(wú)實(shí)根,所 以 pq.綜上,可知 p 是 q 的必要但不充分條件 . 點(diǎn)評(píng) 解決條件判斷問(wèn)題時(shí),務(wù)必分清
2、誰(shuí)是條件,誰(shuí)是結(jié)論, 然后既要嘗試由條件能否推出結(jié)論,也要嘗試由結(jié)論能否推 出條件,這樣才能明確做出充分性與必要性的判斷 .二、集合法如果將命題p,q分別看作兩個(gè)集合 A與B,用集合意識(shí)解釋 條件,則有:若A?哿B,則x A是x B的充分條件,xB 是x A的必要條件;若A?芴B,則xA是xB的充分不 必要條件,x B是X A的必要不充分條件;若A=B則x A 和xB互為充要條件;若 A?芫B且A?蕓B,貝U xA和xB 互為既不充分也不必要條件 .例 2 設(shè) x,y R 則 x2+y22 是|x|+|y| W的條件,是|x|+|y|2 的條件 .A. 充要條件 B. 既非充分也非必要條件C.
3、 必要不充分條件 ?搖 D. 充分不必要條件解 如右圖所示, 平面區(qū)域 P=(x , y)|x2+y22 表示圓內(nèi)部分(不含邊界);平面區(qū)域Q=(x , y)|x|+|y|表示小正方形內(nèi)部分 (含邊界 ); 平面區(qū)域 M=(x, y)|x|+|y|2 表示大正方 形內(nèi)部分 ( 不含邊界 ).由于(,0)?埸P,但(,0) Q貝U P?蕓Q.又P?芫 Q,于是 x2+y22是|x|+|y| w的既非充分也非必要條件,故選B.同理P?芴M 于是x2+y22是|x|+|y|2的充分不必要條件,故選 D.點(diǎn)評(píng) 由數(shù)想形,以形輔數(shù),這種解法正是數(shù)形結(jié)合思想在 解題中的有力體現(xiàn) . 數(shù)形結(jié)合不僅能夠拓寬我
4、們的解題思 路,而且也能夠提高我們的解題能力 .三、逆否法 利用互為逆否命題的等價(jià)關(guān)系,應(yīng)用“正難則反”的數(shù)學(xué)思 想,將判斷“ P?圯q”轉(zhuǎn)化為判斷“非q?圯非p”的真假.例3判斷p: xr 且y2是q: x+y5的什么條件;(2)判斷p:x3或y2是q:x+y工5的什么條件.解 (1) 原命題等價(jià)于判斷非 q: x+y=5 是非 p: x=3 或 y=2 的 什么條件 .顯然非p非q,非q非P,故p是q的既不充分也不必要條 件.(2) 原命題等價(jià)于判斷非 q: x+y=5 是非 p: x=3 且 y=2 的什 么條件 .因?yàn)榉莗?圯非q,但非q非p,故p是q的必要不充分條件.點(diǎn)評(píng) 當(dāng)命題含有
5、否定詞時(shí),可考慮通過(guò)逆否命題等價(jià)轉(zhuǎn)化 判斷 .四、篩選法用特殊值、 舉反例進(jìn)行驗(yàn)證, 做出判斷, 從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程 . 這種方法尤其適合于解選擇題 .例 4 方程 ax2+2x+1=0 至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是A. 0解 利用特殊值驗(yàn)證:當(dāng) a=0 時(shí), x=- ,排除 A, D; 當(dāng) a=1 時(shí), x=-1,排除B.因此選C.點(diǎn)評(píng) 作為選擇題,利用篩選法避免了復(fù)雜的邏輯推理過(guò)程, 使解題方法更加優(yōu)化,節(jié)省了時(shí)間,提高了解題的速度,因 此同學(xué)們應(yīng)該注意解題方法的選擇使用 .五、傳遞法充分條件與必要條件具有傳遞性,即由P1?圯P2, P2?圯P3,,Pn-1?圮Pn,可得P1?圯Pn .同樣
6、,充要條件也有 傳遞性 . 對(duì)于比較復(fù)雜的具有一定連鎖關(guān)系的條件,兩個(gè)條 件間關(guān)系的判斷也可用傳遞法來(lái)加以處理 .例 5 已知 p 是 r 的充分不必要條件, s 是 r 的必要條件, q 是 s 的必要條件,那么 p 是 q 的A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件解 由題意可得p?圮r,r?圮s,s?圮q,那么可得p?圮r? 土圯s?土圯q,即p是q的充分不必要條件,故選A.點(diǎn)評(píng) 對(duì)于兩個(gè)以上的較復(fù)雜的連鎖式條件,利用傳遞性結(jié) 合符號(hào)“ ?圯”與“”,畫出它們之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行判 斷,可以直觀快捷地處理問(wèn)題, 使問(wèn)題得以簡(jiǎn)單化 .1. 求三個(gè)方程 x2+4ax-4a+3=0 , x2+(a-1)x+a2=0 , x2+2ax-
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