二次根式講義

1、二次根式講義知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念和性質(zhì)1 定義： 形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，把握的重點(diǎn)：（ 1）二次根式是形式上定義的，必須含有二次根號(hào)。（2）被開方數(shù)a 必須是非負(fù)數(shù)，即a 0（ 3）的根指數(shù)是2，一般省略根指數(shù)2，寫作，這一點(diǎn)一定要切實(shí)注意，不可誤認(rèn)為根指數(shù)為“ 1”，“ 0”。2.性質(zhì)1、兩個(gè)非負(fù)性：（1）根號(hào)下的 a 必須是非負(fù)數(shù)，表示為a 0；（ 2）a （ a 0）本身是一個(gè)非負(fù)數(shù)表示為a 02、 a（ a 0）的平方根是±a ， a（ a0）的算術(shù)平方根是a3、 a2a (a 0) a =-

2、a (a0)要特別 注意 ：不能直接將根號(hào)、平方一起去掉，應(yīng)該有絕對(duì)值號(hào)，然后再計(jì)算絕對(duì)值。計(jì)算絕對(duì)值的時(shí)候，要注意絕對(duì)值內(nèi)代數(shù)式的正負(fù)性，絕對(duì)值內(nèi)是 一個(gè)整體4、 (a )2 a（ a 0）注意：與的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個(gè) 正數(shù) a 的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè) 實(shí)數(shù) a 的平方的算術(shù)平方根；在中，而中 a 可以是正實(shí)數(shù)， 0，負(fù)實(shí)數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，而2、相同點(diǎn)： 當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無意義， 而.知識(shí)點(diǎn)二：二次根式的乘除運(yùn)算1 乘法公式 1：a ·b ab（ a 0，b0）即二次根式相乘， 把被開方

3、數(shù)相乘， 根指數(shù)不變。注意（ 1）在進(jìn)行二次根式乘法運(yùn)算中，一定不要忽略被開方數(shù)a， b 均為非負(fù)數(shù)。（ 2）此法則可以推廣到多個(gè)二次根式相乘的運(yùn)算。（ 3）若含有系數(shù)的二次根式相乘， 可類比單項(xiàng)式的乘法法則， 將它分為系數(shù)和根式兩部分的運(yùn)算，然后相乘。公式 2：ab =a · b （ a 0， b 0）要注意式子成立的條件限制。2 除法aa公式 1：b = b （ a 0， b>0）即兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變。注意（ 1）除法運(yùn)算的結(jié)果也要進(jìn)行化簡(2) 在運(yùn)算過程中要注意條件（ a0， b>0）（ 3）若含有系數(shù)的二次根式相除， 可類比單項(xiàng)式的除法

4、法則， 將它分為系數(shù)和根式兩部分分別運(yùn)算，然后想乘。aa公式 2：b = b （ a 0， b>0）3 最簡二次根式（1）應(yīng)滿足的條件：（ 1）被開方數(shù) 不含 分母或分母中不含二次根式；（ 2）被開方數(shù)中 不含開得盡方的因數(shù)或因式最簡二次根式定義中第（1）條說明被開方數(shù)不含有分母；分母是1 的例外。第（ 2）條說明被開方數(shù)中每個(gè)因式的指數(shù)小于2；特別注意被開方數(shù)應(yīng)化為因式連乘積的形式。）（ 2）化簡最簡二次根式的方法：(1) 把被開方數(shù) (或根號(hào)下的代數(shù)式 )化成積的形式，即分解因式；(2) 化去根號(hào)內(nèi)的分母（或分母中的根號(hào)） ，即分母有理化；(3) 將根號(hào)內(nèi)能開得盡方的因數(shù) (或因式

5、)開出來（此步需要特別注意的是：開到根號(hào)外的時(shí)候要帶絕對(duì)值，注意符號(hào)問題）知識(shí)點(diǎn)三：二次根式的加減運(yùn)算1 同類二次根式定義幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式以后， 如果被開方數(shù)相同， 這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式2 二次根式加減法的法則先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變3 二次根式的有理化（即去根號(hào)）一般常見的互為有理化因式有如下幾類：與；與；與；與說明：利用有理化因式的特點(diǎn)可以將分母有理化知識(shí)點(diǎn)四：二次根式比較大小1 移動(dòng)因式法此法好學(xué)，適用。就是將根號(hào)外的正因式移入根號(hào)內(nèi)，從而轉(zhuǎn)化為比較被開方數(shù)的大小如：比較的大小。2 運(yùn)用平方法兩邊同

6、時(shí)平方 , 轉(zhuǎn)化為比較冪的大小。此法的依據(jù)是：兩個(gè)正數(shù)的平方是正數(shù)，平方大的數(shù)就大；兩個(gè)負(fù)數(shù)的平方也是正數(shù)，平方大的數(shù)反而小如：比較與的大小。3. 分母有理化法此法是先將各自的分母有理化，再進(jìn)行比較如：比較與的大小。4 分子有理化法此法是先將各自的分子有理化，再比較大小。如：比較與的大小5 求差或求商法6 求倒數(shù)法先求兩數(shù)的倒數(shù)，而后再進(jìn)行比較。例 5：比較的大小?！倦S堂演練】知識(shí)點(diǎn)一例 1 x 是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，式子5x -10在實(shí)數(shù)范圍有意義？例 2 當(dāng)字母取何值時(shí)，下列各式為二次根式：（1）(2)(3)(4)例 3 下列各式是二次根式，求式子中的字母所滿足的條件：（1）；（2）；（3）；（4）知識(shí)點(diǎn)二例1 計(jì)算（1）；（ 2）；（ 3）； (4)；例 2 下列各根式是否為最簡二次根式，不是最簡二次根式的說明原因：例 3 把下列各式化成最簡二次根式：知識(shí)點(diǎn)三例 1 加減計(jì)算（1）（ 2）212118 42例 2 有理化：（1）；（ 2）；綜合1 若 3m1 有意義，則m 能取的最小整數(shù)值是（）A m=0B m=1C m=2D m=32 小明的作業(yè)本上有以下四題：