數(shù)值分析部分答案

1、第一章 緒論1設(shè),的相對誤差為，求的誤差。解：近似值的相對誤差為而的誤差為進(jìn)而有2設(shè)的相對誤差為2%，求的相對誤差。解：設(shè)，則函數(shù)的條件數(shù)為又, 又且為23下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，即誤差限不超過最后一位的半個單位，試指出它們是幾位有效數(shù)字：, , ,解：是五位有效數(shù)字；是二位有效數(shù)字；是四位有效數(shù)字；是五位有效數(shù)字；是二位有效數(shù)字。4利用公式(2.3)求下列各近似值的誤差限：(1) ,(2) ,(3) .其中均為第3題所給的數(shù)。解：5計(jì)算球體積要使相對誤差限為1，問度量半徑R時允許的相對誤差限是多少？解：球體體積為則何種函數(shù)的條件數(shù)為又故度量半徑R時允許的相對誤差限為6設(shè)，按遞推

2、公式 （n=1,2,）計(jì)算到。若?。?位有效數(shù)字），試問計(jì)算將有多大誤差？解： 依次代入后，有即，若取, 的誤差限為。7求方程的兩個根，使它至少具有4位有效數(shù)字（）。解：，故方程的根應(yīng)為故 具有5位有效數(shù)字具有5位有效數(shù)字8當(dāng)N充分大時，怎樣求？解 設(shè)。則9正方形的邊長大約為了100cm，應(yīng)怎樣測量才能使其面積誤差不超過？解：正方形的面積函數(shù)為.當(dāng)時，若,則故測量中邊長誤差限不超過0.005cm時，才能使其面積誤差不超過10設(shè)，假定g是準(zhǔn)確的，而對t的測量有秒的誤差，證明當(dāng)t增加時S的絕對誤差增加，而相對誤差卻減少。解： 當(dāng)增加時，的絕對誤差增加當(dāng)增加時，保持不變，則的相對誤差減少。11序列滿

3、足遞推關(guān)系 (n=1,2,),若（三位有效數(shù)字），計(jì)算到時誤差有多大？這個計(jì)算過程穩(wěn)定嗎？解：又 又 計(jì)算到時誤差為，這個計(jì)算過程不穩(wěn)定。12計(jì)算，取，利用下列等式計(jì)算，哪一個得到的結(jié)果最好？, , ， 。解：設(shè)，若，則。若通過計(jì)算y值，則若通過計(jì)算y值，則若通過計(jì)算y值，則通過計(jì)算后得到的結(jié)果最好。13,求的值。若開平方用6位函數(shù)表，問求對數(shù)時誤差有多大？若改用另一等價公式。計(jì)算，求對數(shù)時誤差有多大？解, 設(shè)則故若改用等價公式則此時，第二章 插值法2給出的數(shù)值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用線

4、性插值及二次插值計(jì)算的近似值。解：由表格知，若采用線性插值法計(jì)算即，則 若采用二次插值法計(jì)算時， 5設(shè)且求證：解：令，以此為插值節(jié)點(diǎn)，則線性插值多項(xiàng)式為 =插值余項(xiàng)為8求及。解：若則16求一個次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式P（x），使它滿足解：利用埃米爾特插值可得到次數(shù)不高于4的多項(xiàng)式設(shè)其中，A為待定常數(shù)從而第三章 函數(shù)逼近與曲線擬合1 ，給出上的伯恩斯坦多項(xiàng)式及。解：伯恩斯坦多項(xiàng)式為其中當(dāng)時，當(dāng)時，2 當(dāng)時，求證證明：若，則 3證明函數(shù)線性無關(guān)證明：若分別取，對上式兩端在上作帶權(quán)的內(nèi)積，得此方程組的系數(shù)矩陣為希爾伯特矩陣，對稱正定非奇異，只有零解a=0。函數(shù)線性無關(guān)。4。計(jì)算下列函數(shù)關(guān)于的與：m與n

5、為正整數(shù)，解：若，則在內(nèi)單調(diào)遞增若，則若m與n為正整數(shù)當(dāng)時,當(dāng)時,在內(nèi)單調(diào)遞減當(dāng)時,在內(nèi)單調(diào)遞減。若當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減。8。對權(quán)函數(shù)，區(qū)間，試求首項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式解：若，則區(qū)間上內(nèi)積為定義，則其中14。求函數(shù)在指定區(qū)間上對于的最佳逼近多項(xiàng)式：解：若且，則有則法方程組為從而解得故關(guān)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式為若且，則有則法方程組為從而解得故關(guān)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式為若且，則有則法方程組為從而解得故關(guān)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式為若且則有則法方程組為從而解得故關(guān)于最佳平方逼近多項(xiàng)式為16。觀測物體的直線運(yùn)動，得出以下數(shù)據(jù)：時間t(s)00.91.93.03.95.0距離s(m)010305080110

6、求運(yùn)動方程。解：被觀測物體的運(yùn)動距離與運(yùn)動時間大體為線性函數(shù)關(guān)系，從而選擇線性方程令則則法方程組為從而解得故物體運(yùn)動方程為17。已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：192531384419.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如的經(jīng)驗(yàn)公式，并計(jì)算均方誤差。解：若，則則則法方程組為從而解得故均方誤差為18。在某化學(xué)反應(yīng)中，由實(shí)驗(yàn)得分解物濃度與時間關(guān)系如下：時間0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55濃度0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64用最小二乘法求。解：觀察所給數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，采用方程兩邊同時取對數(shù)

7、，則取則則法方程組為從而解得因此第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分1.確定下列求積公式中的特定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度：解：求解求積公式的代數(shù)精度時，應(yīng)根據(jù)代數(shù)精度的定義，即求積公式對于次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確地成立，但對于m+1次多項(xiàng)式就不準(zhǔn)確成立，進(jìn)行驗(yàn)證性求解。（1）若令，則令，則令，則從而解得令，則故成立。令，則故此時，故具有3次代數(shù)精度。（2）若令，則令，則令，則從而解得令，則故成立。令，則故此時，因此，具有3次代數(shù)精度。（3）若令，則令，則令，則從而解得或令，則故不成立。因此，原求積公式具有2次代數(shù)精度。（4）若令，則令，則令，則故有令，則令，

8、則故此時，因此，具有3次代數(shù)精度。2.分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分：解：復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為6。若用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分，問區(qū)間應(yīng)人多少等分才能使截?cái)嗾`差不超過？若改用復(fù)化辛普森公式，要達(dá)到同樣精度區(qū)間應(yīng)分多少等分？解：采用復(fù)化梯形公式時，余項(xiàng)為又故若，則當(dāng)對區(qū)間進(jìn)行等分時，故有因此，將區(qū)間213等分時可以滿足誤差要求采用復(fù)化辛普森公式時，余項(xiàng)為又若，則當(dāng)對區(qū)間進(jìn)行等分時故有因此，將區(qū)間8等分時可以滿足誤差要求。8。用龍貝格求積方法計(jì)算下列積分，使誤差不超過.解：00.77174331

9、0.72806990.713512120.71698280.71328700.713272030.71420020.71327260.71327170.7132717因此03.45131318.628283-4.446923因此014.2302495111.171369910.1517434210.443796910.201272510.2045744310.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.2075922

10、10.207592210.207592210.2075922因此12。用下列方法計(jì)算積分，并比較結(jié)果。(1)龍貝格方法；(2)三點(diǎn)及五點(diǎn)高斯公式；(3)將積分區(qū)間分為四等分，用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式。解(1)采用龍貝格方法可得k01.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.09925931.1032111.0987261.0986411.09861341.0997681.0986201.0986131.0986131.098613故有(2)采用高斯公式時此時令則利用三點(diǎn)高斯公式，則利用五點(diǎn)高斯公式，則(3)采用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式將區(qū)間四等分，得作變換，則作變換，則作變換，則作變換，則因此，有第5章：解線性方程組的直接方法1 證明：由消元公式及A的對稱性得 故對稱5. 解 (1)設(shè)U為上三角陣 =因=，故=.因 +=,故 =,i=n-1,n-2,1當(dāng)U為下三角陣時 = 得,=, =,i=2,3,n.9解 設(shè) =由矩陣乘法得 =2， ， ， 由 得 ，由 得 故=2.555 555 6，=0.777 777 8，=1.111 111 110 解 A中=0，故不能分解。但det(A)=-100,故若將A中第一行與第三行交換，則可以分解，且分解唯一。 B中，=0，但它仍可以分解為 B=其