導數(shù)中的端點效應問題

1、導數(shù)中的端點效應”問題導數(shù)中的“端點效應”問題不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的題目一般形式是：當x_x)時，不等式 g(x) =f(x, a) _0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。一般解法主要有兩種：一是直接求函數(shù)g(x) = f(x,a)的最值；二是把參數(shù)a分離出來， 得到a _ h(x)或a乞h(x)的形式，然后再求函數(shù) h(x)的最值?？v觀近幾年的高考試題，利用導數(shù)求不等式中某一參數(shù)的試題可以考慮使用“端點效應”，即對某個端點進行驗證?；驹恚涸O函數(shù) ()含參數(shù)，且-xA， ( ) > 0恒成立的 的取值范圍為 。若Xo A，由(0)> 0 ? C，(此時 ？.)且當C時，()&

2、gt; 0恒成立，則 =.說明：1此時 ？ ”是因為？ , () > 0恒成立的取值范圍是由取集合中每一個值使()成立的 的所有取值范圍的交集確定2設函數(shù)()含參數(shù)，且A , ( ) > 0恒成立的 的取值范圍為 ，貝U x A , 使得()W0成立的 的取值范圍為 CuB ;所以特稱命題轉(zhuǎn)化為全稱命題后，也可以考慮用 特殊點效應(一) 端點效應 給定原始區(qū)間的端點效應1例1已知9 - log <在(0,上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 2粵案=lg,l).一J利用臨間(闿右端點2 1_解帕 Itl9i-loga< 2. ogc2< -1 =(a > 1a &l

3、t;1*則-2 < -)2 >-此時易知原命題成立。例2已知函數(shù)f(x)=In x(1 )討論函數(shù)()的單調(diào)性；2 1(2)若存在e,e2，使得f(x)-mxm弐0成立，求實數(shù)的取值范圍25 / 5解：略 乞求VxE|,e2b立前宴總m的蚩值范詞；因為¥賽 *". f(x > Mt(x 1 +立，所以r(，一>m(護-1.> m(eJ- 1 得m ?而恤 < int. m(x-l) +1) + = x.利用云同盛護2端貞=則只簫m明總王辛工匕畛工賽去)*即alffllti j < 2(e < x < *7)+顯梆這滄不誓

4、氏Cfilt因此”at ZL /(jr)-mjt-7 + m> OtU成立的實數(shù)m的取值范朗片m < 從血，育在陸電工,使用/X*) - JftJt舟*m蘭0成並的或:Jftnt的取值范團為mA老Ws通過轉(zhuǎn)化為主稱命匱村*用端點效應，輕松解決問JK:但如屢亶按去求解*由于牽髏對暮敗的分類討論.恐干導歸決問題 機連的你*不妨試一試根據(jù)以上分析可知，若不等式g(x)二f (x, a) _ 0具有如下特點：驗證端點x = x0時， 發(fā)現(xiàn)有g(Xo) = f(Xo,a) = 0成立，也就是不等式中等號成立的條件恰好是已知區(qū)間的一個 端點，那么，不等式g(x)二f(x, a)_0成立就化為不

5、等式g(x)_g(xJ成立，假設函數(shù)g(x)在xo, ：)上是單調(diào)增函數(shù)，就可以確定實數(shù)a的一個恰發(fā)的范圍，使g'(x)_0成立, 即找到一個使不等式 g(x) = f(x,a)亠0成立的充分條件。接下來還需要證明，不在這個范 圍內(nèi)的實數(shù)a，不能夠滿足條件g(x) = f (x, a) _ 0。這時只需要找到一個以x0為端點的區(qū)間(x°,Xi)，當x (xnxj時，g'(x)： 0,從而g(x)在 化必)上是減 函數(shù)，因 此有 g(x) ： g(x°) = 0成立，這與g(x)二f(x,a) 一0矛盾，而區(qū)間(x。，/)的得到只需要通過解 不等式 g 

6、9;(x) :：: 0。1已知函數(shù)f(x) =x3 ax2 bx c在區(qū)間 -1,0上單調(diào)遞減，則a2 b2的取值范圍是12函數(shù)f (x) =-X3-mx23m2x十1在區(qū)間(1,2 )上單調(diào)遞增，貝U實數(shù)m的取值范圍是 .33已知函數(shù)f (x) =x3-3(a-1)x2-6ax，當a 0時，若函數(shù)f(x)在區(qū)間1-1,2】上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍4.【2008江蘇】設函數(shù)f(X)二ax3 -3x V，若對于X-1,1總有f(x) 一0恒成立，則a例3已知函數(shù)f(x)二一 e®。1 -x(1 )設a 0,討論y二f (x)的單調(diào)性；(2)若對任意(0,1)恒有f (x) .1，求

7、a的取值范圍。例 4.設函數(shù) f (x) =ex _1 _x _ax2。(1 )若a = 0時，求f (x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若當x _0時，f (x) _0,求a的取值范圍。函數(shù)在端點處的取值有以下三種情形:(1)f(x)在區(qū)間a,b 1的端點a和b處均有定義且f( a)式 0,(b"0；(2) f(x)在區(qū)間a,b的端點a或b處無定義或區(qū)間是無限區(qū)間a, ： , -：,b ；(3) f (x)在區(qū)間a,b的端點a或b處有f (a) =0或f (b) =0。(二) 端點處的取值有意義且不為0例5.【2008天津】設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當 x 0時，f(x)=x2，若對任

8、意的x t,t 2 1，不等式f(x，t)_2f(x)恒成立，則t的取值范圍是()A. 2,云|B. 2,C. 0,2 1D. 1- 21- 2,-:例6若f (x) =ax2-(3a)x+2a >0在0,1】上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 【變式1】【2013全國卷】已知函數(shù)f (x x3 3ax2 3x 1，當2,Eq 時，f(x)_0,求a的取值范圍?！咀兪?】【2012江西】已知函數(shù)f (x)ax2-(a 1)x lkx在011上單調(diào)遞減，求a的取值范圍。3【變式 3】【2010天津】已知函數(shù)f (xax-x21,a 0，若在區(qū)間：2'2上f(x) 0恒成立，求a的取值范

9、圍。例7.設函數(shù)f (x) =1-。x(1 )證明：當X -1時，f(X)；x+1(2)設當X _0時，f(X)，求a的取值范圍。 ax +1(二)端點處的取值沒有意義且趨于無窮f(x)=lnx的定義域是 0, ：,且當x趨于o時,f(x) =ln x趨于負無窮，當x趨于-:時，f(x) =lnx趨于正無窮，為了后面方便表述，記f(0) = -：,f( ：) = ：。然后不管函數(shù)f (x)在區(qū)間的端點a處有沒有意義，也不管a是否為無窮，我們均記f(a)為當x趨于a時f (x)的值。這樣的記法為了后面的敘述。1例8.【2012新課標】當0 ： x乞1時，4x < log a x，則a的取值范圍是() 2,1A.B.C.1, 一2D. 2,2例9.【2009江西】已知函數(shù)f (x) =2mx2-2(4-m)x 1,g(x)二mx，若對于任一實數(shù)f (x)與g(x)的值至少有一個為正，則m的取值范圍是【變式1】不等式loga(x2 -2x 3) 一 -1(x 一2)恒成立，則實數(shù) a的取值范圍是()A.B.1,1_3C. 1,3D.3,(三) 變形后驗證端點例10.已知函數(shù)f(xa+-，曲