梁的彎曲應力

1、第8章 梁的彎曲應力梁在荷載作用下，橫截面上一般都有彎矩和剪力，相應地在梁的橫截面上有正應力和剪應力。彎矩是垂直于橫截面的分布內(nèi)力的合力偶矩；而剪力是切于橫截面的分布內(nèi)力的合力。所以，彎矩只與橫截面上的正應力相關，而剪力只與剪應力相關。本章研究正應力和剪應力的分布規(guī)律，從而對平面彎曲梁的強度進行計算。并簡要介紹一點的應力狀態(tài)和強度理論。8.1 梁的彎曲正應力平面彎曲情況下，一般梁橫截面上既有彎矩又有剪力，如圖8.1所示梁的AC、DB段。而在CD段內(nèi)，梁橫截面上剪力等于零，而只有彎矩，這種情況稱為純彎曲。下面推導梁純彎曲時橫截面上的正應力公式。應綜合考慮變形幾何關系、物理關系和靜力學關系等三個方

2、面。8.1.1 彎曲正應力一般公式1、變形幾何關系為研究梁彎曲時的變形規(guī)律，可通過試驗，觀察彎曲變形的現(xiàn)象。取一具有對稱截面的矩形截面梁，在其中段的側(cè)面上，畫兩條垂直于梁軸線的橫線mm和nn，再在兩橫線間靠近上、下邊緣處畫兩條縱線ab和cd，如圖8.2(a)所示。然后按圖8.1(a)所示施加荷載，使梁的中段處于純彎曲狀態(tài)。從試驗中可以觀察到圖8 .2(b)情況：（1）梁表面的橫線仍為直線，仍與縱線正交，只是橫線間作相對轉(zhuǎn)動。（2）縱線變?yōu)榍€，而且靠近梁頂面的縱線縮短，靠近梁底面的縱線伸長。（3）在縱線伸長區(qū)，梁的寬度減小，而在縱線縮短區(qū)，梁的寬度則增加，情況與軸向拉、壓時的變形相似。根據(jù)上述

3、現(xiàn)象，對梁內(nèi)變形與受力作如下假設：變形后，橫截面仍保持平面，且仍與縱線正交；同時，梁內(nèi)各縱向纖維僅承受軸向拉應力或壓應力。前者稱為彎曲平面假設；后者稱為單向受力假設。根據(jù)平面假設，橫截面上各點處均無剪切變形，因此，純彎時梁的橫截面上不存在剪應力。根據(jù)平面假設，梁彎曲時部分纖維伸長，部分纖維縮短，由伸長區(qū)到縮短區(qū)，其間必存在一長度不變的過渡層，稱為中性層，如圖8.2(c)所示。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。對于具有對稱截面的梁，在平面彎曲的情況下，由于荷載及梁的變形都對稱于縱向?qū)ΨQ面，因而中性軸必與截面的對稱軸垂直。綜上所述，純彎曲時梁的所有橫截面保持平面，仍與變彎后的梁軸正交，并繞中性軸作相

4、對轉(zhuǎn)動，而所有縱向纖維則均處于單向受力狀態(tài)。從梁中截取一微段dx，取梁橫截面的對稱軸為y軸，且向下為正，如圖8.3 (b)所示，以中性軸為y軸，但中性軸的確切位置尚待確定。根據(jù)平面假設，變形前相距為dx的兩個橫截面，變形后各自繞中性軸相對旋轉(zhuǎn)了一個角度d，并仍保持為平面。中性層的曲率半徑為，因中性層在梁彎曲后的長度不變，所以又坐標為y的縱向纖維ab變形前的長度為變形后為故其縱向線應變?yōu)?（a）可見，縱向纖維的線應變與纖維的坐標y成正比。2、物理關系因為縱向纖維之間無正應力，每一纖維都處于單向受力狀態(tài)，當應力小于比例極限時，由胡克定律知將(a)式代入上式，得 (b)這就是橫截面上正應力變化規(guī)律的

5、表達式。由此可知，橫截面上任一點處的正應力與該點到中性軸的距離成正比，而在距中性軸為y的同一橫線上各點處的正應力均相等，這一變化規(guī)律可由圖8.4來表示。3、靜力學關系以上已得到正應力的分布規(guī)律，但由于中性軸的位置與中性層曲率半徑的大小均尚未確定，所以仍不能確定正應力的大小。這些問題需再從靜力學關系來解決。如圖8.5所示，橫截面上各點處的法向微內(nèi)力dA組成一空間平行力系，而且由于橫截面上沒有軸力，僅存在位于x-y平面的彎矩M，因此， (c) (d) (e) 以式(b)代入式(c)，得 (f)上式中的積分代表截面對z軸的靜矩Sz。靜距等于零意味著z軸必須通過截面的形心。以式(b)代入式(d)，得

6、(g)式中，積分是橫截面對y和z軸的慣性積。由于y軸是截面的對稱軸，必然有Iyz=0,所示上式是自然滿足的。以式(b)代入式(e)，得 （h）式中積分 （i）是橫截面對z軸（中性軸）的慣性矩。于是，(h)式可以寫成 （8.1）此式表明，在指定的橫截面處，中性層的曲率與該截面上的彎矩M成正比，與EIz成反比。在同樣的彎矩作用下，EIZ愈大，則曲率愈小，即梁愈不易變形，故EIz稱為梁的抗彎剛度。再將式(8.1)代入式(b),于是得橫截面上y處的正應力為 （8.2）此式即為純彎曲正應力的計算公式。式中M 為橫截面上的彎矩；Iz 為截面對中性軸的慣性矩；y 為所求應力點至中性軸的距離。當彎矩為正時，梁

7、下部纖維伸長，故產(chǎn)生拉應力，上部纖維縮短而產(chǎn)生壓應力；彎矩為負時，則與上相反。在利用（8.2）式計算正應力時，可以不考慮式中彎矩M和y 的正負號，均以絕對值代入，正應力是拉應力還是壓應力可以由梁的變形來判斷。應該指出，以上公式雖然是純彎曲的情況下，以矩形梁為例建立的，但對于具有縱向?qū)ΨQ面的其他截面形式的梁，如工字形、T 字形和圓形截面梁等仍然可以使用。同時，在實際工程中大多數(shù)受橫向力作用的梁，橫截面上都存在剪力和彎矩，但對一般細長梁來說，剪力的存在對正應力分布規(guī)律的影響很小。因此，（8.2）式也適用于非純彎曲情況。8.1.2 最大彎曲正應力由式(8.2)可知，在y=ymax即橫截在由離中性軸最

8、遠的各點處，彎曲正應力最大，其值為式中，比值Iz/ymax僅與截面的形狀與尺寸有關，稱為抗彎截面系數(shù)，也叫抗彎截面模量。用Wz表示。即為 （8.3）于是，最大彎曲正應力即為 （8.4）可見，最大彎曲正應力與彎矩成正比，與抗彎截面系數(shù)成反比?？箯澖孛嫦禂?shù)綜合反映了橫截面的形狀與尺寸對彎曲正應力的影響。圖8.6中矩形截面與圓形截面的抗彎截面系數(shù)分別為 (8.5) (8.6)而空心圓截面的抗彎截面系數(shù)則為 (8.7)式中=d/D，代表內(nèi)、外徑的比值。至于各種型鋼截面的抗彎截面系數(shù)，可從型鋼規(guī)格表中查得（見附錄）。例8.1 圖8.7所示懸臂梁，自由端承受集中荷載F作用，已知：h=18cm，b=12cm

9、，y=6cm，a=2m，F(xiàn)=1.5KN。計算A截面上K 點的彎曲正應力。解 先計算截面上的彎矩截面對中性軸的慣性矩則A 截面上的彎矩為負，K 點是在中性軸的上邊，所以為拉應力。8.2 平面圖形的幾何性質(zhì)構(gòu)件在外力作用下產(chǎn)生的應力和變形，都與構(gòu)件的截面的形狀和尺寸有關。反映截面形狀和尺寸的某些性質(zhì)的一些量，如拉伸時遇到的截面面積、扭轉(zhuǎn)時遇到的極慣性矩和這一章前面遇到的慣性矩、抗彎截面系數(shù)等，統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)。為了計算彎曲應力和變形，需要知道截面的一些幾何性質(zhì)?，F(xiàn)在來討論截面的一些主要的幾何性質(zhì)。8.2.1形心和靜矩若截面形心得坐標為yC和zC（C 為截面形心），將面積得每一部分看成平行力系，

10、即看成等厚、均質(zhì)薄板的重力，根據(jù)合力矩定理可得形心坐標公式 （a）靜矩又稱面積矩。其定義如下，在圖8.8中任意截面內(nèi)取一點M（z,y）,圍繞M點取一微面積dA，微面積對z軸的靜矩為ydA，對y軸的靜矩為zdA，則整個截面對z和y軸的靜矩分別為： (b)有形心坐標公式知： (c)上式中yC和zC是截面形心C的坐標，A是截面面積。當截面形心的位置已知時可以用上式來計算截面的靜矩。從上面可知，同一截面對不同軸的靜矩不同，靜矩可以是正負或是零；靜矩的單位是長度的立方，用m3 或cm3 、mm3等表示；當坐標軸過形心時，截面對該軸的靜矩為零。當截面由幾個規(guī)則圖形組合而成時，截面對某軸的靜矩，應等于各個圖

11、形對該軸靜矩的代數(shù)和。其表達式為 (d) (e)而截面形心坐標公式也可以寫成 (f) (g)8.2.2慣性矩、慣性積和平行移軸定理在圖8.8中任意截面上選取一微面積dA，則微面積dA對z軸和y軸的慣性矩為z2dA和Y2dA。則整個面積對z軸和y軸的慣性矩分別記為Iz和Iy，而慣性積記為Izy，則定義： (h) (i)極慣性矩定義為： (j)從上面可以看出，慣性矩總是大于零，因為坐標的平方總是正數(shù)，慣性積可以是正、負和零；慣性矩、慣性積和極慣性矩的單位都是長度的四次方，用m4 或cm4 、mm4等表示。同一截面對不同的平行的軸，它們的慣性矩和慣性積是不同的。同一截面對二根平行軸的慣性矩和慣性積雖

12、然不同，但它們之間存在一定的關系。下面討論二根平行軸的慣性矩、慣性積之間的關系。圖8.9所示任意截面對任意軸對z´軸和y´軸的慣性矩、慣性積分別為Iz´、Iy´ 和Izy 。過形心C有平行于z´、y´的兩個坐標軸z和y，截面對z、y軸的慣性矩和慣性積為Iz、Iy 和Izy。對oz´y´坐標系形心坐標為C（a,b）。截面上選取微面積dA，dA的形心坐標為則按照慣性矩的定義有上式中第一項為截面對過形心坐標軸y軸的慣性矩；第三項為面積的a2倍；而第二項為截面過形心坐標軸y軸靜矩乘以2a 。根據(jù)靜矩的性質(zhì)，對過形心軸的靜矩

13、為零，所以第二項為零。這樣上式可以寫為 (k)同理可得： (l) (m)也就是說，截面對于平行于形心軸的慣性矩，等于該截面對形心軸的慣性矩再加上其面積乘以兩軸間距離的平方；而截面對于平行于過形心軸的任意兩垂直軸的慣性積，等于該面積對過形心二軸的慣性積再加上面積乘以相互平行的二軸距之積。這就是慣性矩和慣性積的平行移軸定理。例8.2 計算圖8.10 所示T 形截面的形心和過它的形心z軸的慣性矩。解 （1）確定截面形心位置選參考坐標系oz´y´，如圖8.10所示。將截面分解為上面和下面兩個矩形部分，截面形心C的縱坐標為（2）計算截面慣性矩上面矩形與下面矩形對形心軸z的慣性矩分別為

14、8.3 梁的彎曲剪應力當進行平面彎曲梁的強度計算時，一般來說，彎曲正應力是支配梁強度計算的主要因素，但在某些情況上，例如，當梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用，這時梁的最大彎矩比較小，而剪力卻很大，如果梁截面窄且高或是薄壁截面，這時剪應力可達到相當大的數(shù)值，剪應力就不能忽略了。下面介紹幾種常見截面上彎曲剪應力的分布規(guī)律和計算公式。8.3.1矩形截面梁的彎曲剪應力圖8.11(a)所示矩形截面梁，在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)承受荷載作用。設橫截面的高度為h，寬度為b，為研究彎曲剪應力的分布規(guī)律，現(xiàn)作如下假設：橫截面上各點處的剪應力的方向都平行于剪力，并沿截面寬度均勻分布。有相距dx的橫截面從梁中切取一微

15、段，如圖8.12(a)。然后，在橫截面上縱坐標為y處，再用一個縱向截面m-n，將該微段的下部切出，如圖8.12(b)。設橫截面上y處的剪應力為，則由剪應力互等定理可知，縱橫面m-n上的剪應力在數(shù)值上也等于。因此，當剪應力確定后，也隨之確定。如圖8.12(a)所示，由于存在剪力FQ，截面1-1與2-2的彎矩將不相同，分別為M和M+dM ,因此，上述兩截面的彎曲正應力也不相同。設微段下部橫截面m1與n2的面積為,在該兩截面上由彎曲正應力所構(gòu)成的軸向合力分別為N1與N2，則由微段下部的軸向平衡方程x=0可知，由此得 (a)由圖8-12(c)可知 式中，積分代表截面對z軸的靜矩，并用Sz*表示，因此有

16、 (b) (c)將式(b)和式(c)代入式(a)，于是得 （8.8）式中：Iz代表整個橫截面對中性軸矩z的慣性距；而Sz*則代表y處橫線一側(cè)的部分截面對z軸的靜距。對于矩形截面，如圖8.13所示，其值為將上式及Iz=bh3/12代入式(8.8)得 （8.9）由此可見：矩形截面梁的彎曲剪應力沿截面高度呈拋物線分布(圖8.13)；在截面的上、下邊緣()，剪應力=0；在中性軸(y=0),剪應力最大，其值為 （8.10）8.3.2 工字形截面梁的彎曲剪應力工字形截面梁由腹板和翼緣組成。其橫截面如圖8.14所示。中間狹長部分為腹板，上、下扁平部分為翼緣。梁橫截面上的剪應力主要分布于腹板上，翼緣部分的剪應

17、力情況比較復雜，數(shù)值很小，可以不予考慮。由于腹板比較狹長，因此可以假設：腹板上各點處的彎曲剪應力平行于腹板側(cè)邊，并沿腹板厚度均勻分布。腹板的剪應力平行于腹板的豎邊，且沿寬度方向均勻分布。根據(jù)上述假設，并采用前述矩形截面梁的分析方法，得腹板上y處的彎曲剪應力為：式中，Iz為整個工字形截面對中性軸z的慣性矩，Sz*為y處橫線一側(cè)的部分截面對該軸的靜矩，b為腹板的厚度。由圖8.14(a)可以看出，y處橫線以下的截面是由下翼緣部分與部分腹板的組成，該截面對中性軸z的靜矩為因此，腹板上y處的彎曲剪應力為 （8.11）由此可見：腹板上的彎曲剪應力沿腹板高度方向也是呈二次拋物線分布，如圖8.14(b)所示。

18、在中性軸處(y=0)，剪應力最大，在腹板與翼緣的交接處(y=±h/2)，剪應力最小，其值分別為或 （8.12） （8.13）從以上兩式可見，當腹板的寬度b遠小于翼緣的寬度B，max與min實際上相差不大，所以可以認為在腹板直剪應力大致是均勻分布的?？捎酶拱宓慕孛婷娣e除剪力FQ，近似地得表示腹板的剪應力，即 （8.14）在工字形截面梁的腹板與翼緣的交接處，剪應力分布比較復雜，而且存在應力集中現(xiàn)象，為了減小應力集中，宜將結(jié)合處作成圓角。8.3.3 圓形截面梁的彎曲剪應力對于圓截面梁，在矩形截面中對剪應力方向所作的假設不再適用。由剪應力互等定理可知，在截面邊緣上各點剪應力的方向必與圓周相切

19、，因此，在水平弦AB的兩個端點上的剪應力的作用線相交于y軸上的某點p，如圖8.15(a)。由于對稱，AB中點C的剪應力必定是垂直的，因而也通過p點。由此可以假設，AB弦上各點剪應力的作用線都通過p點。如再假設AB弦上各點剪應力的垂直分量y是相等的，于是對y來說，就與對矩形截面所作的假設完全相同，所以，可用公式來計算，即 （8.15）式中，b為AB弦的長度，Sz*是圖8.15(b)中陰影部分的面積對z軸的靜矩。在中性軸上，剪應力為最大值max。其值為 （8.16）式中，F(xiàn)Q/A是梁橫截面上平均剪應力。 例8.3 梁截面如圖8.16(a)所示，橫截面上剪力FQ=15KN。試計算該截面的最大彎曲剪應

20、力，以及腹板與翼緣交接處的彎曲剪應力。截面的慣性矩Iz=8.84×106m4。解（1）最大彎曲剪應力。最大彎曲剪應力發(fā)生在中性軸上。中性軸一側(cè)的部分截面對中性軸的靜矩為所以，最大彎曲剪應力為（2）腹板、翼緣交接處的彎曲剪應力。由圖8.16(b)可知，腹板、翼緣交接線一側(cè)的部發(fā)截面對中性軸z的靜矩為所以，該交接處的彎曲剪應力為8.4 梁的強度條件在一般情況下，梁內(nèi)同時存在彎曲正應力和剪應力，為了保證梁的安全工作，梁最大應力不能超出一定的限度，也即，梁必須要同時滿足正應力強度條件和剪應力強度條件。以下將據(jù)此建立梁的正應力強度條件和剪應力強度條件。8.4.1 彎曲正應力強度條件最大彎曲正應

21、力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠的各點處，而該處的剪應力一般為零或很小，因而最大彎曲正應力作用點可看成是處于單向受力狀態(tài)，所以，彎曲正應力強度條件為 （8.16）即要求梁內(nèi)的最大彎曲正應力max不超過材料在單向受力時的許用應力。對于等截面直梁，上式變?yōu)?（8.17）利用上述強度條件，可以對梁進行正應力強度校核、截面選擇和確定容許荷載。8.4.2 彎曲剪應力強度條件最大彎曲剪應力通常發(fā)生在中性軸上各點處，而該處的彎曲正應力為零，因此，最大彎曲剪應力作用點處于純剪切狀態(tài)，相應的強度條件為 （8.18）即要求梁內(nèi)的最大彎曲剪應力max不超過材料在純剪切時的許用剪應力。對于等截面直梁，上式變?yōu)?(8.19

22、)在一般細長的非薄壁截面梁中，最大彎曲正應力遠大于最大彎曲剪應力。因此，對于一般細長的非薄壁截面梁，通常強度的計算由正應力強度條件控制。因此，在選擇梁的截面時，一般都是按正應力強度條件選擇，選好截面后再按剪應力強度條件進行校核。但是，對于薄壁截面梁與彎矩較小而剪力卻較大的梁，后者如短而粗的梁、集中荷載作用在支座附近的梁等，則不僅應考慮彎曲正應力強度條件，而且彎曲剪應力強度條件也可能起控制作用。例8.4 圖8.17(a)所示外伸梁，用鑄鐵制成，橫截面為T字形，并承受均布荷載q作用。試校該梁的強度。已知荷載集度q=25N/mm，截面形心離底邊與頂邊的距離分別為y1=95mm和y2=95mm，慣性矩

23、Iz=8.84×10-6m4，許用拉應力t=35MPa，許用壓應力c=140Mpa。解（1）危險截面與危險點判斷。梁的彎矩如圖8.17(b)所示，在橫截面D與B上，分別作用有最大正彎矩與最大負彎矩，因此，該二截面均為危險截面。截面D與B的彎曲正應力分布分別如圖8.17(c)與(d)所示。截面D的a點與截面B的d點處均受壓；而截面D的b點與截面B的c點處均受拉。由于|MD|>|MB|，|ya|>|yd|,|因此|a|>|d|即梁內(nèi)的最在彎曲壓應力c,max發(fā)生在截面D的a點處。至于最大彎曲拉應力t,max, 究竟發(fā)生在b點處，還是c點處，則須經(jīng)計算后才能確定。概言之，

24、a,b,c三點處為可能最先發(fā)生破壞的部位。簡稱為危險點。（2）強度校核。由式(8.2 )得a,b,c三點處的彎曲正應力分別為由此得可見，梁的彎曲強度符合要求。例8.5 懸臂工字鋼梁AB圖8.18(a)，長l=1.2m，在自由端有一集中荷載F，工字鋼的型號為18號，已知鋼的許用應力=170Mpa，略去梁的自重，(1)試計算集中荷載F的最大許可值。(2)若集中荷載為45 kN，拭確定工字鋼的型號。解（1）梁的彎矩圖如圖818(c)所示，最大彎矩在靠近固定端處，其絕對值為Mmax=Fl=1.2F N·m由附錄中查得，18號工字鋼的抗彎截面模量為Wz=185×103mm3由公式(8

25、.16)得1.2F(185×10-6)(170×106)因此，可知F的最大許可值為103N=26.2kN(2)最大彎矩值Mmax=Fl=1.2×45×103N·m=54×103N·m按強度條件計算所需抗彎截面系數(shù)為查附錄可知，22b號工字鋼的抗彎截面模量為325cm3 ，所以可選用22b號工字鋼。例8.6 例8.5中的18號工字鋼懸臂梁，按正應力的強度計算，在自由端可承受的集中荷載F=26.2KN。已知鋼材的抗剪許用應力=100Mpa。試按剪應力校核梁的強度，繪出沿著工字鋼腹板高度的剪應力分布圖，并計算腹板所擔負的剪力FQ1

26、。解（1）按剪應力的強度校核。截面上的剪力FQ =26.2kN。由附錄查得18號工字鋼截面的幾個主要尺寸如圖8.19(a)所示，又由表查得Iz=1660×104mm4,由公式(517),得腹板上的最大剪應力可見工字鋼的剪應力強度是足夠的。（2）沿腹板高度剪應力的計算。將工字鋼截面簡化如圖8.19(b)所示，圖中h1=1802×10.7=158.6(mm)b1=d=6.5mm由公式(8.14)得腹板上最大剪應力的近似值為這個近似值與上面所得26.2Mpa比較，略偏小，誤差為3.9%。腹板上的最小剪應力在腹板與翼緣的連接處，翼緣面積對中性軸的靜矩為由公式(8.8)得腹板上的最小

27、剪應力為得出了max和min值可作出沿著腹板高度的剪應力分布圖如圖8.19(c)所示。（3）腹板所擔負剪力的計算。腹板所擔負的剪力FQ1等于圖8.19(c)所示剪力分布圖的面積A1乘以腹板厚度b1。剪力分布圖面積可以用圖8.19(c)中虛線將面積分為矩形和拋物線弓形兩部分，得由此得可見，腹板所擔歲的剪力占整個截面剪力FQ的96.6%。8.5 提高梁強度的措施前面已指出，在橫力彎曲中，控制梁強度的主要因素是梁的最大正應力，梁的正應力強度條件 為設計梁的主要依據(jù)，由這個條件可看出，對于一定長度的梁，在承受一定荷載的情況下，應設法適當?shù)匕才帕核艿牧Γ沽鹤畲蟮膹澗亟^對值降低，同時選用合理的截面形狀

28、和尺寸，使抗彎截面模量W值增大，以達到設計出的梁滿足節(jié)約材料和安全適用的要求。關于提高梁的抗彎強度問題，分別作以下幾方面討論。8.5.1 合理安排梁的受力情況在工程實際容許的情況下，提高梁強度的一重要措施是合理安排梁的支座和加荷方式。例如，圖8.20(a)所示簡以梁，承受均布載荷q作用，如果將梁兩端的鉸支座各向內(nèi)移動少許，例如移動0.2l，如圖8.20(b)，則后者的最大彎矩僅為前者的1/5。又如，圖8.21(a)所示簡支梁AB，在跨度中點承受集中荷載P作用，如果在梁的中部設置一長為1/2的輔助梁CD 如圖8.21(b)，這時，梁AB內(nèi)的最大彎矩將減小一半。上述實例說明，合理安排支座和加載方式

29、，將顯著減小梁內(nèi)的最大彎矩。8.5.2選用合理的截面形狀從彎曲強度考慮，比較合理的截面形狀，是使用較小的截面面積，卻能獲得較大抗彎截面系數(shù)的截面。截面形狀和放置位置不同Wz/A比值不同，因此，可用比值Wz/A來衡量截面的合理性和經(jīng)濟性，比值愈大，所采用的截面就愈經(jīng)濟合理?，F(xiàn)將跨中受集中力作用的簡支梁為例，其截面形狀分別為圓形、矩形和工字形三種情況作一粗略比較。設三種梁的面積、跨度和材料都相同，容許正應力為170MPa。其抗彎截面系數(shù)Wz和最大承載力比較見表8.1。表8.1 幾種常見截面形狀的Wz和最大承載力比較截面形狀尺寸Wz最大承載力圓形.矩形.工字鋼.×從表中可以看出，矩形截面比

30、圓形截面好，工字形截面比矩形截面好得多。從正應力分布規(guī)律分析，正應力沿截面高度線性分布，當離中性軸最遠各點處的正應力，達到許用應力值時，中性軸附近各點處的正應力仍很小。因此，在離中性軸較遠的位置，配置較多的材料，將提高材料的應用率。根據(jù)上述原則，對于抗拉與抗壓強度相同的塑性材料梁，宜采用對中性軸對稱的截面，如工字形截面等。而對于抗拉強度低于抗壓強度的脆性材料梁，則最好采用中性軸偏于受拉一側(cè)的截面，便如T字形和槽形截面等。8.5.3 采用變截面梁一般情況下，梁內(nèi)不同橫截面的彎矩不同。因此，在按最大彎矩所設計的等截面梁中，除最大彎矩所在截面外，其余截面的材料強度均未得到充分利用。因此，在工程實際中

31、，常根據(jù)彎矩沿梁軸線的變化情況，將梁也相應設計成變截面的。橫截面沿梁軸線變化的梁，稱為變截面梁。如圖.22（）(b)所示上下加焊蓋板的板梁和懸挑梁，就是根據(jù)各截面上彎矩的不同而采用的變截面梁。如果將變截面梁設計為使每個橫截面上最大正應力都等于材料的許用應力值，這種梁稱為等強度梁。顯然，這種梁的材料消耗最少、重量最輕，是最合理的。但實際上，由于自加工制造等因素，一般只能近似地做到等強度的要求。圖.22（）（d）所示的車輛上常用的疊板彈簧、魚腹梁就是很接近等強度要求的形式。8.6 應力狀態(tài)與強度理論8.6.1 應力狀態(tài)的概念以前有關各章中求的應力，是選過所求應力點的橫截面上的應力，這樣求得的應力實

32、際上是橫截面上的應力。但過一點可以選取無數(shù)個斜截面。顯然斜截面上也有應力，包括正應力和剪應力，其大小和方向一般與橫截面上的應力不同，有時可能首先達到危險值，使材料發(fā)生破壞。實踐也給于了證明。如混凝土梁的彎曲破壞，除了在跨中底部發(fā)生豎向裂縫外，在其它底部部位還會發(fā)生斜向裂縫。又如鑄鐵受壓破壞，裂縫是沿著與桿軸成45º角的地方向。為了對構(gòu)件進行強度計算，必須了解構(gòu)件受力后在通過它的哪一個截面和哪一點的上的應力最大。因此必須研究通過受力構(gòu)件內(nèi)任一點的各個不同截面上的應力情況，即必須研究一點的應力狀態(tài)。為了研究某點應力狀態(tài)，可圍繞該點取出一微小的正六面體單元體來研究。因單元體的邊長是無窮小的

33、量，可以認為：作用在單元體的各個方面上的應力都是均勻分布的；在任意一對平行平面上的應力是相等的、且代表著通過所研究的點并與上述平面平行的面上的應力。因此單元體三對平面上的應力就代表通過所研究的點的三個互相垂直截面上的應力，只要知道了這三個面上的應力，則其他任意截面上的應力都可通過截面法求出，這樣，該點的應力狀態(tài)就可以完全確定。因此，可用單元體的三個互相垂直平面上的應力來表示一點的應力狀態(tài)。圖8.23表示一軸向拉伸桿，若在任意A兩點處各取出一單元體，如選的單元體的一個相對面為橫截面，則在它們的三對平行平面上作用的應力都可由前面的公式算出，故可以說A點的應力狀態(tài)是完全確定的。其它點也是一樣。又如圖

34、8.24表示一受橫力彎曲的梁，若在A、B、C、D等點各取出一單元體，如單元體的一個相對面為橫截面，則在它們的三對平行平面上的應力也可有前面的公式算出，故這些點的應力狀態(tài)也是完全確定的。根據(jù)一點的應力狀態(tài)中各應力在空間的不同位置，可以將應力狀態(tài)分為空間應力狀態(tài)和平面應力狀態(tài)。全部應力位于同一平面內(nèi)時，稱為平面應力狀態(tài)；全部應力不在同一平面內(nèi)，在空間分布，稱為空間應力狀態(tài)。過某點選取的單元體，其各面上一般都有正應力和剪應力。根據(jù)彈性力學中的研究，通過受力構(gòu)件的每一點，都可以取出一個這樣的單元體，在三對相互垂直的相對面上剪應力等于零，而只有正應力。這樣的單元體稱為主單元體，這樣的單元體面稱為主平面。

35、主平面上的正應力稱為主應力。 我們通常用字母1、2和3代表分別作用在這三對主平面上的主應力，其中1代表數(shù)值最大的主應力，3代表數(shù)值最小的主應力，容易知道，在圖8.23中的點A及圖8.24中的A、C兩點處所取的單元體的各平行平面上的剪應力都等于零，這樣的單元體稱為主單元體，主平面上的正應力即為主應力。實際上，在受力構(gòu)件內(nèi)所取出的主應力單元體上，不一定在三個相對面上都存在有主應力，故應力狀態(tài)又可分下列三類：（1）單向應力狀態(tài)。在三個相對面上三個主應力中只有一個主應力不等于零。如圖8.23中點A和圖8.24中A、C兩點的應力狀態(tài)都屬于單向應力狀態(tài)。（2）雙向應力狀態(tài)（平面應力狀態(tài)）。在三個相對面上三

36、個主應力中有兩個主應力不等于零。如圖8.24所示B、D兩點的應力狀態(tài)。在平面應力狀態(tài)里，有時會遇到一種特例，此時，單元體的四個側(cè)面上只有剪應力而無正應力，這種狀態(tài)稱為純剪切應力狀態(tài)。例如，在純扭轉(zhuǎn)變形中，如選取橫截面為一個相對面的單元體就是這種情況。（3）三向應力狀態(tài)（空間應力狀態(tài)）。其三個主應力都不等于零。例如列車車輪與鋼軌接觸處附近的材料就是處在三向應力狀態(tài)下，如圖8.25所示。通常我們也將單向應力狀態(tài)稱為簡單應力狀態(tài)，而將二向應力狀態(tài)及三向應力狀態(tài)稱為復雜應力狀態(tài)。要進行構(gòu)件的強度分析，需要知道確定的應力狀態(tài)中的各個主應力和最大剪應力以及它們的方位。求解的方法就是選取一單元體，用截面法截

37、取單元體，利用靜力平衡方程求解各個方位上的應力。具體求法和相關規(guī)律可參閱相關資料。限于篇幅，這里不再贅述。8.6.2 強度理論各種材料因強度不足而引起的失效現(xiàn)象是不同的。塑料材料，如普通碳鋼，以發(fā)生屈服現(xiàn)象、出現(xiàn)塑性變形為失效的標志。脆性材料，如鑄鐵，失效現(xiàn)象是突然斷裂。在單向受力情況下，出現(xiàn)塑性變形時的屈服極限s和發(fā)生斷裂時的強度極限b，可由實驗測定。S和b可統(tǒng)稱為失效應力。失效應力除以安全因數(shù)，便得到許用應力，于是建立強度條件可見，在單向應力狀態(tài)下，失效狀態(tài)或強度條件以實驗為基礎是容易建立的。因為一方面構(gòu)件內(nèi)的應力狀態(tài)比較簡單，另一方面要用接近這類構(gòu)件受力情況的試驗裝置求失效應力值比較容易

38、實現(xiàn)。實際構(gòu)件危險點的應力狀態(tài)往往不是單向應力狀態(tài)。實現(xiàn)接近復雜應力狀態(tài)下的實驗，要比單向拉伸或壓縮困難得多，有的是很難用試驗的辦法來確定失效應力的。況且，復雜應力狀態(tài)中應力組合的方式和比值，又有各種可能。如果像單向拉伸一樣，靠實驗來確定失效狀態(tài)，建立強度條件，則必須對各種各樣的應力狀態(tài)一一進行實驗，確定失效應力，然后建立強度條件。由于技術上的困難和工作上的繁重，往往是難以實現(xiàn)的。經(jīng)過人們大量的生產(chǎn)實踐和科學試驗，人們發(fā)現(xiàn)，盡管失效現(xiàn)象比較復雜，但經(jīng)過歸納，強度不足引起的失效現(xiàn)象主要有兩種形式：一種是斷裂，包括拉斷、壓壞和剪斷；另一種是塑性流動，即構(gòu)件發(fā)生較大的塑性變形，從而影響正常使用。但是

39、，要確定哪一種材料在達到危險狀態(tài)時必定是斷裂或塑性流動，那一類構(gòu)件在達到危險狀態(tài)時必定是拉斷或是剪斷是不可能的。因為由同一種材料制成的構(gòu)件在不同的荷載作用下，或者同一類構(gòu)件所處的荷載條件相同，但材料不同，所達到的危險狀態(tài)不一定都相同，即失效的情況不一定一樣。例如，低碳鋼制成的構(gòu)件在單向應力狀態(tài)下會發(fā)生明顯的塑性流動，即材料發(fā)生屈服，但在復雜應力狀態(tài)下，有時會發(fā)生脆性斷裂，而無明顯的塑性流動。又如受扭的圓桿，若該桿由木材做成，則沿縱截面剪斷，而由鑄鐵制成時，則沿45º方向拉斷。為了解決強度問題，人們在長期的生產(chǎn)活動中，綜合分析材料的失效現(xiàn)象和資料，對強度失效提出各種假說。這些假說認為，

40、材料之所以按某種方式失效，是應力、應變或變形能等因素中某一因素引起的，可以根據(jù)材料受簡單拉伸或壓縮時達到危險狀態(tài)（失效狀態(tài)）的某一因素，作為衡量在復雜應力狀態(tài)下達到危險狀態(tài)的強度準則，由此建立起強度條件。這些假說通常稱為強度理論。利用強度理論，便可由簡單應力狀態(tài)的實驗結(jié)果，建立復雜應力狀態(tài)的強度條件。強度理論既然是推測強度失效原因的一些假說，它是否正確，適用于什么情況，必須由生產(chǎn)實踐來檢驗。經(jīng)常是適用于某種材料的強度理論，并不適用于另一種材料；在某種條件下適用的理論，卻又不適用于另一種條件。下面只介紹了工程中常用的強度理論及相應的強度條件。這些都是在常溫、靜載荷下，適用于均勻、連續(xù)、各向同性材

41、料的強度理論。當然，強度理論遠不止這幾種。而且，現(xiàn)有的各種強度理論還不能說已經(jīng)圓滿地解決所有強度問題。在這方面仍然有待探索和發(fā)展。1、最大拉應力理論（第一強度理論）：這一理論認為最大拉應力是引起斷裂的主要因素。即認為無論是什么應力狀態(tài)，只要最大拉應力達到與材料性質(zhì)有關的某一極限值，則材料就發(fā)生強度失效。這一極限值用單向應力狀態(tài)來確定。這一理論也可以表述為：材料在復雜應力狀態(tài)下達到危險狀態(tài)的標志是它的最大拉應力1達到該材料在簡單拉伸時最大拉應力的危險值。根據(jù)這一理論，其強度條件為1 （8.20）式中：1材料在復雜應力狀態(tài)下的最大拉應力。材料在簡單拉伸時的許用拉應力。鑄鐵等脆性材料在單向拉伸下，斷

42、裂發(fā)生于拉應力最大的橫截面。脆性材料的扭轉(zhuǎn)也是沿拉應力最大的斜面發(fā)生斷裂。這些都與最大拉應力理論相符。實踐證明，此理論對于某些脆性材料受拉伸而斷裂的情況比較符合，但對塑性材料受拉時就不符合。這一理論沒有考慮其他兩個應力的影響，且對沒有拉應力的應力狀態(tài)(如單向壓縮、三向壓縮等)不適用。2、最大伸長線應變理論(第二強度理論)：這一理論認為最大伸長線應變是引起斷裂的主要因素。即認為無論什么應力狀態(tài)，只要最大伸長線應變1達到與材料性質(zhì)有關的某一極限，材料即發(fā)生斷裂。1的極限值是由單向拉伸來確定。設單向拉伸直到斷裂仍可用胡克定律計算應變，則拉斷時伸長線應變的極限值為。按照這一理論，任意應力狀態(tài)下，只要1

43、達到極限值，材料就發(fā)生斷裂。故得斷裂準則為 (a)由廣義胡克定律有 （b）代入(a)式得斷裂準則 (c)于是第二強度理論的強度條件是 (8.21)式中：材料在復雜應力狀態(tài)下的三個主應力。材料在簡單拉伸時的許用拉應力，即b除以安全因數(shù)得到許用應力。這一理論理論能很好的解釋石料或混凝土等脆性材料受軸向壓縮時，沿縱向發(fā)生的斷裂破壞，因為最大拉應變發(fā)生在橫向。3、最大剪應力理論（第三強度理論）：這一理論認為最大剪應力是引起塑性屈服的主要因素，只要最大剪應力max達到與材料性質(zhì)有關的某一極限值，材料就發(fā)生屈服。即認為無論在什么應力狀態(tài)下，材料達到危險狀態(tài)的標志是它的最大剪應力達到該材料在簡單拉伸或壓縮時

44、最大剪應力的危險值。單向拉伸下，當與軸線成45。的斜截面上的max=s/2時（這時，橫截面上的正應力為s）,出現(xiàn)塑性屈服?？梢姡瑂/2就是導致屈服的最大剪應力的極限值。在任意應力狀態(tài)下： (d)于是得屈服準則 (e)即 (f)按第三強度理論建立的強度條件為 (8.22)式中：材料在復雜應力狀態(tài)下的主應力。材料在簡單拉伸時的許用拉應力。 最大剪應力理論較為滿意地解釋了塑性材料的屈服現(xiàn)象，因為一般塑性材料達到的危險狀態(tài)是塑性流動，而這正是剪應力引起的。例如，低碳鋼拉伸時，沿與軸線成45。的方向出現(xiàn)滑移線，是材料內(nèi)部這一方向滑移的痕跡。沿這一方向的斜面上剪應力也恰為最大值。在機械和鋼結(jié)構(gòu)設計中常用此

45、理論。4、形狀改變比能理論(第四強度理論)：彈性體在外力作用下產(chǎn)生變形，在變形過程中，荷載在相應位移上做功。根據(jù)能量守恒定律可知，如果所加的外力是靜荷載，則靜荷載所做的功全部轉(zhuǎn)化為積蓄在彈性體內(nèi)部的位能，即所謂應變能。處在外力作用下的單元體，其體積和形狀一般均發(fā)生改變，故應變能又可分解為形狀改變能和體積改變能。單位體積內(nèi)的應變能稱比能，而單位體積內(nèi)的形狀改變能稱之為形狀改變比能。第四強度理論認為形狀改變比能是引起塑性屈服的主要因素。即認為無論在什么應力狀態(tài)下，只要單元體形狀改變比能uf達到材料在簡單拉伸或壓縮時單元體的形狀改變比能的危險值（某一極限值）時，材料就發(fā)生塑性屈服。單向拉伸時，屈服應

46、力為s，相應的形狀改變比能。這就是導致屈服的形狀改變比能的極限值。故形狀改變比能屈服準則為 （g）在單向應力狀態(tài)下，。在復雜應力狀態(tài)下，單元體的形狀改變比能為: 代入(g)式，整理后得屈服準則為于是，按第四強度理論得到其強度條件為 (8.23)式中：材料在復雜應力狀態(tài)下的三個主應力。材料在簡單拉伸時的許用拉應力。 實踐證明，形狀改變比能屈服準則對如鋼、銅、鋁等幾種塑性材料比較符合，比第三強度理論更接近實際情況。所以，在機械和鋼結(jié)構(gòu)設計中常用這一理論。5、莫爾強度理論莫爾認為：最大剪應力是使物體破壞的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略(莫爾摩擦定律)。綜合最大剪應力及最大正應力的因素，莫爾得

47、出的強度理論。在不同應力狀態(tài)下，材料破壞面上的正應力與剪應力 在坐標系中確定了一條曲線，稱之為極限曲線。當一定時，越大越容易破壞，即極限曲線上的點必為破壞時三向應力圓中外圓上的點。我們把一點處材料破壞時的最大應力圓稱為極限應力圓。莫爾認為，材料在各種不同的應力狀態(tài)下，發(fā)生破壞時的所有極限應力圓的包絡線為材料的極限曲線；無論一點處的應力狀態(tài)如何，只要最大應力圓與極限曲線相切，材料就發(fā)生強度失效，其切點對應該破壞面。莫爾強度條件為 (8.24)式中：材料在復雜應力狀態(tài)下的主應力。材料在簡單拉伸時的許用拉應力和許用壓應力。 當時，莫爾強度理論即為最大拉應力理論；當時，為單向拉壓強度條件；若，則其成為

48、最大剪應力理論。對于拉壓強度不同的脆性材料，如鑄鐵、巖石和土體等，在以壓為主的應力狀態(tài)下，該理論與試驗結(jié)果符合的較好。綜合以上強度理論所建立的強度條件，可以寫出統(tǒng)一的形式：r (8.25)式中，r稱為相當應力。它由三個主應力按一定形式組合而成。按照第一強度理論到第四強度理論和莫爾強度理論的順序，相當應力分別為本章小結(jié)1、梁平面彎曲時，橫截面上一般有兩種內(nèi)力剪力和彎矩 。與此相對應的應力也有兩種剪應力和正應力。剪應力與截面相切，而正應力與截面垂直。2、梁平面彎曲時正應力計算公式為：正應力在橫截面上沿高度成線性分布，在中性軸處正應力為零，截面上下邊緣處正應力最大。3、梁平面彎曲時剪應力計算公式為：這個公式是由矩形截面梁推出的，但也可推廣應用于關于梁縱向?qū)ΨQ面對稱的其它截面形式。如工字形、T形截面梁等。對不同截面梁計算時，應注意代入相應的和。剪應力沿截面高度呈二次拋物線規(guī)律分布，中性軸處的剪應力最大。4、梁的強度計算中，正應力強度條件和剪應力強度條件必須同時滿足。其公式為：對于一般梁正應力強度條件起控制作用，剪應力是次要的。即滿足正應力強度條件時，一般剪應力強度條件也能得到滿足。因此，在應用強度條件解決強度校核、選取截面和確定容許荷載問題時，一般都先按正應力強度條件進行計算，然后再用剪應力強度條件校核。5、截面幾何性質(zhì)中，需要掌握形心位置、靜矩和慣性矩的計算。主要