第2章 正投影法和基本幾何元素的投影.

1、第第2章章 點(diǎn)、直線、平面的投影點(diǎn)、直線、平面的投影 2.1 正投影法的基礎(chǔ)正投影法的基礎(chǔ) 點(diǎn)、直線、平面的投影點(diǎn)、直線、平面的投影 2.2 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影目錄目錄 2.3 直線的投影直線的投影 2.4 平面的投影平面的投影首頁首頁2.1 投影法及其分類投影法及其分類 投射線通過物體，向選定的平面進(jìn)行投射線通過物體，向選定的平面進(jìn)行投射，并在該面上得到圖形的方法叫做投射，并在該面上得到圖形的方法叫做，所得到的圖形叫做，所得到的圖形叫做投影投影，選定的平面叫，選定的平面叫做做投影面投影面。點(diǎn)、直線、平面的投影點(diǎn)、直線、平面的投影畫透視圖畫透視圖畫斜軸測(cè)圖畫斜軸測(cè)圖畫工程圖樣畫工程圖樣及正軸測(cè)圖

2、及正軸測(cè)圖投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法直角投影法（正投影法）直角投影法（正投影法）斜角投影法斜角投影法首頁首頁點(diǎn)、直線、平面的投影點(diǎn)、直線、平面的投影1、中心投影法、中心投影法 投射中心、物體、投影面三者之間的相對(duì)距離對(duì)投射中心、物體、投影面三者之間的相對(duì)距離對(duì)投影的大小有影響。投影的大小有影響。度量性較差度量性較差投影特性投影特性投射線投射線投射中心投射中心物體物體投影面投影面投影投影物體位置改變，物體位置改變，投影大小也改投影大小也改變變首頁首頁點(diǎn)、直線、平面的投影點(diǎn)、直線、平面的投影2、平行投影法、平行投影法斜角投影法斜角投影法投投 影影 特特 性性投影大小與

3、物體和投影面之間的距離無關(guān)。投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。度量性較好度量性較好工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。投射線互相平行投射線互相平行且垂直于投影面且垂直于投影面投射線互相平行投射線互相平行且傾斜于投影面且傾斜于投影面直角（正）投影法直角（正）投影法首頁首頁點(diǎn)、直線、平面的投影點(diǎn)、直線、平面的投影3、正投影法的投影特性正投影法的投影特性: : 1. 直線、平面平行于投影面，投影反映實(shí)長或?qū)嵭危本€、平面平行于投影面，投影反映實(shí)長或?qū)嵭危?稱為稱為實(shí)形性實(shí)形性。 2. 直線、平面垂直于投影面，投影成為一點(diǎn)或一直線，直線、平面垂直于投影面，投影成為一點(diǎn)或一直

4、線， 稱為稱為積聚性積聚性。 3. 直線、平面傾斜于投影面，投影成為一短線或一小直線、平面傾斜于投影面，投影成為一短線或一小 平面，平面， 稱為稱為類似形類似形。實(shí)形性實(shí)形性積聚性積聚性類似形類似形abABCcabcABCABCEFacbe（f）首頁首頁點(diǎn)、直線、平面的投影點(diǎn)、直線、平面的投影2.2 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影 Pb AP采用多面投影采用多面投影。 過空間點(diǎn)過空間點(diǎn)A的投射線的投射線與投影面與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在在P面上的投影。面上的投影。B1B2B3 點(diǎn)在一個(gè)投影面上點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。間位置。a 解決辦法？解

5、決辦法？1、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影首頁首頁點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影2、點(diǎn)的三面投影、點(diǎn)的三面投影HWV投影面投影面正面投影面（簡(jiǎn)稱正面正面投影面（簡(jiǎn)稱正面 或或V面）面）水平投影面（簡(jiǎn)稱水平水平投影面（簡(jiǎn)稱水平 或或H面）面）側(cè)面投影面（簡(jiǎn)稱側(cè)側(cè)面投影面（簡(jiǎn)稱側(cè) 面或面或W面）面）投影軸投影軸oXZOX軸軸 V面與面與H面的交線面的交線OZ軸軸 V面與面與W面的交線面的交線OY軸軸 H面與面與W面的交線面的交線Y三個(gè)投影面三個(gè)投影面互相垂直互相垂直（1 1）三面投影體系的建立）三面投影體系的建立首頁首頁點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影（2 2）空間點(diǎn)在三個(gè)投影面上的投影）空間點(diǎn)在三個(gè)投影面上的

6、投影WHVoXa 點(diǎn)點(diǎn)A的正面投影的正面投影a點(diǎn)點(diǎn)A的水平投影的水平投影a 點(diǎn)點(diǎn)A的側(cè)面投影的側(cè)面投影空間點(diǎn)用大寫字母空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。小寫字母表示。a aa AZY首頁首頁點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影（3 3）投影面的展開）投影面的展開WVHXYZOVHWAaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不動(dòng)不動(dòng)aaZaa yayaXYYO azx首頁首頁點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影（4 4）點(diǎn)的三面投影特性（規(guī)律）點(diǎn)的三面投影特性（規(guī)律）XYZOVHWAaa a a aOX軸軸 aax= a az=y=A到到V面的距離面的距離a ax= a ay=z=A到到H面的距離面的

7、距離aay= a az=x=A到到W面的距離面的距離xaazayYZaza XYayOaaxaya a a OZ軸軸首頁首頁點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影（5 5）應(yīng)用舉例）應(yīng)用舉例a aax例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通過作通過作45線或畫線或畫圓弧使圓弧使a az=aax解法二解法二:用分規(guī)直接量用分規(guī)直接量取取a az=aaxa 首頁首頁點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影3、兩點(diǎn)的相對(duì)位置、兩點(diǎn)的相對(duì)位置 兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的間的上下、前后、左右上下、前后、左右位置關(guān)系。位置關(guān)系。判斷方法：判斷方法： x 坐標(biāo)大

8、的在左坐標(biāo)大的在左 y 坐標(biāo)大的在前坐標(biāo)大的在前 z 坐標(biāo)大的在上坐標(biāo)大的在上b aa a b bB點(diǎn)在點(diǎn)在A點(diǎn)之前、點(diǎn)之前、之右、之下。之右、之下。XYHYWZ首頁首頁點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影例：例：已知點(diǎn)已知點(diǎn)A在點(diǎn)在點(diǎn)B之前之前5毫米，之上毫米，之上9毫米，之右毫米，之右8毫米毫米，求點(diǎn)，求點(diǎn)A的投影。的投影。985a a aZXYwYHb b bo首頁首頁點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影4、重影點(diǎn)、重影點(diǎn) 空間兩點(diǎn)在某一投影面空間兩點(diǎn)在某一投影面上的上的投影重合為一點(diǎn)投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為稱此兩點(diǎn)為該投影面該投影面的重影的重影點(diǎn)。點(diǎn)。A、C為為H面的重影點(diǎn)面的重影點(diǎn)a a c c 被擋住的投被擋

9、住的投影加影加( )( )A A、C C為哪個(gè)投為哪個(gè)投影面的重影點(diǎn)影面的重影點(diǎn)呢？呢？a c首頁首頁小結(jié)小結(jié)小結(jié)小結(jié) 1、點(diǎn)的投影特性。、點(diǎn)的投影特性。 2、空間點(diǎn)的位置、重影點(diǎn)的判斷方法。、空間點(diǎn)的位置、重影點(diǎn)的判斷方法。 重點(diǎn)掌握：重點(diǎn)掌握：作業(yè)：作業(yè)：P4 21 （2）（）（3）首頁首頁2.3 直線的投影直線的投影直線的投影直線的投影YZaza XYayOaaxaya a aOX軸軸 aax= a az=y=A到到V面的距離面的距離a ax= a ay=z=A到到H面的距離面的距離aay= a az=x=A到到W面的距離面的距離 a a OZ軸軸復(fù)習(xí)點(diǎn)的投影復(fù)習(xí)點(diǎn)的投影點(diǎn)的三面投影特性

10、點(diǎn)的三面投影特性首頁首頁直線的投影直線的投影aa a b b b 兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得到直線同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。的同名投影。（1）直線的投影特性）直線的投影特性1、直線及直線上點(diǎn)的投影特性、直線及直線上點(diǎn)的投影特性ABab垂直于投影面的直垂直于投影面的直線，其投影重合為線，其投影重合為一點(diǎn)一點(diǎn) 積聚性積聚性平行于投影面的直平行于投影面的直線，投影反映線段線，投影反映線段的實(shí)長的實(shí)長 ab=AB傾斜于投影面的傾斜于投影面的直線，其投影比直線，其投影比空間線段短空間線段短 ab=ABcosABabAMBa(m)(b)首頁

11、首頁直線的投影直線的投影（2）直線上點(diǎn)的投影特性）直線上點(diǎn)的投影特性 若點(diǎn)在直線上, 則該點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上。不垂直于投影面的直線段上的點(diǎn)，分割直線段之比，在投影后仍保持不變。即： 若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同名投影上， 則該點(diǎn)必不在此直線上。AC/CB=ac/cb= a c / c b ABCVHbcc b a a定比定理定比定理注：注：依據(jù)上述投影特性可用來判斷空間點(diǎn)與直線的相對(duì)位置依據(jù)上述投影特性可用來判斷空間點(diǎn)與直線的相對(duì)位置首頁首頁直線的投影直線的投影（3）應(yīng)用舉例）應(yīng)用舉例點(diǎn)點(diǎn)C不在不在直線直線AB上上例例1：判斷點(diǎn)：判斷點(diǎn)C是否在線段是否在線段AB上。上。abca b

12、c c abca b 點(diǎn)點(diǎn)C在直在直線線AB上上首頁首頁直線的投影直線的投影例例2：判斷點(diǎn)：判斷點(diǎn)K是否在線段是否在線段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上， 故點(diǎn)故點(diǎn)K不在不在AB上。上。應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理abka b k 另一判斷法另一判斷法? ?首頁首頁直線的投影直線的投影例例2：判斷點(diǎn)：判斷點(diǎn)K是否在線段是否在線段AB上。上。應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理abka b k 另一判斷法另一判斷法? ?k1 c b1 因因a k / k b ak/kb ， 故點(diǎn)故點(diǎn)K不在不在AB上。上。首頁首頁直線的投影直線的投影2、直線對(duì)投影面的各種相對(duì)位置、直線對(duì)投影面的各種相對(duì)位置

13、投影面平行線投影面平行線平行于某一投影面而平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜投影面垂直線投影面垂直線一般位置直線一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面垂直于某一投影面正平線（平行于面）正平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）水平線（平行于）水平線（平行于）側(cè)垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）正垂線（垂直于面）正垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于）鉛垂線（垂直于）首頁首頁直線的投影直線的投影b a aba b b aa b ba （1）投影面平行線）投影面平行線 在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)

14、長,與投影軸的夾角，分別反映直線與另兩投影面的真實(shí)傾角。 另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸，且長度縮短。水平線水平線側(cè)平線側(cè)平線正平線正平線投投 影影 特特 性：性：注：注：空間直線與空間直線與H面的夾角面的夾角: ； 與與V面的夾角面的夾角:； 與與W面的夾角面的夾角: 實(shí)長實(shí)長實(shí)長實(shí)長實(shí)長實(shí)長ba aa b b 首頁首頁直線的投影直線的投影（2）投影面垂直線）投影面垂直線投投 影影 特特 性：性：鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側(cè)垂線側(cè)垂線c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f )平行于相應(yīng)的投影軸，平行于相應(yīng)的投影軸，并反映線段實(shí)長。并反映線段實(shí)長。 另外兩個(gè)

15、投影另外兩個(gè)投影， 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，積聚成一點(diǎn)積聚成一點(diǎn)。首頁首頁直線的投影直線的投影（3）一般位置直線）一般位置直線投投 影影 特特 性：性： 三個(gè)投影都傾斜于投影軸；且小于直線的實(shí)長；與投影軸的夾角不反映直線與投影面的夾角。abb a b a 首頁首頁直線的投影直線的投影3、兩直線的相對(duì)位置、兩直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置分為：空間兩直線的相對(duì)位置分為： 平行平行、相交相交、交叉交叉。 空間兩直線平空間兩直線平行，則其各行，則其各同名投同名投影影必相互平行，反必相互平行，反之亦然。之亦然。aVHc bcdABCDb d a 投投 影影 特特 性：性：（1）兩直

16、線平行）兩直線平行首頁首頁直線的投影直線的投影應(yīng)用舉例：應(yīng)用舉例：例例1：判斷圖中兩條直線是否平行。：判斷圖中兩條直線是否平行。 對(duì)于對(duì)于一般位置直線一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就相平行，空間兩直線就平行。平行。AB/CDcabdc a b d 首頁首頁直線的投影直線的投影b d c a cbadd b a c 對(duì)于特殊位置直線，對(duì)于特殊位置直線，只有只有兩個(gè)兩個(gè)同名投影互相同名投影互相平行，空間直線平行，空間直線不一定平行。平行。求出側(cè)面投影后可知：求出側(cè)面投影后可知：AB與與CD不平行。不平行。例例2：判斷圖中兩條直線是否平行。：判斷圖中兩條直線

17、是否平行。求出側(cè)面投影求出側(cè)面投影如何判斷？如何判斷？首頁首頁直線的投影直線的投影（2）兩直線相交）兩直線相交HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 判別方法：判別方法： 若空間兩直線相交，若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，則其同名投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間點(diǎn)的投影規(guī)律且交點(diǎn)的投影必符合空間點(diǎn)的投影規(guī)律。交點(diǎn)是兩直交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)線的共有點(diǎn)首頁首頁直線的投影直線的投影應(yīng)用舉例：應(yīng)用舉例：cabb a c d k kd例：過例：過C點(diǎn)點(diǎn)作水平線作水平線CD與與AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影首頁首頁直線的投影直線的投影（2）兩直線交叉）兩

18、直線交叉d b a abcdc1 (2 )3(4 )投影特性投影特性： 同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但 “交點(diǎn)交點(diǎn)”不符合空間不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。 “交點(diǎn)交點(diǎn)”是兩直線上是兩直線上的一的一 對(duì)對(duì)重影點(diǎn)的投影重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線用其可幫助判斷兩直線的空間位置。的空間位置。、是面的重影點(diǎn)，是面的重影點(diǎn)，、是是H面的重影點(diǎn)。面的重影點(diǎn)。為什么？為什么？123 4 兩直線相交嗎？?jī)芍本€相交嗎？首頁首頁2.4 平面的投影平面的投影平面的投影平面的投影1、平面的表示法平面的表示法abca b c 不在同一不在同一直線上的直線上的三個(gè)點(diǎn)三個(gè)點(diǎn)abca b c

19、直線及直線及線外一線外一點(diǎn)點(diǎn)abca b c dd 兩平行直兩平行直線線abca b c 兩相交兩相交直線直線abca b c 平面平面圖形圖形首頁首頁2、平面的投影特性平面的投影特性平行平行垂直垂直傾斜傾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把實(shí)形現(xiàn)投影就把實(shí)形現(xiàn) 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影積聚成直線投影積聚成直線 平面傾斜投影面平面傾斜投影面-投影類似原平面投影類似原平面實(shí)形性實(shí)形性類似性類似性積聚性積聚性平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性首頁首頁平面的投影平面的投影平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：投影面垂

20、直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜與三個(gè)投影面都傾斜 正垂面正垂面 側(cè)垂面?zhèn)却姑?鉛垂面鉛垂面 正平面正平面 側(cè)平面?zhèn)绕矫?水平面水平面平面對(duì)投影面的相對(duì)位置平面對(duì)投影面的相對(duì)位置首頁首頁平面的投影平面的投影abca c b c b a 類似性類似性類似性類似性積聚性積聚性鉛垂面鉛垂面投影投影 特性：特性： 在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該在它垂直的投影面上的投影積聚成直線

21、。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。面夾角的大小。 另外兩個(gè)投影面上的投影有類似性。另外兩個(gè)投影面上的投影有類似性。為什么？為什么？是什么位置是什么位置的平面？的平面？（1 1）投影面垂直面）投影面垂直面首頁首頁平面的投影平面的投影（1 1）投影面平行面）投影面平行面a b c a b c abc積聚性積聚性積聚性積聚性實(shí)形性實(shí)形性水平面水平面在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。 另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。的投影軸平行的直線。投

22、影投影 特性：特性：首頁首頁平面的投影平面的投影（3 3）一般位置平面）一般位置平面a b c a c b abc三個(gè)投影都類似。三個(gè)投影都類似。投影投影 特性：特性：首頁首頁平面的投影平面的投影3、平面上的直線和點(diǎn)、平面上的直線和點(diǎn)判斷直線在平面判斷直線在平面內(nèi)的方法內(nèi)的方法 定定 理理 一一若一直線過平面若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面直線必在該平面內(nèi)。內(nèi)。定定 理理 二二若一直線過平面上的若一直線過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。此直線在該平面內(nèi)。（1） 平面上取任意直線平面上取任意直線首頁首頁平面的投影平面的投影abcb c a abcb c a d mnn m d例例1：已知平面由直線：已知平面由直線AB、AC所確定，試所確定，試 在平面內(nèi)在平面內(nèi) 任作一條直線。任作一條直線。解法一解法一解