極限的性質與四則運算法則

1、第四節(jié) 極限的性質與四則運算法則教學目的：使學生掌握極限的四則運算法則，并會利用它們求極限；教學重點：有理函數(shù)極限的計算；教學過程：一、復習無窮大和無窮小的概念及性質二、講解新課：一、函數(shù)極限的性質定理1:(保號性)設lim f (x)二A，(i) 若 A 0(A ： 0)，則、0，當 x U(Xo)時，f (x)0 (f (x) ： 0)。(ii) 若 f (x) _0(f (x)乞 0)，必有 A_0(Ae0)。A一a證明：(i )先證A 0的情形。??；=，由定義，對此；，一& 0，當U(x0,、：)時,Aaaa 3Af(x)A<w= ，即 卩 0v=A<f(x)<

2、;A+=二 f(x) = 0。22222A當A：0時，??；一蟲，同理得證。2(ii)(反證法)若：0，由(i) = f(x) ： 0 矛盾，所以 A 0。當f(x) <0時，類似可證。注：(i)中的“>” “<”不能改為“ “蘭”。在(ii)中，若f(x) 0，未必有A 0 0二、極限四則運算法則由極限定義來求極限是不可取的，也是不行的，因此需尋求一些方法來求極限。定理 1：若 lim f (x)二 A,lim g(x)二 B，則 lim f (x) _ g(x)存在，且lim f (x)二 g(x) = A 二 B = lim f (x)二 lim g (x)。證明： 只證

3、 lim f(x) g(x) A B，過程為 x x0，對-； 0, 0，當0 c x x0 c E 時，有 f (x) - A < ?，對此名，3 62a0，當 0£x x()c622時，有g(x)-B|<f，取芳=mi nd,®，當0水_対弋芳時，有(f(x) +g(x) (A + B) =|(f(x)A) + (g(x) B)|£f(x) A +|g(x) B所以 lim (f (x)g(x) = A B。其它情況類似可證。注：本定理可推廣到有限個函數(shù)的情形 定理 2： 若 lim f (x)二 A,lim g(x) = B，則 lim f (x

4、) g(x)存在，且lim f (x)g(x) = AB 二 lim f (x) lim g(x)。證明：因為 lim f (x) = A, lim g(x) = B，二 f (x) = A 心,g(x) = B ：,C-均為無窮小)=f(x)g(x) =(A :)(B)= AB (A，記B 一八小，二 為無窮小， =lim f (x)g(x) = AB。推論 1: lim cf (x) = clim f (x) ( c為常數(shù))。推論 2： lim f (x)lim f (x)n ( n 為正整數(shù))。定理 3:設 lim f(x) = A,lim g(x)二 B = 0，則 lim 出=A J

5、im f (x) g(x) B lim g(x)證明：設f(x) = A *, g(x)二B(,:為無窮小)，考慮差：f(x) _ A _ A ： _ A _ B： - A： g(x) B B 1 B B(B J其分子BA -為無窮小，分母B(B B2 = 0，我們不難證明有界(詳細過程見書上)為無窮小，記為，所以= B ，limg(x) b注：以上定理對數(shù)列亦成立3 / 5定理 4:如果 (x)(x)，且 lim (x) = a,lim (x) = b，則 a _ b?！纠?11 lim (ax b)工 lim ax lim b = a lim x b =ax。b0XxoXxo【例 21 l

6、im xn = lim xn = x0n 。Xfx推論1 ：設f (x) =aoxn - a/"'亠亠anJx an為一多項式，當nf(x)=aoxo" aixo"J anXo an=f(Xo)。推論2:設P(X),Q(X)均為多項式，且Qg)"，則迎需=鵲【例 31 lim (x2 5x io =12 一5 1 1 - -3 X33【例41煦=4二即需3 (因為亠0)注：若Q(xo) =o，則不能用推論2來求極限，需采用其它手段【例5】求lim x： x-2x-1 2x +x3解：當X >1時，分子、分母均趨于o,因為X = 1，約去公因

7、子(x-1)，2所以x x-2 x 23lim 2limx 3【例6】求lim (- 3)。D X +1 X +113解：當 八 -1,一，二- 全沒有極限，故不能直接用定理 3,但當x=-1時,X +1 X +1 2x2 x - 3 x 1 2x 355 / 513= (x 1)( x-2)X 1 X31 (x 1)(x2 - X 1)x -2X2 - X 1，所以limX 2x -2X2 -X 1_1 _2(-1)2 -(-1)12【例7】求lim解：I當x > 2時，X2 > 0，故不能直接用定理5，又x2 > 4，考慮：x 2 x 2ox -22-2limx2x2li

8、mx £ x _2【例8】若 limx 1 sin(x -1)求a,b的值。ooo當 x； 1 時，sin(x -1) x -1，且 lim(x ax b) = 0 j1a b 1 = 0, b二-(a 1)29x ax b x ax -(a 1) (x -1)(x a 1)x2 -1 (x-1)(x 1) (x -1)(x 1)x2 +ax +b limx-1 x2 -1=3a =4, b - -5【例9】設ao=O,bo=O,m,n為自然數(shù)，則aon 斗n4aox +a1X+anlim -荷一x 匸boxm b1 xm bo=« 0 bm當n ： m時 當n m時證明：當Xr 時，分子、分母極限均不存在,n 丄n -1aoxa1x亠'亠ao “ *j Innlim -rlim xxboxm - b1xm bmx 匸1.6定理5，先變形:直nXd bx故不能用§ao 色xbo7 / 5a000b0 00a000b0 00a000b0 00當n = m時當n ： m時【例10】求lim (丄 g -n2)n 護 nnn解：當n時，這是無窮多項相加，故不能用定理 1,先變形:原式二 lim 丄(1 2 n) = lim 凹衛(wèi)nYn2n 護 n22【例11】證明lim =1,