華杯賽命題與學(xué)生能力培養(yǎng)

1、杯賽命題與學(xué)生能力培養(yǎng)一、引言：人的素質(zhì)包含生活習(xí)慣、道德品質(zhì)、各種能力、學(xué)習(xí)成績(jī)、處世態(tài)度、 。無(wú)可否認(rèn)，能力是素質(zhì)的重要組成分。素質(zhì)教育應(yīng)該包含提高學(xué)生的各種能力：工作能力、自學(xué)能力、邏輯思維能力、理論聯(lián)系實(shí)際能力、形象思維能力、空間想象能力、 。其中與數(shù)學(xué)有緊密關(guān)系的就有邏輯推理、舉一反三、尋找規(guī)律、從特殊到一般，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜等等。我們這里要說(shuō)到的主題是，華杯賽命題與邏輯思維等能力的培養(yǎng)之間的關(guān)系。二、數(shù)學(xué)問(wèn)題中的邏輯關(guān)系：、數(shù)學(xué)問(wèn)題有兩部分組成假設(shè)與結(jié)論。在假設(shè)成立的前提下，結(jié)論也成立，這樣的命題為真命題，而在假設(shè)成立的條件成立的前提下，結(jié)論不成立，這樣的命題是偽命題。一個(gè)沒(méi)有證明真?zhèn)?/p>

2、的命題，只能是猜想。1+1=2他的假設(shè)為“加數(shù)是1，被加數(shù)也是1”，他的結(jié)論“其和為2”。這是一個(gè)真命題。如果改為“其和為3”，就是偽命題了。例 “一個(gè)充分大的偶數(shù)是兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和“是一個(gè)猜想。、個(gè)數(shù)學(xué)命題可以派生出三類(lèi)基本命題： 逆命題、否命題、逆否命題。原來(lái)的命題就稱為原命題。命題加數(shù)是 1，被加數(shù)也是1，則其和為2。逆命題和為 2，則加數(shù)是1，被加數(shù)也是1。否命題加數(shù)不是 1，被加數(shù)也不是1，則其和不為2。逆否命題兩數(shù)之和不是2，則加數(shù)與被加數(shù)不能都是1。以看得出，原名題與逆否命題有相同的真?zhèn)?；逆命題和否命題有相同的真?zhèn)?。逆命題是原名題的假設(shè)與結(jié)論對(duì)調(diào)；否命題是否定原名題的假設(shè)，也否定原名

3、題的結(jié)論；逆否命題就是逆命題的否命題。由以上數(shù)學(xué)命題的邏輯關(guān)系的啟發(fā)，我們可以利用一個(gè)數(shù)學(xué)命題演變出一系列有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。、充分必要條件。原命題和逆命題同是為真，則原命題的假設(shè)為原命題的結(jié)論的充分必要條件；原命題是真而逆命題是偽，則原命題的假設(shè)為原命題的結(jié)論的充分條件，但不是必要條件，逆命題為真時(shí)，原命題的假設(shè)是原命題的結(jié)論的必要條件，但不是充分條件。例兩個(gè)三角形中，對(duì)應(yīng)邊相等，則兩個(gè)三角形全等。 原命題為真。兩個(gè)三角形全等，則對(duì)應(yīng)邊相等。 逆命題為真。所以，對(duì)應(yīng)邊相等是兩個(gè)三角形全等的充分必要條件。例加數(shù)為 5，被加數(shù)為3，則其和為8。 原命題為真。兩數(shù)之和為8，則加數(shù)為5，被加數(shù)為3。 逆

4、命題為偽?！凹訑?shù)為5，被加數(shù)為3”是“其和為8”的充分條件。例兩個(gè)三角形的面積相等，則兩個(gè)三角形全等。 原命題為偽。兩個(gè)三角形全等，則兩個(gè)三角形的面積相等。 逆命題真。所以，“兩個(gè)三角形的面積相等”是“兩個(gè)三角形全等”的必要條件。明確數(shù)學(xué)問(wèn)題中的邏輯關(guān)系，不僅能夠提高解題能力，而且還能幫助我們?cè)O(shè)計(jì)出精彩的數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維，提高他們的邏輯思維能力，應(yīng)該從數(shù)學(xué)問(wèn)題中的邏輯關(guān)系入手，為此，我們提出一個(gè)改造成題，設(shè)計(jì)新數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效方法，利用這一方法，可以提高學(xué)生的邏輯思維能力，這個(gè)方法稱為“提反問(wèn)題方法”。、提反問(wèn)題方法所謂提反問(wèn)題就是將原命題中的假設(shè)或部分假設(shè)與其結(jié)論或部分結(jié)論對(duì)

5、調(diào)，而得到新的數(shù)學(xué)問(wèn)題。一類(lèi)反問(wèn)題。直接將已知條件（假設(shè)）中的部分或全部與結(jié)論中的部分或全部的位置對(duì)調(diào)，提出新的問(wèn)題。例 1原問(wèn)題5 3？（ 1）反問(wèn)題5？ 8（ 2）？ 8（3 ）？ ？ 8（ 4）（ 1）其中“？”表示正整數(shù)。（ 2）是減法。（ 3）的答案不唯一。這是因?yàn)?，兩個(gè)加數(shù)為 5 和 3 是其和為 8 的充分條件，但不是必要條件。要答案唯一，就必須另加條件，如xy8x, y 為正整數(shù)xy最大（ 4）為若干個(gè)正整數(shù)之和為 8，求這些正整數(shù)，答案不唯一。提反問(wèn)題總結(jié)：對(duì)于一些十分簡(jiǎn)單的問(wèn)題，他們的反問(wèn)題卻十分復(fù)雜，由于原問(wèn)題的條件不一定是其結(jié)論的充分必要條件，反問(wèn)題會(huì)出現(xiàn)多解性，為了減

6、少反問(wèn)題的解數(shù)，往往需要增加一些條件，從各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題來(lái)看，有大量的試題都是反問(wèn)題。因此，隨時(shí)想到反問(wèn)題，學(xué)會(huì)提反問(wèn)題的方法，無(wú)論對(duì)競(jìng)賽命題，選手培訓(xùn)，還是應(yīng)試參賽，都會(huì)是十分有益的事。5、拼接法。 對(duì)邏輯思維訓(xùn)練的另一有效的方法是拼接法，利用數(shù)學(xué)問(wèn)題的邏輯關(guān)系和數(shù)學(xué)中各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的相互聯(lián)系，我們可以設(shè)計(jì)出綜合運(yùn)用各種知識(shí)點(diǎn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，用以培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生綜合運(yùn)用各種知識(shí)的能力和思維的條理性。A. 求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，一般是一步一步推導(dǎo)，前一步的結(jié)論是后一步的已知。利用這一點(diǎn)，我們可以設(shè)計(jì)出將兩個(gè)或多個(gè)知識(shí)點(diǎn)總合在一起的數(shù)學(xué)問(wèn)題。例。貓跑3 步的時(shí)間與狗跑5 步的時(shí)間相同：貓跑5 步的時(shí)間與兔跑7 部

7、的時(shí)間相同。貓跑5 步的距離與狗跑3 步的距離相同；貓跑5 步的距離與兔跑7 步的距離相同。貓、狗、兔沿著300 米的環(huán)形跑道同時(shí)、同地、同向出發(fā)，問(wèn)：當(dāng)三者再次相處同一地點(diǎn)時(shí)，貓、狗、兔各跑了多少路程？這是一個(gè)比例問(wèn)題和行程追及問(wèn)題的拼接。B. 在一問(wèn)題中嵌入一個(gè)或多個(gè)其它問(wèn)題。例 A,B為 400 米跑道上的兩點(diǎn)，從 A 到 B 的跑道路程是200 米，而 A，B 的直線距離是50 米。父子倆同時(shí)從A 點(diǎn)出發(fā)，逆時(shí)針?lè)较蜓嘏艿肋M(jìn)行長(zhǎng)跑鍛煉。兒子跑400 米跑道，父親沿跑道跑到B 點(diǎn)就沿直線跑回A 點(diǎn)。已知父親跑100 米用20 秒，兒子跑100 米用 19 秒。如果他們按照這樣的速度跑，兒

8、子在跑第幾圈時(shí)，第一次與父親相遇？AB：這是一個(gè)追及問(wèn)題，只能在從A 到 B 的一段跑道上，子追上父親。子跑一圈用19×（ 400/100 ） 76（秒）。親跑一圈用20×（ 20 50） /100=50( 秒 ) 。父親位于 AB 跑道上某點(diǎn)p，從 A 到 P 的路程不能太遠(yuǎn)，得兒子能在到達(dá)B 點(diǎn)前追上父親。子每秒能追趕100 100 5 （米）。192019子從 A 到 B 用 38 秒，可以追趕38× 5 10（米）。19此， P 到 A 的路程不能超過(guò)10 米。或76n50mr / 5。38n25mr /10由于n, m 都是正整數(shù)，所以，r 0 或10。

9、當(dāng) r 10 時(shí)，38n125m ，等式左邊為奇數(shù),m 是奇數(shù)。最小的n2m3當(dāng) r 0 時(shí)，最小的n 25答：兒子跑完兩圈后，在跑第三圈時(shí)的B 點(diǎn)與父親第一次相遇。從以上求解過(guò)程可以看出，在追及問(wèn)題中，嵌入了整數(shù)不定方程問(wèn)題、實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)：際事物，不論是簡(jiǎn)單，還是復(fù)雜，都含有“形”和“數(shù)”的內(nèi)容。因此，華羅庚教授指出：“宇宙大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)?！睆膶?shí)際事務(wù)中，抽象出其中的“形”和“數(shù)”及其之間的關(guān)系，就得到這些事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)。對(duì)事物數(shù)學(xué)本質(zhì)的研究，可以發(fā)現(xiàn)事物的發(fā)展變化規(guī)律。尋求實(shí)際事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，需要有透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的能力。為

10、了這種能力的培養(yǎng)，我們?cè)O(shè)計(jì)了一種命題方法，這種方法在“華杯賽”中稱之為“反建模方法”。利用這種方法，不僅能夠提高學(xué)生的透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的能力，而且還能夠培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，解決實(shí)際問(wèn)題的能力。同的實(shí)際問(wèn)題可以有相同的數(shù)學(xué)本質(zhì)機(jī)構(gòu)精簡(jiǎn)“三好”生評(píng)選1建立指標(biāo)各類(lèi)資產(chǎn)各類(lèi)負(fù)債，各科成績(jī)，各種表現(xiàn)，個(gè)完全不同的實(shí)際各種效益， 身體狀況問(wèn)題，將他們的數(shù)2指標(biāo)分類(lèi)資產(chǎn)類(lèi)，負(fù)倆類(lèi)，效益類(lèi)， 學(xué)習(xí)好，思想好，身體好學(xué)本質(zhì)抽象出來(lái)3各指標(biāo)的權(quán)重用數(shù)學(xué)方法給出用數(shù)學(xué)方法給出后，可以得到完全4分類(lèi)排序按部分指標(biāo)排序按部分指標(biāo)排序相同的數(shù)學(xué)表述。5綜合排序按全部指標(biāo)排序按全部指標(biāo)排序現(xiàn)舉例說(shuō)明。6按序選優(yōu)淘汰差的選

11、擇好的例 A,B 兩地相距200 千米，甲，乙二車(chē)的時(shí)速分別為60 千米 40 千米。若甲、乙二車(chē)分別由A，B 兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，問(wèn)：出發(fā)后多少小時(shí)二車(chē)相遇？一水槽的容積為200 立方米，甲管每小時(shí)注水60 立方米，乙管每小時(shí)注水40 立方米。若兩管同時(shí)開(kāi)放，問(wèn)：開(kāi)放后幾小時(shí)注滿水槽？200是兩個(gè)不同的問(wèn)題，他們有著統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型：T 2（小時(shí)）。6040企業(yè)的精簡(jiǎn)機(jī)構(gòu)與中小學(xué)的“三好”生評(píng)選，是兩種完全不同的事情?，F(xiàn)在我們來(lái)建立他們的數(shù)學(xué)模型2、用反建模方法設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題問(wèn)題：空間有n 個(gè)點(diǎn)，用直線段連接他們，如果不允許所連接的直線段構(gòu)成三角形，問(wèn)：最多可以連多少條直線段？答案是：n（）

12、 2，當(dāng)n 為偶數(shù)時(shí)；2( n1)( n1) ，當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)。4在我們要做的是：設(shè)計(jì)出一個(gè)應(yīng)用題，它以上面問(wèn)題為它的數(shù)學(xué)模型。其方法如現(xiàn)在我們可以設(shè)計(jì)應(yīng)用題了。機(jī)構(gòu)精簡(jiǎn)“三好”生評(píng)選1建立指標(biāo)各類(lèi)資產(chǎn)各類(lèi)負(fù)債，各科成績(jī)，各種表現(xiàn)，各種效益， 身體狀況2指標(biāo)分類(lèi)資產(chǎn)類(lèi)，負(fù)倆類(lèi)，效益類(lèi)， 學(xué)習(xí)好，思想好，身體好3各指標(biāo)的權(quán)重用數(shù)學(xué)方法給出用數(shù)學(xué)方法給出4分類(lèi)排序按部分指標(biāo)排序按部分指標(biāo)排序5綜合排序按全部指標(biāo)排序按全部指標(biāo)排序6按序選優(yōu)淘汰差的選擇好的題： n 臺(tái)電腦聯(lián)網(wǎng)，要求：1）任意兩臺(tái)電腦之間最多用一條電纜線聯(lián)；）任意三臺(tái)電腦之間最多用兩條電纜相連。問(wèn)：最多可以連接多少條電纜？數(shù)學(xué)對(duì)象點(diǎn)

13、直線段應(yīng)用題的可能對(duì)象城市公路車(chē)站鐵路電話機(jī)線路電腦電纜數(shù)學(xué)條件兩點(diǎn)間最多能連接一條直線段不能構(gòu)成三角形應(yīng)用題條件兩個(gè)電腦（城市、車(chē)站、電話機(jī)）間三個(gè)電腦 （城市等） 間最多用兩最多有一條電纜（公路等）線連條電纜（公路等）相連是，實(shí)際中，都市設(shè)法節(jié)約電纜。如果我們問(wèn)：最少連接多少電纜？回答是0 條。因?yàn)?，我們沒(méi)有提通訊要求。如果考慮到通訊要求，增加一個(gè)條件：3)若兩臺(tái)電腦之間沒(méi)有電纜相連，那么，一定有另一臺(tái)電腦與它們都有電纜相連，問(wèn)：最少需要多少條電纜？問(wèn)題 . 若干臺(tái)計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)，要求：任意兩臺(tái)之間最多用一條電纜連接；任意三臺(tái)之間最多用兩條電纜連接；兩臺(tái)計(jì)算機(jī)之間如果沒(méi)有連接電纜，則必須有另一

14、臺(tái)計(jì)算機(jī)和它們都連接電纜 . 若按此要求最多可以連 1600 條，問(wèn)：參加聯(lián)網(wǎng)的計(jì)算機(jī)有多少臺(tái) ?這些計(jì)算機(jī)按要求聯(lián)網(wǎng)，最少需要連多少條電纜 ?解：任選一臺(tái)，記為A，凡與A條件第一組。A第二組條件 3有線相聯(lián)的機(jī)器為第一組,A和其他機(jī)器為第二組，設(shè)第一組有m臺(tái)，即A和第一組之間有m條連線，由條件，m1；設(shè)第二組有n臺(tái).條件，第一組的任兩臺(tái)之間都不能有連線;即A和第一組之間有且僅有m條連線；由條件，第二組中其它機(jī)器和A沒(méi)有連線，所以第二組除A外的任一臺(tái)都必須與第一組的某一臺(tái)有至少1條連線，因此，最少有n1條連線.此時(shí)的連接方式，滿足題目的三個(gè)條件，最少有mn1條連線.聯(lián)網(wǎng)第條要求，如果第二組中某

15、兩臺(tái)計(jì)算機(jī)連接有電纜，第一組中任一臺(tái)計(jì)算機(jī)就不能與第二組中這兩臺(tái)計(jì)算機(jī)都連接有電纜. 而當(dāng)這兩臺(tái)機(jī)器沒(méi)有連線時(shí)，它們都可以與第一組的所有機(jī)器相連. 這種情況說(shuō)明第二組中增加一條電纜，則第一組與第二組之間連接的電纜就減少m 條 . 而且，按聯(lián)網(wǎng)第條要求，第一組任一臺(tái)計(jì)算機(jī)至多與第二組連接n 條電纜，也就是第一組與第二組之間最多連接mn 條電纜 . 設(shè)第二組中有 l 條電纜，則至多有 mnlml . 因?yàn)?m1 ，所以至多有 mn 條.當(dāng)?shù)谝唤M的每一臺(tái)計(jì)算機(jī)都與第二組的所有計(jì)算機(jī)連有電纜，則恰有mn 條 . 這個(gè)計(jì)算機(jī)網(wǎng)最多有1600條連線，所以，1600 條，mn80 時(shí)， mn179 .答：

16、參加聯(lián)網(wǎng)的計(jì)算機(jī)有80 臺(tái)； ?這些計(jì)算機(jī)按要求聯(lián)網(wǎng)，最少需要連79 多少條電纜 .以上例子說(shuō)明了什么是反建模方法。將一個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題（數(shù)學(xué)模型）的過(guò)程稱為數(shù)學(xué)建模；而根據(jù)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，去找到一個(gè)應(yīng)用題，使得他的數(shù)學(xué)模型就是該數(shù)學(xué)問(wèn)題，這樣的過(guò)程，我們就叫他為反建模。上面問(wèn)題就是空間中幾何點(diǎn)與連線的計(jì)數(shù)問(wèn)題的反建模。、化繁為簡(jiǎn)、由簡(jiǎn)到繁：對(duì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)，總是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜。學(xué)數(shù)學(xué)也是先學(xué)整數(shù)，再學(xué)分?jǐn)?shù)、小數(shù)，然后才是實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)。做數(shù)學(xué)題也是要遵守這個(gè)規(guī)律，從 1,2 ， 3， 到 n，從簡(jiǎn)到繁，從特殊到一般。設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題也遵從這一規(guī)律，但是，最后設(shè)計(jì)出來(lái)的問(wèn)題，卻是以復(fù)雜的面孔出現(xiàn)，

17、特別是競(jìng)賽試題，更是這樣。一些復(fù)雜的試題，獨(dú)有他簡(jiǎn)單的原型。求解這類(lèi)問(wèn)題往往可以依照如下步驟：先找其簡(jiǎn)單的原型分析試題與原型的關(guān)系用簡(jiǎn)單的方法解原型找簡(jiǎn)單方法的內(nèi)在規(guī)律推廣到復(fù)雜試題。這就是我們說(shuō)得從 1,2 ， 3，到 n。一堆球，若是10 的倍數(shù)個(gè)，使球數(shù)為為 10 的倍數(shù)個(gè)，在平均分成10 堆，拿走123456789101119981999200010 堆，拿走9 堆；若不是10 的倍數(shù)個(gè)，就添加幾個(gè)，但少于9 堆。這一過(guò)程稱為一次“均分”。若最初有10 個(gè)，使球數(shù)個(gè)球，請(qǐng)回答：經(jīng)過(guò)多少次均分，添加多少個(gè)球后，僅剩余1 個(gè)球？解：我們可以認(rèn)為只有1287 個(gè)球來(lái)進(jìn)行勻分是這一問(wèn)題的原型。

18、1287 3 12901 次129 1 1302 次13 7 203 次2 8 104 次1一次添加107 3第二次添加10（ 8 1） 1第三次添加10（ 2 1） =7第三次添加10（ 1 1） 81287 是四位數(shù)，添加了四次，均分了四次。因此，可以考慮，n 位數(shù)要均分n 次。添加的球數(shù)為10k（數(shù)字和 k 1）這里并不是嚴(yán)格的證明，但是從這里可以找到嚴(yán)格證明的方法。大數(shù)化的命題方法前面講到，求和為 8 的若干個(gè)正整數(shù)，他們的乘積最大x1x2xn8x1 x2xn 最大這個(gè)問(wèn)題的求解，可以采用試湊法，但是，我們將8 改成一個(gè)很大的數(shù)，就不能試湊了。另外，前面也講到，找出5 個(gè)質(zhì)數(shù)，他們成等差數(shù)列：p, pa, p2a, p3a, p4a, 且 p 最小。這里如果將5 個(gè)改成 6 個(gè)，則問(wèn)題將大大地復(fù)雜化。而求分堆問(wèn)題，