有理數(shù)及其運算(二)

1、有理數(shù)及其運算（二）【課標要求】1經(jīng)歷探索有理數(shù)法則和運算率的過程，掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方的運算及簡單的混合運算（以三步為主）。2. 理解有理數(shù)的運算律，并能運用運算律簡化運算。3. 能運用有理數(shù)的運算解決簡單的實際問題。【重難點知識歸納及講解】 本章的重點是有理數(shù)的運算。加法與乘法都是在介紹運算法則著重是符號法則的基礎(chǔ)上，進行基本運算，然后結(jié)合具體例子引入運算律，并運用運算律簡化運算。減法與除法，則是著重介紹如何由加法與乘法轉(zhuǎn)化，從而利用加法與乘法的運算法則、運算律進行運算。乘方是幾個相同因數(shù)的乘積，也就可以利用乘法運算。（1）有理數(shù)加法的法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對

2、值相加；絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值而互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零；任何數(shù)同零相加，仍得這個數(shù)（2）有理數(shù)加法的運算順序：第一步，確定和的符號；第二步，求和的絕對值其中最關(guān)鍵的一步是搞清符號問題，符號一經(jīng)確定，問題就比較簡單了（3）有理數(shù)加法的運算律：加法交換律，即abba；加法結(jié)合律，即abca(bc).巧妙地運用加法的運算律，可以簡化有理數(shù)的加法運算（4）有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即a-b=a+(-b)。對大家而言，做題時一定要注意兩變：一是減號變?yōu)榧犹?；二是減數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù)。（5）利用減法比較大小：a，b是兩

3、個有理數(shù)，若ab0，則ab；若ab0，則ab即大的小的0，小的大的0（6）加減混合運算的兩個關(guān)鍵點是：在交換加數(shù)的位置時，要連同前面的符號一起交換盡量使用運算率簡便計算。（7）在有理數(shù)加減運算中，正確理解運算符號運算符號與性質(zhì)符號既有區(qū)別，又有聯(lián)系，有時可以相互轉(zhuǎn)化（8）有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘，任何數(shù)同零相乘，都得零。（9）多個有理數(shù)乘積的確定：幾個不等于零的有理數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)確定：當(dāng)負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積為負；當(dāng)負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，積為正。符號確定后，再分別把絕對值相乘。只要有一個因數(shù)為0，則積為0。（10）乘法的運算律：乘法交換律

4、，即ab=ba；乘法結(jié)合律，即(ab)c=a(bc)；乘法分配律，即a(b+c)=ab+ac。在做乘法時，要靈活運用上述運算律，以達到簡化運算的目的。乘法和加法的運算律，都可以推廣到多個數(shù)的情況。（11）倒數(shù)的概念：乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。由于任何一個有理數(shù)與0的積為0，不可能是1，所以0沒有倒數(shù)。（12）除法的運算法則：法則一：除以一個數(shù)等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)，即：a÷b=a (b0)法則一表明了有理數(shù)的除法和乘法可以互相轉(zhuǎn)化，由于0沒有倒數(shù)，所以除數(shù)不能為0.法則二：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數(shù)，得0.（13）關(guān)于運算律因為除法可以

5、轉(zhuǎn)化成乘法，所以乘法的運算律有的在除法中適用，但是乘法的交換律和結(jié)合律在除法中是不適用的，如6÷55÷6，（6÷2）÷36÷（2÷3）（14）乘方的有關(guān)概念求n個相同因數(shù)a的積的運算叫乘方，乘方的結(jié)果叫冪a叫底數(shù)，n叫指數(shù)，an讀作：a的n次冪(a的n次方)乘方的意義：an表示n個a相乘如：(3)3(3)×(3)×(3)，表示3個(3)相乘(15)寫法的注意：當(dāng)?shù)讛?shù)是負數(shù)或分數(shù)時，底數(shù)一定要打括號，不然意義就全變了如：()2×，表示兩個相乘而，表示2個1相乘的積除以3(2)2(2)×(2)，表示

6、兩個(2)相乘22(2×2)，表示2個2的乘積的相反數(shù)（16）乘方運算的符號規(guī)律正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)負數(shù)的奇次冪是負數(shù)負數(shù)的偶次冪是正數(shù)0的奇數(shù)次冪，偶次冪都是0所以，任何數(shù)的偶次冪都是正數(shù)或0（17）有理數(shù)的混合運算有理數(shù)的運算中，加減為一級運算，乘除為二級運算，乘方（及開方乘方的逆運算，以后將講到）為三級運算。對于有理數(shù)的混合運算，要特別注意運算順序及正確使用符號法則確定各步運算結(jié)果的符號。有理數(shù)的運算順序是：先算乘方，再算乘除，最后算加減，對于同級運算，一般從左到右依次進行。如果有括號，就先算括號內(nèi)的，且一般先算小括號內(nèi)的，再算中括號內(nèi)的，最后算大括號內(nèi)的。如果能利用運算律簡

7、化計算，可變更上面的運算順序，靈活處理。（18）為了加強與相關(guān)運算的聯(lián)系，利用計算器計算分散安排在相關(guān)內(nèi)容中。例如，教科書用計算器計算一些負數(shù)的乘方，進而探求負數(shù)的乘方的符號規(guī)律。學(xué)會了使用計算器進行有理數(shù)運算，較復(fù)雜的計算就可以用計算器完成。簡單的有理數(shù)運算仍需要學(xué)生熟練地用筆算完成?！緮?shù)學(xué)史料】數(shù)學(xué)符號的起源數(shù)學(xué)除了記數(shù)以外，還需要一套數(shù)學(xué)符號來表示數(shù)和數(shù)、數(shù)和形的相互關(guān)系。數(shù)學(xué)符號的發(fā)明和使用比數(shù)字晚，但是數(shù)量多得多?，F(xiàn)在常用的有200多個，初中數(shù)學(xué)書里就不下20多種。它們都有一段有趣的經(jīng)歷。例如加號曾經(jīng)有好幾種，現(xiàn)在通用"+"號。"+"號是由拉丁

8、文"et"（"和"的意思）演變而來的。十六世紀，意大利科學(xué)家塔塔里亞用意大利文"più"（加的意思）的第一個字母表示加，草為""最后都變成了"+"號。"-"號是從拉丁文"minus"（"減"的意思）演變來的，簡寫m，再省略掉字母，就成了"-"了。也有人說，賣酒的商人用"-"表示酒桶里的酒賣了多少。以后，當(dāng)把新酒灌入大桶的時候，就在"-"上加一豎，意思是把原線條勾銷，這

9、樣就成了個"+"號。到了十五世紀，德國數(shù)學(xué)家魏德美正式確定："+"用作加號，"-"用作減號。乘號曾經(jīng)用過十幾種，現(xiàn)在通用兩種。一個是"×"，最早是英國數(shù)學(xué)家奧屈特1631年提出的；一個是" "，最早是英國數(shù)學(xué)家赫銳奧特首創(chuàng)的。德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨認為："×"號象拉丁字母"X"，加以反對，而贊成用" "號。他自己還提出用""表示相乘?？墒沁@個符號現(xiàn)在應(yīng)用到集合論中去了。到了十八世紀，美國數(shù)學(xué)家歐德萊確

10、定，把"×"作為乘號。他認為"×"是"+"斜起來寫，是另一種表示增加的符號。"÷"最初作為減號，在歐洲大陸長期流行。直到1631年英國數(shù)學(xué)家奧屈特用"："表示除或比，另外有人用"-"（除線）表示除。后來瑞士數(shù)學(xué)家拉哈在他所著的代數(shù)學(xué)里，才根據(jù)群眾創(chuàng)造，正式將"÷"作為除號。平方根號曾經(jīng)用拉丁文"Radix"（根）的首尾兩個字母合并起來表示，十七世紀初葉，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒在他的幾何學(xué)中，第一次用&q

11、uot;"表示根號。"r"是由拉丁字線"r"變，"-"是括線。十六世紀法國數(shù)學(xué)家維葉特用"="表示兩個量的差別?？墒怯＝虼髮W(xué)數(shù)學(xué)、修辭學(xué)教授列考爾德覺得：用兩條平行而又相等的直線來表示兩數(shù)相等是最合適不過的了，于是等于符號"="就從1540年開始使用起來。1591年，法國數(shù)學(xué)家韋達在菱中大量使用這個符號，才逐漸為人們接受。十七世紀德國萊布尼茨廣泛使用了"="號，他還在幾何學(xué)中用""表示相似，用""表示全等。大于號"

12、;"和小于號""，是1631年英國著名代數(shù)學(xué)家赫銳奧特創(chuàng)用。至于"""、""這三個符號的出現(xiàn)，是很晚很晚的事了。大括號" "和中括號" "是代數(shù)創(chuàng)始人之一魏治德創(chuàng)造的?！局腔哿熊嚒?.有一種“二十四點”的游戲，其游戲規(guī)則是這樣的：任取四個1至13之間的自然數(shù)，將這四個數(shù)（每個數(shù)用且只能用一次）進行加減乘除四則運算，使其結(jié)果等于24。例如對1，2，3，4，可作如下運算：(1+2+3)×424（上述運算與4×(123)視為相同方法的運算）現(xiàn)有四個有理數(shù)3，4，

13、6，10，運用上述規(guī)則寫出三種不同方法的運算式，可以使用括號，使其結(jié)果等于24。運算式如下：（1） ，（2） ，（3） 。另有四個有理數(shù)3，5，7，13，可通過運算式（4） 使其結(jié)果等于24。2小亮的爸爸在一家合資企業(yè)工作，月工資2500元，按規(guī)定：其中800元是免稅的，其余部分要繳納個人所得稅，應(yīng)納稅部分又要分為兩部分，并按不同稅率納稅，即不超過500元的部分按5%的稅率；超過500元不超過2000元的部分則按10%的稅率，你能算出小亮的爸爸每月要繳納個人所得稅多少元？解：500×5%+（2500800500）×10%=145（元）因此，小亮的爸爸每月要繳納個人所得稅14

14、5元【中考欣賞】1.下表列出了國外幾個城市與北京的時差（帶正號的數(shù)表示同一時刻比北京的時間早的時數(shù)）。現(xiàn)在的北京時間是上午800（1）求現(xiàn)在紐約時間是多少？（2）斌斌現(xiàn)在想給遠在巴黎的姑媽打電話，你認為合適嗎？ 城 市時差/ 時紐 約13巴 黎7東 京1芝 加 哥14解：（1）上午8：00往前推13小時時前一天晚上19點。 （2）8+（-7）=1巴黎現(xiàn)在是凌晨1點，所以不合適。2.M國股民吉姆上星期六買進某公司股票1000股，每股27元，下表為本周內(nèi)每日該股票的漲跌情況（單位：元）星期一二三四五六每股漲跌+4+4.512.56+2（1）星期三收盤時，每股是多少元？（2）本周內(nèi)最高價是每股多少元？最低價是每股多少元？（3）已知吉姆買進股票時付了0.15%的手續(xù)費，賣出時需付成交額 0.15的手續(xù)費