相似三角形常見模型與型例題講解

1、第一部分相似三角形模型分析、相似三角形判定的基本模型認(rèn)識（一）A字型、反A字型（斜 A字型）C（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型（四）一線三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景（五）一線三直角型：（六）雙垂型：二、相似三角形判定的變化模型一線三等角的變形一線三直角的變形B第二部分相似三角形典型例題講解NDCAEG相關(guān)練習(xí)FFBC的延長線CF丄BE于FA到GME90HBDC5分)FGByAC(2)(3)雙垂型A疋DB(1)求證OA OE上的當(dāng)厶BEP-與 ABC相似時，求 BEP勺面積已知：如圖，在M EF(2 )

2、使DG=EF Ml AH的中點(1 )B求證：AE=2PE;4分，第（2）、（ 3）小題滿分各第（1）小題滿分5.（本題滿分14分，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域ABC 中，AB = AC, AD丄 BC 于 D , CG/ AB27和3一個動點，PDL AB交邊AC于點D （點D與點A C都不重合），E是射例2:已知：如圖DEB ABC ABC中，點 E在中線 AD上D E(第25題圖)線DC上一點，且/ EP=Z A.設(shè)A P兩點的距離為x, BEP的面積為D24.在 ABC中，AB=AC高AD與 BE交于H, EF BC，垂足為F,延長AD求證： GBMABC和厶BDE的面積分

3、另1、如圖，在 ABC中，/ A=60°, BD CE分別是AC AB上的高2求證：0CRt ABC中, Z C=90° , BC=2, AC=4, P是斜邊 ABDCE DAC.例3:已知：如圖，等腰求證：BE2 EF求證：（ABDA ACE （2） ADEA ABC （3）BC=2ED2、如圖，已知銳角 ABC , AD、CE分別是BC、AB邊上的高，3、已知：如圖，在 ABC中，Z ACB=90 , CDLAB于D, E是AC上一點 求證：EB- DF=AE- DB1、如圖，已知 AD ABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線.求證DB2 DE DA2、已知：AD是

4、Rt ABC中Z A的平分線 交于一點M母子型相似三角形例1:如圖，梯形 ABCD中，AD / BC,對角線 AC、BD交 于點0, BE / CD交CA延長線于E.求證：(1) AM3A NMD; (2)ND2 =NC- NB別交AD、AC于E、FC=90°, EF是AD的垂直平分線交DE=6 2，求：點B到直線AC的距離。共享型相似三角形1 > ABC是等邊三角形，D、B C E在一條直線上，/ DAE=I2O，已知BD=1, CE=3 ,求等邊三角形的邊長2、已知：如圖，在 Rt ABC 中，AB=AC,Z DAE =45°求證：(1) ABEACD ;(2)

5、BC2 2BE CD .一線三等角型相似三角形例1:如圖，等邊 ABC中，邊長為6, D是BC上動點，/ EDF=60°' '(1) 求證： BDE CFD(2) 當(dāng) BD=1, FC=3 時，求 BEE 'F例2: (1)在 ABC中，AB AC 5 , BC 8，點P、Q分別在射線CB、AC上(點P不與點C、點B重合)，且保持 APQ ABC B DC若點P在線段CB上(如圖)，且BP 6，求線段CQ的長;若BP x , CQ y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域;(2) 正 方形C ABCD的邊備用圖備用圖長為5 (如下圖)，點P、Q分別在直

6、線CB、DC上(點P不與點C、點B重合)，且保持 APQ 90 .當(dāng)CQ 1時，求出線段BP的長.DC知在梯形 ABCD中，AD /足 /AD v BC，且 AD = 5, AB= DC= 2.求AP的長.(2)如果點P在AD邊上移動(1)如圖8, P為AD上的一點，滿(點P與點A、D不重合)滿足/ BPE=Z A, PE交直線BC于點E,同時交直線 DC于點Q,那么當(dāng)點Q在線段DC的延長線上時，設(shè) AP = x, CQ= y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)CE= 1時，寫出AP的長.例4:如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC , AB CD BC 6 , AD 3 點M為

7、邊BC的中點，以 M為頂點作 EMF B，射線ME交腰AB于點E，射線MF交腰CD于點F，聯(lián)結(jié)EF .(1) 求證： MEF BEM ;(2) 若厶BEM是以BM為腰的等腰三角形，求 EF的長；(3) 若EF CD，求BE的長.相關(guān)練習(xí)：E在AC邊上，且1、如圖，在 ABC中，AB AC 8 , BC 10, D是BC邊上的一個動點，點ADE C .(1)求證： ABDDCE ；如果BD x , AE y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量 x的定義域;當(dāng)占=1 八、D是BC的中點時，試說明厶 ADE是什么三角形，并說明理由.2、如圖,已知在 ABC 中， AB=AC=6, BC=5, D 是

8、 AB 上一點，BD=2, BEBCD并作 DEF B，射線EF交線段AC于(1)求證： DBEECF ;當(dāng)F是線段AC中點時，求線段 BE的長;(3)聯(lián)結(jié)DF，如果 DEF與厶DBE相似，求FC的長.3、已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD V BC,且 BC =6, AB=DC=4, 點E是AB的中點.(1) 如圖，P為BC上的一點，且(2) 如果點P在BC邊上移動(點EPF = / C, PF交直線CD于點當(dāng)點F在線段CD的延長線上時，設(shè)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；BP=2 .求證： BEPCPD;P與點B、C不重合)，且滿足/F,同時交直線AD于點M ,那么BP=

9、 x , DF= y，求 y 關(guān)CX的取值范圍;設(shè)BE x,MN y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量以線段EF(3)(4)若AE 1，試求GMN的面積.一線二直角型相似二角形/ 例1、已知矩形ABCD中，CD=2 ,AD=3，點P是AD上的一個動點，且和點A,D不重合，過點P作PE CP , 交邊AB于點E,設(shè)PD x, AE y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x的取值范圍。AC 2例2、在ABC中,C 90o, AC4, BC 3,C是AB上的一點，且 竺 -，點P是AC上的一個備用AB5x, CQ y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系,并寫出定義域?！揪毩?xí)1】3在直角 ABC 中，C 90

10、°, AB 5,ta nB ,點 D 是 BC4點，點E是AB邊上的動點， DF DE交射線 AC于點F動點，PQCP交線段BC于點Q,(不與點B,C重合)，設(shè)AP(1) 、求AC和BC的長(2) 、當(dāng)EF/BC時，求BE的長。(3) 、連結(jié)EF,當(dāng) DEF和 ABC相似時，求BE的長。A【練習(xí)2】在直角三角形ABC中,C 90°, ABBC, D是AB邊上的一點，E是在AC邊上的一個動點,(與 A,C不重合)，DF DE , DF與射線BC相交于點F.(1)、當(dāng)點D是邊AB的中點時，求證DEDFt ADDE砧居(2)、當(dāng)m，求的值DBDF(3)、當(dāng) AC BCc AD 16,設(shè)AEx,BFy,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域DB 2【練習(xí)4】如圖，在ABC 中，C90,AC6 , ta n B3,D是BC邊的中點，E為AB邊上4的一個動點，作DEF 90，EF交射線BC于點F 設(shè)BE x， BED的面積為y .(1 )求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍；(2)如果以B、E、F為頂點的三角形與 BED相似，求 BED的面積【練習(xí)5】、(2009年黃