計數(shù)原理與排列組合概率附概率分布知識概述

1、、計數(shù)原理與排列組合解決計數(shù)應用題時，要認真審題，弄清楚問題的背景：搞清問題是否 “有序”，即不同元素間是否有先后順序、位置差異或識別區(qū)分， 從而分清是排列問題還是組合問題；弄清目標的實現(xiàn)是該分步實行還是需要分類研究，復雜的問題一般是先按元素的性質(zhì)分類， 再按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，操作上一般遵循先選元素（組合）后排列的原則分類時要 明確標準，做到不重復不遺漏，類與類之間是“互斥”關系，而分步時要注意各步間的連續(xù) 性； 準確分清弄清題目中的關鍵字眼，如“在”與“不在”，“相鄰”與“不相鄰”，“至少”與“至多”，“有”與“恰好有”等復雜的計數(shù)問題常常通過枚舉試驗、列表畫圖（樹 形圖）、小數(shù)字簡化

2、等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑；或者利用轉(zhuǎn)化的思想，把問 題轉(zhuǎn)化為若干簡單的基本問題后再用兩個原理去求解.由于結(jié)果的正確性難以直接檢驗，因而常需要用不同的方法求解來獲得檢驗，例如，“正面算”與“反面剔”等提倡一題多解.常見的解題策略有：特殊元素特殊位置優(yōu)先安排（不全相鄰，排除處理）（相間排列，定位處理）順序一定兀素再依序入座）相鄰元素捆綁法（內(nèi)部先排，團體與其他元素一起再排） 不相鄰問題插空法（其他元素先排得空，不相鄰元素插空）順序一定問題他人先坐法（只要先將其他元素安排就座,或者，順序一定問題用“除法”（先全體元素全排，再除以順序一定元素的全排） 多面手問題集合法（畫出韋恩圖，按某一類

3、的元素入選情況分類）“至多”、“至少”問題分類處理或間接排除 分排問題直排處理；混合問題先選后排；復雜問題窮舉畫圖，分類討論，間接排除，構(gòu)造處理有序分組（組有標識區(qū)別或個數(shù)有差異）依次分配；無序均分（組無區(qū)分）先分配再除法；（防止重復，體會“分步乘法即有序”）各組元素個數(shù)不定問題先依次分配再乘法處理. 個數(shù)不定的分類組合（每組至少一個）問題，隔板處理 相同元素隔板處理（無限制要求的一字排開，隔板（代表限制元素）插空）（或者把無限制元素理解成順序一定）、古典概型古典概型的特征： 基本事件是有限的； 基本事件都是等可能的. 解決古典概型的基本步驟：明確所有基本事件，確定它們是等可能的，確定它們的個

4、數(shù)n，確定事件A包含的基本事件的個數(shù) m，利用古典概型的概率計算公式P(A)=m計算概率.n在古典概型中，難點之一是從怎樣的角度看基本事件，選擇最優(yōu)的方式解決；難點之是計數(shù)問題，涉及到是排列還是組合的問題.古典概型的解題規(guī)范： 建立計數(shù)模型，并確定總的(等可能)基本事件數(shù)；(建模方法：標識編號并枚舉 /列圖表/畫樹形圖/排列組合模型) 交代等可能性：“每個基本事件的發(fā)生是等可能的”； 標記所求事件A，并確定事件 A包含的基本事件數(shù)； 由古典概型的概率計算公式，計算P(A)的值； 答：所求事件 A發(fā)生的概率是P(A).三、幾何概型幾何概型的特征： 基本事件是無限的； 基本事件都是等可能的； 幾何

5、概型的概率計算公式(d的測度P A " D的測度在幾何概型中，應緊緊抓住“基本事件是點”這條主線，難點是將一些實際問題轉(zhuǎn)化成幾何概型問題.解題中要關注等可能的切入維度，關注隨機點需要 幾個變量來控制(一維線段長度、二維平面區(qū)域面積、三維空間體積)幾何概型的解題規(guī)范： 標記所求事件A ； 建立幾何模型，交代隨機點出現(xiàn)在區(qū)域內(nèi)任一點處是等可能的； 確定幾何區(qū)域D和d (當且僅當隨機點落在區(qū)域 d內(nèi)時事件A發(fā)生)； 計算D和d的測度，由幾何概型的概率計算公式，計算概率P(A)； 答：所求事件 A發(fā)生的概率是P(A).四、互斥事件與對立事件互斥(對立)事件的概率解題規(guī)范： 標識相關互斥事件

6、A、B等(常標識至每個單位互斥事件A (i=1, 2,1, n); 交代事件A、B等彼此互斥； 計算出各相關互斥事件的概率P(A)、P(B)等； 標記所求和事件 A B，由互斥事件的概率加法公式計算P(A - BP(A) P(B)；或者，標記所求對立事件A，由對立事件的概率公式，計算P(A)=1-P(A)； 答：所求事件 A發(fā)生的概率是P（A）.五、隨機變量的概率分布列隨機變量是隨機事件的數(shù)量化，把隨機實驗的每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）對應于一個實數(shù)，即用一個數(shù)來表示一個結(jié)果，這樣就建立了從隨機實驗的每一個可能的結(jié)果的 集合到實數(shù)集的映射.引進隨機變量后，了解隨機現(xiàn)象的規(guī)律轉(zhuǎn)化為了解隨機變

7、量的所有可 能取值以及隨機變量取各個值的概率（也就是隨機變量的概率分布列）由于隨機現(xiàn)象所有可能的結(jié)果的集合門對應的事件是一個必然事件，概率是1 ,而每一次實驗結(jié)果是11的一個“元素”，故隨機變量所有取值對應的概率和為1.求隨機變量的概率分布列的步驟： 明確隨機變量的所有取值； 指出隨機變量取每個值所表示的意義； 利用古典概型的知識求出隨機變量取每個值的概率； 按規(guī)范給出隨機變量的概率分布（列）表.六、超幾何分布超幾何分布模型的特征： 研究的是兩類對象，一類看作正品，一類看作次品（與要發(fā)生的事件相關，數(shù)目較少）； 每類對象的數(shù)目確定（次品M件，正品N -M件，總產(chǎn)品共N件）； 從中抽取n件，即無

8、放回的抽樣考察； 研究取出某類對象的個數(shù)的概率分布（隨機變量'為抽到次品的件數(shù)，求恰好抽到kCk c nd件次品的概率 P（匕=k） =H（k; n, M , N） = M 嚴 （k=0, 1 2,川，min n, M）；N 若U H（n, M , N），在公式中，分子兩組合數(shù)的上標之和等于分母組合數(shù)的上標， 分子兩組合數(shù)的下標之和等于分母組合數(shù)的下標，這也是判斷一個隨機變量是否服 從超幾何分布的一個方面.超幾何分布模型的解題規(guī)范： 標識各類產(chǎn)品及具體數(shù)目（將多少件什么看作一批產(chǎn)品，多少件什么看作正品，多少件什么看作次品）從中（不放回）隨機抽取多少件； 引進隨機變量，交代隨機變量服從怎

9、樣的超幾何分布； 標記所求事件，并用超幾何分布的概率表示所求事件的概率； 答（按題目要求詳細、明確回答）例題（2006山東文改編）盒中裝著標有數(shù)字 1 , 2 , 3 , 4的藍色卡片4張，標有數(shù)字1 , 2 ,3，4的紅色卡片4張，現(xiàn)從盒中任意任取 3張，每張卡片被抽出的可能性都相等，設取到一張求紅色卡片記 2分，取到藍色卡片記1分，以X表示抽出的3張卡片的總得分，Y表示抽出的3張卡片上最大的數(shù)字，求 X和Y的概率分布.解：設盒中8張卡片為一批產(chǎn)品，其中藍色的為不合格品，依題意，隨機變量X的可能取值為3，4，5，6，相應地，藍色卡片被抽出的張數(shù)Z為3，2，1，0 由題意，隨機變量Z J H

10、(3, 4, 8) P(X =3) =P(Z =3) =H(3; 3, 4, 8)二C：C056P(X =4)二 P(Z =2) =H(2; 3, 4, 8)=c：c4"CT2456，P(X =5) =P(Z =1)=H(1; 3, 4, 8)二c4c2CT2456 ,P(X =6) =P(Z =0) =H(0； 3, 4, 8)二C4C4CT4拄故X的概率分布為:5/6X3456P42424456565656 由于Y表示抽出的3張卡片中的最大數(shù)字，則隨機變量Y可能的取值為2 , 3, 4 當Y=2時，表示抽出的3張卡片中最大數(shù)字為 2，它包含兩種情況：2張2 , 1張1 ;或1張2

11、 , 2張1 所以，由古典概型，得P（Y =2） FC2 3C2c2二丄C814當Y=3時，表示抽出的3張卡片中最大數(shù)字為它包含兩種情況：2張3 , 1張為1或2 ;或1張3，另兩張為1或2 所以，由古典概型,p（y訃斗乞7;當Y=4時，表示抽出的3張卡片中最大數(shù)字為它包含兩種情況：2張4 ,1張為1或2或3 ;或1張4，另兩張為1或2或3 由古典概型，得P(Y =4)二C2C6 ' C2 C614所以，隨機變量 Y的概率分布為:Y234P12914714七、條件概率條件概率P(B|A)(在事件A已發(fā)生的條件下事件 B發(fā)生的概率)條件概率是指當試驗結(jié)果的一部分信息已知(即在原隨機試驗的

12、條件上，再加上一件事已發(fā)生的條件)求另一件事在此條件下發(fā)生的概率一般不放回問題?？捎脳l件概率解決.計常;P(AB)=P(A)P(B|A); P(ABC)=P(A)P(B|A)P(CIAB);當 B , C 互斥時，有 P(B C) | A) =P(B |A) P(C |A) 條件概率問題的解題規(guī)范： 標識各相關事件(一般第i次(步)抽到什么為事件 A )； 說明所求事件可以轉(zhuǎn)化為什么樣的條件概率; 利用條件概率的相關公式求其概率； 答(按題目要求詳細、明確回答)八、事件的獨立性事件A與B獨立，是指一個事件的發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響，即P(A|B) =P(A) = P(AB) =P(

13、A)P(B).有放回問題多為獨立事件模型.若事件A , B相互獨立，則A與B , A與B , A與B之間也相互獨立. 獨立事件問題的解題規(guī)范： 標識各相關事件(A , B等)； 交代它們相互獨立； 標識所求事件，并用獨立事件表示； 利用乘法公式求概率； 答(按題目要求詳細、明確回答)例題(2009湖南文)為拉動經(jīng)濟增長，某市決定新建一批重點工程，分別為基礎設施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設工程三類，這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的現(xiàn)有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設求：他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率； 至少有1人選擇的項目屬于民生工程的概率.解：記第i工人選擇的項目屬于基礎設施工程、

14、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設工程分別為事件A ,Bi ,G(i=1,2, 3) 由題意知 A ,A2,A 相互獨立，B1 ,B2,B3 相互獨立，G , C2,1C3相互獨立，A, Bj,Ck(i,j, k=1,2,3,且i, j,k互不相同)相互獨立，且P(AP21 1P(Bi)=丄,P(G)=丄 記“他們選擇的項目所屬類別互不相同”為事件A，則A#BG336A1B3C2 A2B1C3 A2B3C1 A3B1C2 A3B2C1 ，P(A) =6 P(AiB2C3)=6 P(A) P(B2)P(C3)1111=6x 丄=丄 記“至少有1人選擇民生工程項目” 為事件B，則PB) 1 RBBB2L2 3 6

15、61 319=1 _P(B1)P(B2)P(B3)=1 -(1-一):3 27九、二項分布n次獨立重復試驗(伯努利試驗)要從三個方面考慮：一是每次試驗在相同條件下進行；二是每次實驗相互獨立，即每次試驗與前后其他各次試驗的結(jié)果無關，不受影響從而，確 保事件A在相同條件下發(fā)生的概率 P(A)二p 0保持不變；三是每次實驗的結(jié)果只有兩種對 立狀態(tài)，即要么事件 A發(fā)生，要么事件 A發(fā)生在n次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件 A發(fā)生的概率為p (0 ： p ：1)，那么在n次獨立重復試驗中，設 事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(x=k) =C；pk(1p)n±, (k=0, 1 2, n)，此時稱隨機變 量X服從二項分布，記作 X J B( n, p) 二項分布問題的解題規(guī)范： 標識事件A，求出事件A發(fā)生的概率p ; 指出每次試驗(事件 A發(fā)生一次)相互獨立，引進隨機變量X , XLI B(n, p); 將所求事件用隨機變量的取值表示； 用二項分布概率公式計算概率； 答(按題目要求詳細、明確回答)十、隨