初中數學的幾何最值問題(共18頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上1. （2012山東濟南3分）如圖，MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為【 】ABC5D2.（2012湖北鄂州3分）在銳角三角形ABC中，BC=，ABC=45°，BD平分ABC，M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是 。3.（2011四川涼山5分）如圖，圓柱底面半徑為，高為，點A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側面繞3圈到B，求棉線最短為

2、 。4. （2012四川眉山3分）在ABC中，AB5，AC3，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是 5.（2011湖北荊門3分）如圖，長方體的底面邊長分別為2和4，高為5.若一只螞蟻從P點開始經過4個側面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為【 】A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm6.（2011廣西貴港2分）如圖所示，在邊長為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點，點P為線段EF上一個動點，連接BP、GP，則BPG的周長的最小值是 7.（2012浙江臺州4分）如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD

3、，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為A1 B C 2 D18.（2012四川廣元3分） 如圖，點A的坐標為（-1，0），點B在直線上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為【 】A.（0，0） B.（，） C.（，） D.（，）9. （2012浙江寧波3分）如圖，ABC中，BAC=60°，ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫O分別交AB，AC于E，F，連接EF，則線段EF長度的最小值為 10.（2012江蘇連云港12分）已知梯形ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3，問題1：如圖1，P為AB邊上的一點，以PD，PC為邊作平行四邊

4、形PCQD，請問對角線PQ，DC的長能否相等，為什么？問題2：如圖2，若P為AB邊上一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由問題3：若P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DEPD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由問題4：如圖3，若P為DC邊上任意一點，延長PA到E，使AEnPA(n為常數)，以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由11.

5、（2012四川自貢12分）如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120°，AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BCCD上滑動，且E、F不與BCD重合（1）證明不論E、F在BCCD上如何滑動，總有BE=CF；（2）當點E、F在BCCD上滑動時，分別探討四邊形AECF和CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最?。┲?2. （2012福建南平14分）如圖，在ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且1=B=C（1）由題設條件，請寫出三個正確結論：（要求不再添加其他字母和輔助線，找結論過程中添加的字母和輔助線不能出現在結論中，不必

6、證明）答：結論一： ；結論二： ；結論三： （2）若B=45°，BC=2，當點D在BC上運動時（點D不與B、C重合），求CE的最大值；若ADE是等腰三角形，求此時BD的長（注意：在第（2）的求解過程中，若有運用（1）中得出的結論，須加以證明）13.（2011四川南充8分）如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=AB=CD=2，C=60°，M是BC的中點（1）求證：MDC是等邊三角形；（2）將MDC繞點M旋轉，當MD（即MD）與AB交于一點E，MC（即MC）同時與AD交于一點F時，點E，F和點A構成AEF試探究AEF的周長是否存在最小值如果不存在，請說明理由；如果存在，請計

7、算出AEF周長的最小值14.（2011浙江臺州4分）如圖，O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PQ切O于點Q，則PQ的最小值為【 】15.（2011云南昆明12分）如圖，在RtABC中，C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點P從點A出發(fā)沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發(fā)沿BCA方向向點A運動，速度為2cm/s，當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動（1）求AC、BC的長；（2）設點P的運動時間為x（秒），PBQ的面積為y（cm2），當PBQ存在時，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）當點Q在

8、CA上運動，使PQAB時，以點B、P、Q為定點的三角形與ABC是否相似，請說明理由；（4）當x=5秒時，在直線PQ上是否存在一點M，使BCM得周長最小，若存在，求出最小周長，若不存在，請說明理由16. （2012山東青島3分）如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為 cm17. （2012甘肅蘭州4分）如圖，四邊形ABCD中，BAD120°，BD90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使AMN周長最小時，則AMNANM的度數為【 】A130

9、° B120° C110° D100°18. （2012福建莆田4分）點A、均在由面積為1的相同小矩形組成的網格的格點上，建立平面直角坐標系如圖所示若P是x軸上使得的值最大的點，Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點，則19. （2012湖北十堰6分）閱讀材料：例：說明代數式 的幾何意義，并求它的最小值解： ，如圖，建立平面直角坐標系，點P（x，0）是x軸上一點，則可以看成點P與點A（0，1）的距離，可以看成點P與點B（3，2）的距離，所以原代數式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PAPB的最小值設點A關于x軸的對稱點為A，則PA=PA，因

10、此，求PAPB的最小值，只需求PAPB的最小值，而點A、B間的直線段距離最短，所以PAPB的最小值為線段AB的長度為此，構造直角三角形ACB，因為AC=3，CB=3，所以AB=3，即原式的最小值為3。根據以上閱讀材料，解答下列問題：（1）代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B 的距離之和（填寫點B的坐標）（2）代數式 的最小值為 20.（2012江蘇揚州3分）如圖，線段AB的長為2，C為AB上一個動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側作兩個等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE長的最小值是21.（2012廣東廣州14分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，

11、BC=10，F為AD的中點，CEAB于E，設ABC=（60°90°）（1）當=60°時，求CE的長；（2）當60°90°時，是否存在正整數k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由連接CF，當CE2CF2取最大值時，求tanDCF的值22.（2012江蘇鎮(zhèn)江11分）等邊ABC的邊長為2，P是BC邊上的任一點（與B、C不重合），連接AP，以AP為邊向兩側作等邊APD和等邊APE，分別與邊AB、AC交于點M、N（如圖1）。（1）求證：AM=AN；（2）設BP=x。若，BM=，求x的值；記四邊形ADPE與ABC重疊部分的面積為

12、S，求S與x之間的函數關系式以及S的最小值；連接DE，分別與邊AB、AC交于點G、H（如圖2），當x取何值時，BAD=150？并判斷此時以DG、GH、HE這三條線段為邊構成的三角形是什么特殊三角形，請說明理由。23.（2012江蘇蘇州8分）如圖，已知半徑為2的O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C，PC與O交于點D，連接PA、PB，設PC的長為. 當 時，求弦PA、PB的長度；當x為何值時，的值最大？最大值是多少？24.（2012陜西省12分）如圖，正三角形ABC的邊長為（1）如圖，正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上，頂點N在邊AC上在正三角形A

13、BC及其內部，以A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面積最大（不要求寫作法）；（2）求（1）中作出的正方形的邊長；（3）如圖，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在邊AB上，點P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個正方形面積和的最大值及最小值，并說明理由25.（2012四川宜賓12分）如圖，在ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF，將DEF與ABC重合在一起，ABC不動，ABC不動，DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE、始終經過點A，EF與AC交于M點（1）求證：ABEECM；（2）探究：在DEF運動過程中

14、，重疊部分能否構成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；（3）當線段AM最短時，求重疊部分的面積26.（2012湖南婁底10分）如圖，在ABC中，AB=AC，B=30°，BC=8，D在邊BC上，E在線段DC上，DE=4，DEF是等邊三角形，邊DF交邊AB于點M，邊EF交邊AC于點N（1）求證：BMDCNE；（2）當BD為何值時，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切？（3）設BD=x，五邊形ANEDM的面積為y，求y與x之間的函數解析式（要求寫出自變量x的取值范圍）；當x為何值時，y有最大值？并求y的最大值27.（2012河北省12分）如圖1和2，在ABC中，AB=13

15、，BC=14，cosABC=探究：如圖1，AHBC于點H，則AH= ，AC= ，ABC的面積SABC= ；拓展：如圖2，點D在AC上（可與點A，C重合），分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E，F，設BD=x，AE=m，CF=n（當點D與點A重合時，我們認為SABD=0）（1）用含x，m，n的代數式表示SABD及SCBD；（2）求（m+n）與x的函數關系式，并求（m+n）的最大值和最小值；（3）對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D，指出這樣的x的取值范圍發(fā)現：請你確定一條直線，使得A、B、C三點到這條直線的距離之和最小（不必寫出過程），并寫出這個最小值28.（2011河北省10分）如圖1

16、至圖4中，兩平行線AB、CD間的距離均為6，點M為AB上一定點思考如圖1，圓心為0的半圓形紙片在AB，CD之間（包括AB，CD），其直徑MN在AB上，MN=8，點P為半圓上一點，設MOP=當= 度時，點P到CD的距離最小，最小值為 探究一在圖1的基礎上，以點M為旋轉中心，在AB，CD 之間順時針旋轉該半圓形紙片，直到不能再轉動為止，如圖2，得到最大旋轉角BMO= 度，此時點N到CD的距離是 探究二將如圖1中的扇形紙片NOP按下面對的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點M在AB，CD之間順時針旋轉（1）如圖3，當=60°時，求在旋轉過程中，點P到CD的最小距離，并請指出旋轉角BMO的最大值；

17、（2）如圖4，在扇形紙片MOP旋轉過程中，要保證點P能落在直線CD上，請確定的取值范圍（參考數椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=）29.（2011陜西省12分）如圖，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使B落在邊AD（含端點）上，落點記為E，這時折痕與邊BC或者邊CD（含端點）交于F，然后展開鋪平，則以B、E、F為頂點的三角形BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCD的任意一個“折痕BEF”是一個 三角形（2）如圖、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，當它的“折痕BEF”的頂點E位于AD的中點時，畫出這個“折痕

18、BEF”，并求出點F的坐標；（3）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，該矩形是否存在面積最大的“折痕BEF”？若存在，說明理由，并求出此時點E的坐標？若不存在，為什么？圖 圖 圖 圖30.（四川資陽9分）在一次機器人測試中，要求機器人從A出發(fā)到達B處如圖1，已知點A在O的正西方600cm處，B在O的正北方300cm處，且機器人在射線AO及其右側(AO下方)區(qū)域的速度為20cm/秒，在射線AO的左側(AO上方)區(qū)域的速度為10cm/秒(1) 分別求機器人沿AOB路線和沿AB路線到達B處所用的時間(精確到秒)；(3分)(2) 若OCB=45°，求機器人沿ACB路線到達B處所用的時

19、間(精確到秒)；(3分)(3) 如圖2,作OAD=30°，再作BEAD于E,交OA于P試說明：從A出發(fā)到達B處，機器人沿APB路線行進所用時間最短(3分)(參考數據：1.414，1.732，2.236，2.449)31.（2011安徽省12分）在ABC中，ACB90°，ABC30°，將ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為(0°180°)，得到A1B1C(1)如圖1，當ABCB1時，設A1B1與BC相交于點D證明：A1CD是等邊三角形； (2)如圖2，連接AA1、BB1，設ACA1和BCB1的面積分別為S1、S2求證：S1S213；(3) 如圖3，

20、設AC的中點為E，A1B1的中點為P，ACa，連接EP當 °時，EP的長度最大，最大值為 32如圖，已知直線a/b，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB=.試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MNa且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB=（ ）A6B8C10D12（2007南京）在平面內，先將一個多邊形以點O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為k，并且原多邊形上的任一點P，它的對應點P在線段OP或其延長線上；接著將所得多邊形以點O為旋轉中心，逆時針旋轉一個角度，這種經過和旋轉的圖形變換叫做旋轉相似變換，

21、記為O（k，），其中點O叫做旋轉相似中心，k叫做相似比，叫做旋轉角（1）填空：如圖1，將ABC以點A為旋轉相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉60°，得到ADE，這個旋轉相似變換記為A( _，_°）；如圖2，ABC是邊長為1cm的等邊三角形，將它作旋轉相似變換A（，90°），得到ADE，則線段BD的長為_cm；（2）如圖3，分別以銳角三角形ABC的三邊AB，BC，CA為邊向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，點O1，O2，O3分別是這三個正方形的對角線交點，試分別利用AO1O3與ABI，CIB與CAO2之間的關系，運用旋轉相似變換的知識說明線段O1O3與A

22、O2之間的關系33.如圖是一個幾何體的三視圖（1）寫出這個幾何體的名稱；（2）根據所示數據計算這個幾何體的表面積；（3）如果一只螞蟻要從這個幾何體中的點B出發(fā)，沿表面爬到AC的中點D，請你求出這個線路的最短路程 34.在RtABC中，C=90°，AC=1，BC=，點O為RtABC內一點，連接A0、BO、CO,且AOC=COB=BOA=120°，按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）：以點B為旋轉中心，將AOB繞點B順時針方向旋轉60°，得到AOB（得到A、O的對應點分別為點A、O），并回答下列問題：ABC=_,ABC=_,OA+OB+OC=_.35.如圖，AB是

23、O的一條弦，點C是O上一動點，且ACB=30°，點E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與O交于G、H兩點.若O的半徑為7，則GE+FH的最大值為 .36（3分）（2013蘇州）如圖，在平面直角坐標系中，RtOAB的頂點A在x軸的正半軸上頂點B的坐標為（3，），點C的坐標為（，0），點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PC的最小值為（）ABCD237（2012浙江麗水，16，4分）如圖，點P是反比例函數；圖象上的點，PA垂直軸于點，點C的坐標為，PC交軸于點B，連結AB，已知（1）的值是_；（2）若是該反比例函數圖象上的點，且滿足，則的取值范圍是_38（10分）（2013六盤水）（1

24、）觀察發(fā)現 如圖（1）：若點A、B在直線m同側，在直線m上找一點P，使AP+BP的值最小，做法如下： 作點B關于直線m的對稱點B，連接AB，與直線m的交點就是所求的點P，線段AB的長度即為AP+BP的最小值 如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小，做法如下：作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為 （2）實踐運用 如圖（3）：已知O的直徑CD為2，的度數為60°，點B是的中點，在直徑CD上作出點P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為 （3）拓展延伸