江西省南昌市2017_2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文

1、-1 - 2017 2018學(xué)年度上學(xué)期期中考試 高二數(shù)學(xué)（文）試卷 、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 項(xiàng)是符合題目要求的） 1.直線 3x .3y1 =0 的傾斜角為（ 2點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（-1,1），則它的極坐標(biāo)為 3 D.(2, -兀) 2 3.拋物線x = -4y的準(zhǔn)線方程為（ 2 2 2 x 2 5.圓x y -4x，3=0的圓心到雙曲線 y =1的漸近線的距離為（ ） 3 A.1 B.2 C.3 D.4 6.若雙曲線 G 以橢圓C2 : 2 x 16 2 y 25 二1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)， 以橢圓 C2長軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)， 則雙曲

2、 線C 勺的方程為（ ） 2 2 2 2 2 2 2 2 A. x y “ 1 B. y x =1 C. 丄=1 y x “ D. 1 9 16 9 16 16 25 16 25 1 7.過兩直線x - J3y +1 = 0和J3x + y - J3 = 0的交點(diǎn)，并與原點(diǎn)的距離等于 2的直線有 A.150 0 B.120 0 C.600 D.30 0 B（2，=） 1 A. x = 16 1 B. X = 16 4.圓 C : (x -25的位置關(guān)系是 A.相離 B.相交 C.相切 D.內(nèi)含 （ ）條 A.0 B.1 2 2 8.若橢圓 y =1 的弦被點(diǎn)（4, 36 9 C. 2 D.3

3、平分，則此弦所在的直線方程為（ -2 - 2 10. A、B分別是橢圓x y2 =1的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)， C是該橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) C到直 3 線A B的距離的最大值為（ 2 12.如圖，已知拋物線 y -4x的焦點(diǎn)為F，直線I過F且依次交拋物線 1于點(diǎn)A, B,C, D四點(diǎn),則| AB| 4|CD |的最小值 4 為（ ） 、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，把答案填在題中的橫線上） x 二 1 亠 4t 13.直線 （t為參數(shù)）的斜率為 . _ ly 二-1 3t 2 2 14.已知直線2x - y 2 = 0經(jīng)過橢圓=1 （a b 0）的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，那么 a

4、 b 這個(gè)橢圓的方程為 _ . _ 2 2 15. 設(shè)M為橢圓 竺 y 1上的一個(gè)點(diǎn)，F(xiàn), , F2為焦點(diǎn)，.F,MF2 =60，則 MF,F2的 A. x- 2y= 0 B. x+ 2y- 4=0 C. x+ 2y- 8=0 D. 2x+ 13y- 34= 0 9. 一動(dòng)圓與兩圓x2 2 y -8y，12 = 0都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡是 （） A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D. 雙曲線一支 B.,3 _ 、6 - . 3 C. 2 DV6 + 3 2 2 11.已知直線l : y =2x 3被橢圓C:篤再=1（a b - 0）截得的弦長為 a b 2017,則下列直線 中被橢圓C截得的弦長

5、一定為 2017 的有（ ） A.1 條 B.2 條 C.3 條 D.4 條 及圓(x -1)2 y2 - D. 2 -3 - 25 9 面積為 _ . 2 2 X V 16. 已知FI,F2是雙曲線2 =1 a 0,b 0的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) M在雙曲線的右支 a b 上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，：OMF2是以M為頂點(diǎn)的等腰三角形， 其面積是 c2，則雙曲線C 4 的離心率是 _ . _ 三、解答題（本大題共 6 小題，共 70 分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17 .（本小題滿分 10 分） 已知過拋物線y2 =2px（p 0）的焦點(diǎn)，且平行于直線 V = 2 2x的直線交拋物線于 A（

6、x1, y1）、B（x2,y2）（ x, ： x2）兩點(diǎn)，若 |AB|=，求該拋物線的方程. 18 .（本小題滿分 12 分） x十亞t 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 2 （ t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與 I q億 廠1寸 直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn) O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓 C的 極坐標(biāo)方程為，2-6COST，5=0，圓C與直線l交于A，B兩點(diǎn)，P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（1,1）. （I）將直線I的參數(shù)方程化為普通方程，圓 C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； （n）求PA + PB的值.-4 - 19 .(本小題滿分 12 分) 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上的一橢圓

7、與一雙曲線有共同的焦點(diǎn) Fi, F2,且|尸冋=2.13 , 橢圓的長半軸與雙曲線實(shí)半軸之差為 4，離心率之比為 3 : 7. (I)求這兩曲線的方程； (H)若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求 cos / FiPB的值 20. (本小題滿分 12 分) 已知圓C的圓心在直線x - y -1 = 0上，且與直線2x y二0相切，被直線x 2 0截 得的弦長為 5 (I)求圓C的方程； (n)若x、y滿足圓C的方程，求x2 y2 4x 2y的取值范圍-5 - 21. (本小題滿分 12 分) 2 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)， M是橢圓 y1上的點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足OP =20M . 2 (I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程

8、； (n)若直線I : y = x m m = 0與曲線C相交于A , B兩個(gè)不同點(diǎn)，求LOAB面積 的最大值. 22. (本小題滿分 12 分) y2 x2 J3 廠 1 已知橢圓弓牛=1(a b 0)過點(diǎn)(亠川3)，離心率為一 a2 b2 2 2 (I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (n)過橢圓的上頂點(diǎn)作直線 I交拋物線x2 =2y于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn). 求證： OA _ OB ； 設(shè)OA、OB分別與橢圓相交于 C、D兩點(diǎn)，過原點(diǎn)O作直線CD的垂線OH , -6 - 垂足為H，證明： OH 為定值 -7 - 南昌二中 2017 2018 學(xué)年度上學(xué)期期中考試 高二數(shù)學(xué)（文）試卷參考答案 一、 選擇

9、題 1 5 BACBA 6 10 BCCDD 11 12 CB 二、 填空題 3 2 2 _ 廠 13. - 14. X y 1 15. 3、3 16. .3 1 4 5 4 三、 解答題 17.解：直線AB的方程是y =2、2（x -號），與y2 =2px聯(lián)立，從而有4x2 -5px p2 =0， 所以x1 . x2 =竺, 4 由拋物線定義得| AB | =論 x2 p =竺 p = 9，二p = 2 , 4 2 從而拋物線方程為 y2 =4x . 2 2 2 2 把= x y , x =cos v，代入-6 COST *5 = 0，得: 圓C的直角坐標(biāo)方程 x2 y2 -6x 5 = 0

10、 , 即 x-32 y2 =4. . 6 分 :十蛋 （n）把 2_ （t為參數(shù)）代入x-32，y2=4，化簡得： I “禺 y寧 t2 -32t 1=0，由于厶=18-4 =14 0 , 所以設(shè)t1 , t2是該方程的兩根.所以t! t3 2 ,址2 =1，所以t1 0,t2 - 0 ,又直線l過 P 1,1 ,所以 |PA| | PB|；a2 b2(|t1 | |t2 I) t2 =3.2 . . 12 分18.解: I)由 x=1芻 2 消去參數(shù)t，得到直線I的普通方程為 -8 - 由已知*忑設(shè)橢圓長半軸長，短半軸長分別為假b,雙曲線實(shí)半軸 長,虛半軸長分別為W a - UJ = 4 f

11、 則解得o = l, NJ-3. :川丸,圓方程為未+磊汀 1 竹 雙曲線方程為 A二L 不妨設(shè)卜D分別為左，右焦點(diǎn)，/是第一象限的一個(gè)交點(diǎn)，則|/；| + 麗| =臥|叭十“7 A|PFj|= 10, |/V-2| = 4.X|FiF2|=2VT3r :、cosZA t/*/ = Qr+42- (275): 4 2X 10X4 = 5 20. (I)解：設(shè)圓 C的圓心為(a,a-1)，半徑為R，則有: 2a (a -1) 所以圓C的方程為(x _2)2 - (y _1)2 =5. . 6 分 (n) x2 y2 4x 2y = (x 2)2 (y 1)2 _5， 設(shè) d =、(x 2)2 (

12、y 1)2 , P(-2,-1)19.解：(1) (2) 3、5)2 a 2(a 5 R2 解得丿 a =2 R = - 5 -9 - 所以 |CP| Rd |CP| R，因?yàn)?I CP 1=2,5，所以.5 Ed 乞 3. 5 所以0 md2 -5乞40, 從而x2 y2 4x 4y的取值范圍為0,40. 21 解：解：(“設(shè)點(diǎn)P優(yōu)川，加心閃，則由OP=2OM，得比川=2九川 ，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓 ，所以一 -，故一亠r I 1 4 2 2 1 8 4 即動(dòng)點(diǎn)，的軌跡1的方程為 . _ 8 4 (2)由曲線與直線聯(lián)立得亠門 ， _ y = x + i 消.得二：二_ 1 - I I，因?yàn)橹本€.與曲

13、線J交于，一兩點(diǎn)， 所以一二 L： :.，又.；11，所以. 因?yàn)辄c(diǎn).到直線.：.：丿一 1 “譏二-的距離；二, 所以- 邑2 3 2 (1+F)(為 + 駢-4陰= 曲(12曲 + (12 -L v ，當(dāng)且僅當(dāng):：- ，即”二r時(shí)取等號, 所以.J?面積的最大值為 22.解： 2 b2 =C2 =1 - 一2，所以 a a a2 ，即;:-， 2m - 8. x)= -10 - 又 2 ,2，解得2 , b3 , a 4b 2 X_=1 3 (2)證明：設(shè)AX，%)、B(x2,y2)，依題意，直線丨一定有斜率k , l的方程為y = kx，2 , 一 V = kx + 2 . 2 聯(lián)立方程

14、丿2 消去y得 x _2kx_4=0， i x2 =2y 2 2 X! x2 .x/2 - -4，又. W2 4，. x.)x2 yiy2 - -4 4 = 0, 2 2 .OA OB = 0. OA _ OB 證明：設(shè)C(x3, y3)、D(% ,y4)，直線CD的方程為y二mx n OA _ OB， OC _ OD， x3x4 y3y4 二 0 y mx n 聯(lián)立方程 x2 y2 消去 y 得(3m2 4)x2 6mnx 3n212 =0， 1 3 4 2 6mn 3n 12 X3 滄 2 ， X3X4 3m +4 3m +4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 “ x 2 3m n -