微積分基本定理教案)

1、1.6 微積分基本定理一：教學(xué)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)通過實(shí)例，直觀了解微積分基本定理的內(nèi)容，會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分過程與方法通過實(shí)例探求微分與定積分間的關(guān)系，體會微積分基本定理的重要意義情感態(tài)度與價值觀通過微積分基本定理的學(xué)習(xí)，體會事物間的相互轉(zhuǎn)化、對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生 辯證唯物主義觀點(diǎn)，提高理性思維能力。二：教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：通過探究變速直線運(yùn)動物體的速度與位移的關(guān)系，使學(xué)生直觀了解微積分基本定理 的含義，并能正確運(yùn)用基本定理計(jì)算簡單的定積分。難點(diǎn)：了解微積分基本定理的含義三：教學(xué)過程：1、 知識鏈接：定積分的概念：用定義計(jì)算的步驟：2、 合作探究：導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系；我們講過

2、用定積分定義計(jì)算定積分，但其計(jì)算過程比較復(fù)雜，所以不是求定積分的一般 方法。有沒有計(jì)算定積分的更直接方法，也是比較一般的方法呢？下面以變速直線運(yùn)動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系為例：設(shè)一物體沿直線作變速運(yùn)動，在時刻 t 時物體所在位置為 S(t),速度為 v(t) (v(t)_ o)，則物體在時間間隔衛(wèi)內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為Lv(t)dto汀1另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)S (t )在T,T2上的增量S(TJ-S(T2)來表達(dá)，即?v(t)dt=S(T!S(T2)T1而S(t)二v(t)o說出你的發(fā)現(xiàn)微積分基本定理對于一般函數(shù)f(x)，設(shè)F (x) = f (x)，是否也有bf

3、 (x)dx = F (b) - F (a)?a若上式成立， 我們就找到了用f(x)的原函數(shù)(即滿足F&)二f(x)的數(shù)值差F(b)-F(a)來計(jì)算f(x)在a,b上的定積分的方法。設(shè)F (x)二f(x)則在a,b上，/ y=F(b) _F(a)將a,b分成 n 等份，在第 i 個區(qū)間x“,xi上，記/ yi=F(Xi)-F(xi),則/y二刀/yi如下圖，因?yàn)? hi=f(x-1)/x 而/yihi所以/hi二刀 f(XM) /x 故/ y=lim 刀/ h 二刀 f(x1)即I f(x)dx=F(b) F(a)所以有微積分基本定理： 函數(shù)，則(此處并不要求學(xué)生理解證明的過程)為了方

4、便起見，還常用F(x)|：表示F(b)-F(a)，即該式稱之為微積分基本公式或牛頓一萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題，是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋 梁。它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時也提供計(jì)算定積分的一種有效方法，為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的 作用，不僅如此，它甚至給微積分學(xué)的發(fā)展帶來了深遠(yuǎn)的影響，是微積分學(xué)中最重要最輝煌的成果。應(yīng)用舉例 例 1.計(jì)算下列定積分：2131(1)/ -dx；(2)1(2x-p)dx。1x1x解：(1)因?yàn)?Inx)=1，x所以1dx = In x

5、I：= In 2In1 = In 2。1x(2) )因?yàn)?x2)=2x,(1)=-丄，x x31331所以(2x -p)dx =：12xdx-dx1x11x2 313122= x2|；|卜(9-1)七-“二丁。x331練習(xí)：計(jì)算x2dx解：由于1x3是x2的一個原函數(shù)，所以根據(jù)牛頓一萊布尼茲公式有31213 1_ 1313_1Ix dx x |0=1003333例 2.計(jì)算下列定積分：0sinxdx,sinxdx,0sin xdx由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。解：因?yàn)?-cosx)二sinx，所以 sin xdx二(-cosx) |0= (-cos二)-(-

6、cos0) = 2，2二2-_ sin xdx=(-cosx) (-cos2二)-(-cos二)=-2，2:二2 _osin xdx二(-cosx) |0= (-cos2二)(cos0) = 0.可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0:(I )當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸上方時(圖 1.6 一 3 )，定積分的值取正值，且等b/ x=a f (x)dx如果函數(shù)F(x)是a,b上的連續(xù)函數(shù)f(x)的任意一個原于曲邊梯形的面積；圖 1 . 6 一 3 ( 2)(2)當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸下方時(圖 1 . 6 一 4 )，定積分的值取負(fù)值， 且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；(3

7、 )當(dāng)位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時， 定積 分的值為 0 (圖1 . 6 一 5 )，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方 的曲邊梯形面積.例 3.汽車以每小時 32 公里速度行駛，到某處需要減速停車。設(shè)汽車以等減速度a=1.8 米/秒2剎車，問從幵始剎車到停車，汽車走了多少距離？解:首先要求出從剎車幵始到停車經(jīng)過了多少時間。當(dāng)t=0 時，汽車速度vo=32 公里/小時二32 1000米/秒 8.88 米/秒,剎車后汽車減速行駛，其速度為v(t)二v0- at=8.88-1.8t當(dāng)汽3600車停住時,速度v(t)=0,故從v(t)=8.

8、88-1.8t=0解得t=聖”4.93秒1.8于是在這段時間內(nèi)，汽車所走過的距離是4.934.9312=v(t)dt = (8.88 1.8t)dt=(8.881.8江?t2)21.90 米才能停住.微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系， 同時它也提供了計(jì)算定積分的 一種有效方法微積分基本定理是微積分學(xué)中最重要的定理，它使微積分學(xué)蓬勃發(fā)展起來, 成為一門影響深遠(yuǎn)的學(xué)科，可以毫不夸張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝 煌的成果.課堂練習(xí)課本 p55 練習(xí)-四：課堂小結(jié)：本節(jié)課借助于變速運(yùn)動物體的速度與路程的關(guān)系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式.成立，進(jìn)而推廣到了一般的函數(shù)，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積 分的簡便方法， 運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，這就要求大家前面的求導(dǎo) 數(shù)的知識比較熟練，希望，不明白的同學(xué)，回頭來多復(fù)習(xí)！五：教學(xué)后記：從教以來，一直困惑于一個問題：課堂上如何突出重點(diǎn)并突破難點(diǎn)。當(dāng)然，理論方面自 己早已爛