函數(shù)的對稱性與周期性重點(diǎn)

1、函數(shù)的對稱性與周期性 吳江市盛澤中學(xué)數(shù)學(xué)組 徐建東 對稱性：函數(shù)圖象存在的一種對稱關(guān)系，包括點(diǎn)對稱和線對稱。周期性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是D，若存在非零常數(shù)T，使得對任何x D，都有x+T D且 f(x+T)=f(x)，貝U函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，T為f(x)的一個周期。對稱性和周期性是函數(shù)的兩大重要性質(zhì)，他們之間是否存在著內(nèi)在的聯(lián)系呢？本 文就來研究一下它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，有不足之處望大家批評指正。一、一個函數(shù)關(guān)于兩個點(diǎn)對稱。命題1如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,O)(b芳對稱，那么函數(shù)y=f(x)是 周期函數(shù)，T=2(a-b)為函數(shù)y=f(x)的一個周期。證明：.函數(shù)

2、y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱， f(x)=-f(2a-x)對定義域內(nèi)的所有x成立。又函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)對稱， f(x)=-f(2b-x)對定義域內(nèi)的所有x成立。從而 f(2a-x)=f(2b-x) f2a-(2b-x)=f2b-(2b-x)=f(x)即：f(2a-2b)+x)=f(x) y=f(x)是周期函數(shù)， T=2(a-b)為函數(shù)y=f(x)的一個周期。 特例：當(dāng)a=0時，y=f(x)為奇函數(shù)，即奇函數(shù) y=f(x)如果又關(guān)于點(diǎn)(b,O)(b 列稱，那么函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，T=2b為函數(shù) y=f(x)的一個周期。命題1'：如果函數(shù)y=f(x)的

3、圖象關(guān)于兩點(diǎn)(a,b)和(c,d)對稱，那么：當(dāng)b=d，ac 時，y=f(x)是周期函數(shù)，T=2(a-c)為函數(shù)y=f(x)的一個周期。當(dāng)bd a時，y=f(x)不是周期函數(shù)。 證明：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對 稱， f(x)=2b-f(2a-x)對定義域內(nèi)的所有x成立。又函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn) (c,d)對稱， f(x)=2d-f(2c-x)對定義域內(nèi)的所有 x 成立。從而 2b-f(2a-x)=2d-f(2c-x)10 當(dāng) b=d，a 時 f(2a-x)=f(2c-x) f2a-(2c-x)=f2c-(2c-x)=f(x) 即：f(2a-2c)+x)=f(x)當(dāng)b=d，

4、a(時，y=f(x)是周期函數(shù)，T=2(a-c)為函數(shù)y=f(x)的一個周期。20當(dāng) bd a時 2b-f(2a-x)=2d-f(2c-x) f(2a-x)=2b-2d+f(2c-x)f2a-(2c-x)=2b-2d+f2c-(2c-x)=2b-2d+f(x) 當(dāng) bd a(時，y=f(x)不是周期函 數(shù)。30當(dāng) bd a=c時 2b-f(2a-x)=2d-f(2a-x) 2b=2d (與條件矛盾，舍去) 綜合得原命題成立。二、一個函數(shù)如果關(guān)于一個點(diǎn)和一條線對稱。命題2:如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和直線x=m(ma)對稱，那么函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，T=4(m-a)為函數(shù)

5、y=f(x)的一個周期。證明：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱， f(x)=-f(2a-x)對定義域內(nèi)的所有x成立。又函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱， f(x)=f(2m-x)對定義域內(nèi)的所有x成立。從而 f(2m-x)=-f(2a-x) f2m-(2a-x)=-f2a-(2a-x)=-f(x)即f(2m-2a)+x)=-f(x): f(2m-2a)+(2m-2a)+x)=-f(2m-2a)+x=-f(x)=f(x)即：f4(m-a)+x)=f(x) y=f(x)是周期函數(shù)，T=4(m-a)為函數(shù)y=f(x)的一個周期。特例：當(dāng)a=0時， y=f(x)為奇函數(shù)，即奇函數(shù)y=

6、f(x)如果又關(guān)于直線x=m(m 0)對稱，那么函數(shù) y=f(x)是周期函數(shù)，T=4m為函數(shù)y=f(x)的一個周期。命題2'：如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)和直線x=m對稱，那么函數(shù)y=f(x)是 周期函數(shù)，T=4(m-a)為函數(shù)y=f(x)的一個周期。證明：.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱， f(x)=2b-f(2a-x)對定義域內(nèi)的所有x成立。又函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱， f(x)=f(2m-x)對定義域內(nèi)的所有x成立。從而 f(2m-x)=2b-f(2a-x) f2m-(2a-x)=2b-f2a-(2a-x)=2b-f(x)即：f(2m-2

7、a)+x)=2b-f(x) f(2m-2a)+(2m-2a)+x)=2b-f(2m-2a)+x=2b-2b-f(x)=f(x)即：f4(m-a)+x)=f(x) y=f(x)是周期函數(shù)，T=4(m-a)為函數(shù)y=f(x)的一個周期。三、一個函數(shù)如果關(guān)于兩條線對稱。命題3:如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a和直線x=m對稱，那么函數(shù)y=f(x) 是以T=2(m-a)為周期的周期函數(shù)。證明：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱， f(x)=f(2a-x)對定義域內(nèi)的所有x成立。又函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱， f(x)=f(2m-x)對定義域內(nèi)的所有x成立。從而 f(2m-x)=f(2a-x) f2m-(2a-x)=f2a-(2a-x)=f(x)即：f(2m-2a)+x)=f(x) f2(m-a)+x)=