必修四教案任意角

1、第一章 三角函數(shù)4-1.1.1任意角（1）教學(xué)目標(biāo)：要求學(xué)生用“旋轉(zhuǎn)”理解任意角的概念，學(xué)會(huì)在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來(lái)討論角；并進(jìn)而理解“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。教學(xué)重點(diǎn)：理解“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義教學(xué)難點(diǎn)：“旋轉(zhuǎn)”定義角高考要求：了解任意角的概念教學(xué)過(guò)程：一、情景引入 1、 初中接觸過(guò)三角函數(shù)，僅限于計(jì)算一些特殊的三角函數(shù)值、研究一些三角形中簡(jiǎn)單的邊角關(guān)系等。2、你的手表慢了5分鐘，你怎么調(diào)？ 若快了5分鐘又怎么調(diào)？三角函數(shù)也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，在今后的學(xué)習(xí)中大家會(huì)發(fā)現(xiàn)三角學(xué)有著極其豐富的內(nèi)容，它能夠簡(jiǎn)單地解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，在中學(xué)數(shù)學(xué)中

2、有著非常廣泛的應(yīng)用。二、講授新課1回憶：初中是怎么定義角的-從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形這種概念的優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀、容易理解，但它的弊端在于“狹隘” 初中時(shí)，我們已學(xué)習(xí)了0360角的概念，它是如何定義的呢？B O A 圖1 角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。如圖1，一條射線由原來(lái)的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到終止位置OB，就形成角。旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線OA叫做角的始邊，OB叫終邊，射線的端點(diǎn)O叫做叫的頂點(diǎn)。 在體操比賽中我們經(jīng)常聽(tīng)到這樣的術(shù)語(yǔ)：“轉(zhuǎn)體720o” （即轉(zhuǎn)體2周），“轉(zhuǎn)體1080o”（即轉(zhuǎn)體3周）；再如時(shí)鐘快了5分鐘，現(xiàn)要校

3、正，需將分針怎樣旋轉(zhuǎn)？如果慢了5分鐘，又該如何校正？逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)300；順時(shí)針旋轉(zhuǎn)300.比如（1）用扳手?jǐn)Q螺母；（2）跳水運(yùn)動(dòng)員身體旋轉(zhuǎn)說(shuō)明旋轉(zhuǎn)第二周、第三周，則形成了更大范圍內(nèi)的角，這些角顯然超出了我們已有的認(rèn)識(shí)范圍。還有很多例子自己找。本節(jié)課將在已掌握 角的范圍基礎(chǔ)上，重新給出角的定義，并研究這些角的分類及記法2.角的概念的推廣：(1)定義：一條射線OA由原來(lái)的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按一定方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成了角。其中射線OA叫角的始邊，射線OB叫角的終邊，O叫角的頂點(diǎn)。3正角、負(fù)角、零角概念A(yù)：為了區(qū)別起見(jiàn)，我們把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角，如圖2中的角為正角，它等于3

4、00與7500；我們把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角，那么同學(xué)們猜猜看，負(fù)角怎么規(guī)定呢？零角呢？B：按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角，如果一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角。A：如圖3，以O(shè)A為始邊的角=-1500，=-6600。特別地，當(dāng)一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)為這是形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角稱為零角。A：好，角的概念經(jīng)過(guò)這樣的推廣之后，就應(yīng)該包括正角、負(fù)角、零角。這里還有一點(diǎn)要說(shuō)明：為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可簡(jiǎn)記為. 4.象限角A：在今后的學(xué)習(xí)中，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為此我們必須了解象限角這個(gè)概念。同學(xué)們已經(jīng)經(jīng)過(guò)預(yù)習(xí)，請(qǐng)一位同學(xué)回答什么

5、叫：象限角？ B：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角。思考這么三個(gè)問(wèn)題：1.定義中說(shuō)：角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，如果改為與x軸的正半軸重合行不行，為什么？2.定義中角的始邊，角的終邊含端點(diǎn)嗎？3.是不是任意角都可以歸結(jié)為是象限角，為什么？處理：給學(xué)生思考-后回答，教師適時(shí)予以糾正。答：1.不行，始邊包括端點(diǎn)（原點(diǎn)）；2端點(diǎn)在原點(diǎn)上；3不是，一些特殊角終邊可能落在坐標(biāo)軸上；如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任一象限。A：同學(xué)們一定要學(xué)會(huì)看數(shù)學(xué)書(shū)，特別是一些重要的概念、定理、性質(zhì)要斟字酌句，每個(gè)字都要弄清楚，這樣的預(yù)

6、習(xí)才是有效果的。師生討論：好，按照象限角定義，圖中的300，3900，-3300角，都是第一象限角；3000，-600角，都是第四象限角；5850角是第三象限角。：（追問(wèn)1）銳角是第一象限角嗎？第一象限角是銳角嗎？為什么？生：銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角；師：（2）銳角就是小于900的角嗎？生：小于900的角可能是零角或負(fù)角，故它不一定是銳角；師：（3）銳角就是00900的角嗎？ 生：銳角：|00<<900；00900的角：|00<900.學(xué)生練習(xí)（口答）已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的非負(fù)半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個(gè)象限的角？（1）4200

7、；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.5.終邊相同的角的表示法師：觀察下列角你有什么發(fā)現(xiàn)? 390° -330° 30° 1470° -1770°生:終邊重合.師:請(qǐng)同學(xué)們思考為什么？能否再舉三個(gè)與300角同終邊的角？生：圖中發(fā)現(xiàn)3900，-3300與300相差3600的整數(shù)倍，例如，3900=3600+300，-3300=-3600+300；與300角同終邊的角還有7500，-6900等。師：同學(xué)發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)同終邊角的特征，即：終邊相同的角相差3600的整

8、數(shù)倍。例如：7500=2×3600+300；-6900=-2×3600+300。那么除了這些角之外，與300角終邊相同的角還有：3×3600+300-3×3600+3004×3600+300-4×3600+300，由此，我們可以用S=|=k×3600+300，kZ來(lái)表示所有與300角終邊相同的角的集合。師：那好，對(duì)于任意一個(gè)角，與它終邊相同的角的集合應(yīng)如何表示？生：S=|=+k×3600，kZ，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和。6.例題講評(píng)例1  設(shè)， ，那么有（ D

9、60;  ）ABC（ ）D 例2用集合表示：（1）各象限的角組成的集合（2）終邊落在 軸右側(cè)的角的集合解：(1) 第一象限角：|k360ok360o+90o,kZ第二象限角：|k360o+90ok360o+180o,kZ第三象限角：|k360o+180ok360o+270o,kZ第四象限角：|k360o+270ok360o+360o ,kZ（2）在 中， 軸右側(cè)的角可記為 ，同樣把該范圍“旋轉(zhuǎn)” 后，得 ， ，故 軸右側(cè)角的集合為 說(shuō)明：一個(gè)角按順、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) （ ）后與原來(lái)角終邊重合，同樣一個(gè)“區(qū)間”內(nèi)的角，按順逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) （ ）角后，所得“區(qū)間”仍與原區(qū)間重疊例3  （

10、1）如圖，終邊落在 位置時(shí)的角的集合是_|k360o+120o ,kZ ；終邊落在 位置，且在 內(nèi)的角的集合是_45o,225o_ ；終邊落在陰影部分（含邊界）的角的集合是_|k360o45ok360o+120o ,kZ三、課堂練習(xí)： （1）請(qǐng)用集合表示下列各角 間的角 第一象限角 銳角 小于 角解答（1） ； ； ； （2）分別寫(xiě)出：終邊落在 軸負(fù)半軸上的角的集合；終邊落在 軸上的角的集合；終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合；終邊落在四象限角平分線上的角的集合解答（2） ； ； ； 說(shuō)明：第一象限角未必是銳角，小于 的角不一定是銳角， 間的角，根據(jù)課本約定它包括 ，但不包含 例4在 間

11、，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角（1） ；（2） ；（3） 解：（1） 與 角終邊相同的角是 角，它是第三象限的角；（2） 與 終邊相同的角是 ，它是第四象限的角；（3） 所以與 角終邊相同的角是 ，它是第二象限角 總結(jié)：草式寫(xiě)在草稿紙上，正的角度除以 ，按通常除去進(jìn)行；負(fù)的角度除以 ，商是負(fù)數(shù)，它的絕對(duì)值應(yīng)比被除數(shù)為其相反數(shù)時(shí)相應(yīng)的商大1，以使余數(shù)為正值課堂練習(xí)： （1）一角為 ，其終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為_(kāi)（2）集合M=k，kZ中，各角的終邊都在（C   ）A軸正半軸上，B軸正半軸上，C 軸或 軸上，D 軸正半軸或 軸正半軸上（3）設(shè) ，

12、 C|= k180o+45o ,kZ ， 則相等的角集合為_(kāi)BD，CE_四.本課小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正角、負(fù)角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限，學(xué)習(xí)終邊相同的角的表示法。判斷一個(gè)角 是第幾象限角，只要把 改寫(xiě)成 ， ，那么 在第幾象限， 就是第幾象限角，若角 與角 適合關(guān)系： ， ，則 、 終邊相同；若角 與 適合關(guān)系： ， ，則 、 終邊互為反向延長(zhǎng)線判斷一個(gè)角所有象限或不同角之間的終邊關(guān)系，可首先把它們化為： ， 這種模式（ ），然后只要考查 的相關(guān)問(wèn)題即可另外，數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)都是學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的重要思想方法五.作業(yè):4-1.1

13、.1任意角（2）教學(xué)目標(biāo)：進(jìn)一步要求學(xué)生用“旋轉(zhuǎn)”理解任意角的概念，學(xué)會(huì)在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來(lái)討論角；并進(jìn)而理解“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。教學(xué)重點(diǎn)：理解“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義教學(xué)難點(diǎn)：“旋轉(zhuǎn)”定義角課標(biāo)要求：了解任意角的概念教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了角的概念的推廣，推廣后的角分為正角、負(fù)角和零角；另外還學(xué)習(xí)了象限角的概念，下面請(qǐng)一位同學(xué)敘述一下它們的定義。師：上節(jié)課我們還學(xué)習(xí)了所有與角終邊相同的角的集合的表示法，板書(shū)S=|=+k×3600，kZ這節(jié)課我們將進(jìn)一步學(xué)習(xí)并運(yùn)用角的概念的推廣，解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。二、例題選講例

14、1 寫(xiě)出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式-3600<7200的元素寫(xiě)出來(lái)：（1）600；（2）-210；（3）363014，解：（1）S=|=600+k×3600，kZS中適合-3600<7200的元素是600+（-1）×3600=-3000600+0×3600=600600+1×3600=4200.（2）S=|=-210+k×3600，kZ S中適合-3600<7200的元素是-210+0×3600=-210-210+1×3600=3390-210+2×3600=6990說(shuō)明：

15、-210不是00到3600的角，但仍可用上述方法來(lái)構(gòu)成與-210角終邊相同的角的集合。（3）S=|=363014，+k×3600，kZS中適合-3600<7200的元素是363014，+（-2）×3600=-356046，363014，+（-1）×3600=3014，363014，+0×3600=363014，說(shuō)明：這種終邊相同的角的表示法非常重要，應(yīng)熟練掌握。例2寫(xiě)出終邊在下列位置的角的集合(1)x軸的負(fù)半軸上；（2）y軸上分析：要求這些角的集合，根據(jù)終邊相同的角的表示法，關(guān)鍵只要找出符合這個(gè)條件的一個(gè)角即，然后在后面加上k×3600即

16、可。解：（1）在0360間，終邊在x軸負(fù)半軸上的角為1800，終邊在x軸負(fù)半軸上的所有角構(gòu)成的集合是|=1800+k×3600，kZ （2）在0360間，終邊在y軸上的角有兩個(gè)，即900和2700，與900角終邊相同的角構(gòu)成的集合是S1=|=900+k×3600，kZ 同理，與2700角終邊相同的角構(gòu)成的集合是S2=|=2700+k×3600，kZ 提問(wèn)：同學(xué)們思考一下，能否將這兩條式子寫(xiě)成統(tǒng)一表達(dá)式？師：一下子可能看不出來(lái)，這時(shí)我們將這兩條式子作一簡(jiǎn)單變化：S1=|=900+k×3600，kZ =|=900+2k×1800，kZ （1）S2=

17、|=2700+k×3600，kZ =|=900+1800+2k×1800，kZ =|=900+（2k+1）×1800，kZ （2）師：在（1）式等號(hào)右邊后一項(xiàng)是1800的所有偶數(shù)（2k）倍；在（2）式等號(hào)右邊后一項(xiàng)是1800的所有奇數(shù)（2k+1）倍。因此，它們可以合并為1800的所有整數(shù)倍，（1）式和（2）式可統(tǒng)一寫(xiě)成900+n×1800（nZ），故終邊在y軸上的角的集合為S= S1S2 =|=900+2k×1800，kZ |=900+（2k+1）×1800，kZ =|=900+n×1800，nZ 處理：師生討論，教師板演。

18、提問(wèn)：終邊落在x軸上的角的集合如何表示？終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合如何表示？（思考后）答：|=k×1800，kZ ,|=k×900，kZ 進(jìn)一步：終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合如何表示？答：|=450+n×1800，nZ 推廣：|=+k×1800，kZ ，有何關(guān)系？（圖形表示）處理：“提問(wèn)”由學(xué)生作答；“進(jìn)一步”教師引導(dǎo)，學(xué)生作答；“推廣”由學(xué)生歸納。例1 若是第二象限角，則，分別是第幾象限的角？師：是第二象限角，如何表示？解：（1）是第二象限角，900+k×3600<<1800+k×3600（kZ） 1800+

19、k×7200<2<3600+k×72002是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上。（2），處理：先將k取幾個(gè)具體的數(shù)看一下（k=0，1，2，3），再歸納出以下規(guī)律：當(dāng)時(shí)，是第一象限的角；當(dāng)時(shí)，是第三象限的角。 是第一或第三象限的角。在坐標(biāo)系中畫(huà)圖總結(jié)，的分布規(guī)律說(shuō)明：配以圖形加以說(shuō)明。這里的圖示說(shuō)明對(duì)后面的半角的三角函數(shù)值及符號(hào)判斷非常有用。在此了解整數(shù)的分類。若是，如何考慮所在象限？（3）學(xué)生練習(xí)后教師講解并配以圖形說(shuō)明。（是第一或第二或第四象限的角）進(jìn)一步求是第幾象限的角（是第三象限的角），學(xué)生練習(xí)，教師校對(duì)答案。三、例題小結(jié)1 要注意某一區(qū)間內(nèi)的角和象限角的區(qū)別，象限角是由無(wú)數(shù)各區(qū)間角組成的；2 要學(xué)會(huì)正確運(yùn)用不等式進(jìn)行角的表述同時(shí)要會(huì)以k取不同的值討論型如=a+k×1200（kZ