如何進(jìn)行算法教學(xué)中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

1、如何進(jìn)行算法教學(xué)中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)三中 丁寧摘要：算法進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)課程，成為中國數(shù)學(xué)課程的一個(gè)新特色，這是信息時(shí)代賦予我們的任務(wù)，也是數(shù)學(xué)發(fā)展的必然趨勢。算法設(shè)計(jì)的優(yōu)劣需要上機(jī)檢驗(yàn)，算法設(shè)計(jì)的改進(jìn)需要調(diào)試修正，這就直接為“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”在中學(xué)的深入開展提供了一種可能。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，算法，計(jì)算機(jī)，模擬對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說親自參與數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性活動(dòng)是至觀重要的，計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)改變了數(shù)學(xué)只用紙和筆進(jìn)行研究的傳統(tǒng)方式，給數(shù)學(xué)的研究帶來了最先進(jìn)的工具，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算和模擬實(shí)驗(yàn)已成為一種新的科學(xué)方法和技術(shù)，數(shù)學(xué)正在成為一門實(shí)驗(yàn)科學(xué)?！皵?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”也就應(yīng)運(yùn)而生?！皵?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的方法實(shí)際上是對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行“實(shí)驗(yàn)”，“實(shí)驗(yàn)”

2、是在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行大量的數(shù)值和邏輯運(yùn)算，這些運(yùn)算的高精確度和高速度是用手工運(yùn)算很難完成的。所以數(shù)學(xué)教學(xué)中也需要實(shí)驗(yàn)教學(xué)。算法進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)課程，成為中國數(shù)學(xué)課程的一個(gè)新特色，這是信息時(shí)代賦予我們的任務(wù)，也是數(shù)學(xué)發(fā)展的必然趨勢。算法設(shè)計(jì)的優(yōu)劣需要上機(jī)檢驗(yàn)，算法設(shè)計(jì)的改進(jìn)需要調(diào)試修正，這就直接為“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”在中學(xué)的深入開展提供了一種可能，而且對基礎(chǔ)教學(xué)來說是一種開創(chuàng)的嘗試。算法就是將人類的思維能力形式化為計(jì)算機(jī)可以執(zhí)行的步驟，使得若干微小的電子元件代替人類進(jìn)行思考。具體過程是先將解決問題的一系列步驟寫成算法，再翻譯成某種程序設(shè)計(jì)語言在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，就得到了我們每天操作的程序塊。因此，算法是計(jì)算機(jī)科學(xué)的

3、核心，換句話說，算法是計(jì)算機(jī)程序的基礎(chǔ)。沒有算法，計(jì)算機(jī)的存在也就失去了意義。計(jì)算機(jī)工作靠的是程序，而程序的靈魂就是算法。算法教學(xué)和程序語言教學(xué)有非常密切的聯(lián)系，所設(shè)計(jì)的算法正確與否要通過編程并且運(yùn)行程序進(jìn)行驗(yàn)證，借助于程序語言可以使算法得以實(shí)現(xiàn)；反之要設(shè)計(jì)程序就必須弄清算法原理，可以說，算法教學(xué)是程序語言教學(xué)的基礎(chǔ)，程序語言教學(xué)是算法教學(xué)必要的延續(xù)，兩者相輔相成，然而，上述兩者在教學(xué)重點(diǎn)上有所不同，算法的教學(xué)重點(diǎn)在于：體現(xiàn)算法的思想程序化思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性。而程序語言教學(xué)卻是計(jì)算機(jī)語言教學(xué)，教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)編程。兩者各有特色，相互聯(lián)系，在算法教學(xué)時(shí)可以充分

4、結(jié)合程序語言教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生盡可能把自己的算法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，但不可本末倒置，不要把算法內(nèi)容簡單處理成程序語言的學(xué)習(xí)或程序設(shè)計(jì)。所以我們在教學(xué)中滲透“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的思想，注重學(xué)生主動(dòng)參與、探索、發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)建模，編寫程序和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生對算法思想有更深刻的體會(huì)?，F(xiàn)把教學(xué)中我和學(xué)生們共同實(shí)驗(yàn)的過程歸納總結(jié)如下：一、對大數(shù)的計(jì)算人們在認(rèn)識大數(shù)歷程的過程中，經(jīng)歷了長期不斷的探索，可以說每前進(jìn)一步，都影響著數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展。在中學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到大數(shù)問題，對大數(shù)的計(jì)算用手工方式是無能為力的，但對“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”來說是輕而易舉的。在講授循環(huán)語句的時(shí)候，學(xué)生編寫計(jì)算必修3.P25練習(xí)B組4.的程序。等比數(shù)列的求和公

5、式是數(shù)列這一章的重要內(nèi)容，學(xué)生利用求和公式不難得到。利用算法思想編制一個(gè)等比數(shù)列的求和程序也不難，借此機(jī)會(huì)讓學(xué)生試著編制一個(gè)程序，這樣一方面可以提高學(xué)生對公式的理解，另一方面還可以提高學(xué)生利用算法解決實(shí)際問題的能力。在程序設(shè)計(jì)教學(xué)過程中，我和學(xué)生一起利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，對這個(gè)問題通過算法設(shè)計(jì)和實(shí)踐，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提升思維技巧，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。方法一：只要設(shè)計(jì)一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)，在循環(huán)體內(nèi)先計(jì)算以2為底冪運(yùn)算，然后進(jìn)行累加，當(dāng)循環(huán)結(jié)束后，把累加數(shù)輸出。s=1；n=2；i=1；WHILE i=63 s=s+ni； i=i+1；ENDPRINT “1+2+22+23+263=”；sEND人們最怕重復(fù)

6、計(jì)算，因?yàn)橹貜?fù)枯燥乏味。而計(jì)算機(jī)則擅長重復(fù)。這種重復(fù)體現(xiàn)到程序中就是循環(huán)。循環(huán)結(jié)構(gòu)蘊(yùn)涵的是遞推迭代的思想, 所謂迭代就是一個(gè)不斷用新值取代變量的舊值或由舊值遞推出變量的新值的過程。應(yīng)用循環(huán)結(jié)構(gòu)和迭代思想，就可以解決數(shù)列求和等問題。本例充分體現(xiàn)了算法是解決某一類問題的明確的、有序的、有限的步驟，算法的程序化思想體現(xiàn)的淋漓盡致。本題運(yùn)行輸出的結(jié)果是：1844674E+19。但這是一個(gè)以科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)據(jù)，那么能不能計(jì)算出精確的數(shù)據(jù)呢？隨著學(xué)習(xí)的深入，我和學(xué)生們共同探討設(shè)計(jì)算法，計(jì)算出精確的結(jié)果。方法二：算法設(shè)計(jì)Step1 先計(jì)算出，然后減去1；Step2 數(shù)據(jù)存儲(chǔ):利用數(shù)組a(20)的每一個(gè)單元

7、存放的每一位數(shù)字；例如，若，則a(1)=8, a(2)=4, a(3)=0, a(4)=2Step3 數(shù)據(jù)進(jìn)位：按位相乘，按位記錄。運(yùn)行輸出的結(jié)果S=18446744073709551615.這是手算很難計(jì)算出的，這樣我們通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)完成了大數(shù)的計(jì)算，學(xué)生們親身體會(huì)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的優(yōu)越性。這種以算法為基石，輔以計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下借助計(jì)算機(jī)的幫助，自主參與，具有高度的自主性，探索性的一種教學(xué)活動(dòng)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要補(bǔ)充，利于教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)方式，學(xué)生學(xué)習(xí)方式，教師教學(xué)方式，師生互動(dòng)方式的變革，豐富和發(fā)展數(shù)學(xué)方法論，促進(jìn)新課程的改革目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅是數(shù)學(xué)教育教學(xué)革

8、新的理念與實(shí)踐途徑，更成了數(shù)學(xué)課程和信息技術(shù)的有效整合的重要途徑。二、高精度運(yùn)算圓周率是一個(gè)極其馳名的數(shù)。從有文字記載的歷史開始，這個(gè)數(shù)就引進(jìn)了外行人和學(xué)者們的興趣。作為一個(gè)非常重要的常數(shù)，圓周率最早是出于解決有關(guān)圓的計(jì)算問題。僅憑這一點(diǎn)，求出它的盡量準(zhǔn)確的近似值，就是一個(gè)極其迫切的問題了。事實(shí)也是如此，幾千年來作為數(shù)學(xué)家們的奮斗目標(biāo)，古今中外一代一代的數(shù)學(xué)家為此獻(xiàn)出了自己的智慧和勞動(dòng)。回顧歷史，人類對 的認(rèn)識過程，反映了數(shù)學(xué)和計(jì)算技術(shù)發(fā)展情形的一個(gè)側(cè)面。 的研究，在一定程度上反映這個(gè)地區(qū)或時(shí)代的數(shù)學(xué)水平。高精度運(yùn)算是學(xué)生們感興趣的一個(gè)內(nèi)容，在教學(xué)過程中對“計(jì)算圓周率”這個(gè)題目進(jìn)行了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

9、在學(xué)習(xí)1.3中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例利用劉徽割圓術(shù)的算法思想計(jì)算圓周率的不足近似值后，教材“探索與研究”里提出問題：利用割圓術(shù)的思想怎樣給出的一個(gè)較準(zhǔn)確的范圍？基于這個(gè)問題我們又進(jìn)一步思考：怎樣得到一個(gè)我們所需要的精度？學(xué)生們探討的成果如下：算法原理：在處取得零點(diǎn)，又在函數(shù)3與4只有一個(gè)零點(diǎn)，可對區(qū)間進(jìn)行二分，逐漸達(dá)到。算法程序：執(zhí)行程序，當(dāng)選擇迭代次數(shù)為20時(shí)，可以得到=3.14159250259399，這樣高精度的計(jì)算用手工是很難進(jìn)行的。在這段教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生盡可能借助所學(xué)知識再結(jié)合算法知識解決這個(gè)問題，學(xué)生們想到了借用二分法解決這個(gè)問題。由此學(xué)生不禁想到我們之前學(xué)過的很多知識都蘊(yùn)含著算法

10、思想。算法思想是貫穿高中課程的一條主線。以前，我們沒有給出算法這個(gè)名詞，但是，我們一直在利用算法的思想。在數(shù)學(xué)中，完成每一件工作，例如，計(jì)算一個(gè)函數(shù)值，求解一個(gè)方程，證明一個(gè)結(jié)果，等等，我們都需要有一個(gè)清晰的思路，一步一步地去完成，算法思想就是指按照一定的步驟，一步一步去解決某個(gè)問題的程序化思想。尤其在計(jì)算機(jī)普及的時(shí)代，程序化越來越為人們普遍接受，提高設(shè)計(jì)“算法的能力”變得很必要了。在這個(gè)教學(xué)過程中基于中國古代算法思想的特征，其對本民族的數(shù)學(xué)教育而言，還有著特別的教育價(jià)值，即體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的民族性、培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識、促進(jìn)學(xué)生對現(xiàn)代算法思想的理解等。教師引導(dǎo)學(xué)生將注意力和思想活動(dòng)指向問題求解的創(chuàng)

11、新過程，在創(chuàng)新過程中學(xué)生的創(chuàng)造力得以發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)不再僅僅是刻板地局限在感知教材理解教材鞏固知識運(yùn)用知識等形式化的階段，而是著重將“問題”作為學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿，重視觀察，發(fā)現(xiàn)，探索在學(xué)習(xí)中的作用，把學(xué)生的學(xué)習(xí)看作是一種積極的，探索的學(xué)習(xí)，通過我們的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去。三、模擬實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)試驗(yàn)中，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行隨機(jī)現(xiàn)象模擬探索是很有意義的。大家都知道，在自然界有許多現(xiàn)象是必然的，還有很多現(xiàn)象是偶然的，倘若在一組相同的條件下，它們可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)。例如：“擲硬幣得正面”等都是偶然事件。教學(xué)時(shí)可拿“擲硬幣”作為例子，把一枚均勻的硬幣擲在臺(tái)上，出現(xiàn)正面

12、或者反面預(yù)先是無法判斷的。如果當(dāng)擲的次數(shù)增加時(shí)，那么出現(xiàn)正，反面的情況會(huì)怎么樣？這是個(gè)很有趣的數(shù)學(xué)問題。歷史上有許多數(shù)學(xué)家做過這樣的擲硬幣實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)者擲硬幣次數(shù)出現(xiàn)正面的次數(shù)頻率(出現(xiàn)次數(shù)擲次數(shù))狄摩更204810610.5181布豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016從表中可以看到，當(dāng)投擲的次數(shù)越來越多，頻率越接近0.5。但這樣的人工試驗(yàn)既費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，引導(dǎo)學(xué)生編寫這樣的程序進(jìn)行“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”是有意義的。我們用計(jì)算機(jī)模擬擲硬幣的試驗(yàn)，我們稱用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法為隨機(jī)模擬方法或蒙特卡羅（Monte Carlo）方法，蒙特卡羅方法（Monte Carlo met

13、hod），也稱統(tǒng)計(jì)模擬方法，或稱計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基于“隨機(jī)數(shù)”,以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計(jì)算方法。與它對應(yīng)的是確定性算法?，F(xiàn)代的蒙特卡羅方法，已經(jīng)不必親自動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)，而是借助計(jì)算機(jī)的高速運(yùn)轉(zhuǎn)能力，使得原本費(fèi)時(shí)費(fèi)力的實(shí)驗(yàn)過程，變成了快速和輕而易舉的事情。算法設(shè)計(jì)：利用隨機(jī)函數(shù)rnd來編寫。因?yàn)殡S機(jī)函數(shù)rnd能產(chǎn)生l0，1)區(qū)間的一個(gè)均勻分布的隨機(jī)數(shù)。所以設(shè)置條件語句：if md0.5 THEN 來判斷。當(dāng)隨機(jī)數(shù)小0.5時(shí)，打印和統(tǒng)計(jì)硬幣反面出現(xiàn)的次數(shù)。隨機(jī)數(shù)大于0.5時(shí)，打印和統(tǒng)計(jì)硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)。投擲的次數(shù)由鍵盤輸入。 Stepl 輸入需要擲硬幣的次數(shù)； Step2

14、 f=0 ，設(shè)置統(tǒng)計(jì)硬幣出現(xiàn)正面次數(shù)的變量名為f賦初值為零；Step3 b=0 ，設(shè)置統(tǒng)計(jì)硬幣出現(xiàn)反面次數(shù)的變量名為b，賦初值為零；Step4 控制擲硬幣得次數(shù)；Step5 判斷md0.5，若打印出現(xiàn)正面的標(biāo)記“f”,并記數(shù)；Step6 否則打印出現(xiàn)反面的標(biāo)記“b”，并記數(shù)；Step7 打印出累計(jì)的硬幣出現(xiàn)正，反面的次數(shù)。程序設(shè)計(jì)：程序運(yùn)行時(shí)，當(dāng)單擊窗體后，屏幕上會(huì)顯示出對話輸入框，請輸入所需要擲硬幣的次數(shù)。比如當(dāng)輸入60時(shí)，這個(gè)程序模擬了硬幣投擲了60次的情況，我們看到正面出現(xiàn)了28次，反面出現(xiàn)了32次。學(xué)生們經(jīng)過多次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，看到當(dāng)投擲次數(shù)越來越多時(shí)，比率越來越接近0.5，他們驗(yàn)證了上面幾位實(shí)驗(yàn)者的實(shí)驗(yàn)記錄，親身體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的意義。在往后相關(guān)的內(nèi)容(如制作隨機(jī)數(shù)表)也體現(xiàn)出數(shù)學(xué)與算法的有機(jī)結(jié)合，有意識地引導(dǎo)學(xué)生在其他知識模塊中體會(huì)算法思想，使其體會(huì)到掌握算法思想對提高數(shù)學(xué)能力的重要性。以上是教學(xué)中基于算法輔以計(jì)算機(jī)對“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的初步嘗試，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果和我們的體會(huì)是否正確還需要進(jìn)一步的研究。在教學(xué)和學(xué)習(xí)的過程中，我們意識到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅在形成數(shù)學(xué)知識的過程中，而且在數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程中，始終能為學(xué)生提供發(fā)揮創(chuàng)造的機(jī)會(huì)。數(shù)學(xué)教學(xué)可以不再是單一刻板的解題教學(xué)，它的教學(xué)價(jià)值主要體現(xiàn)在兩方面：從學(xué)生的角度來看，借助高中的算法課程開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生的主動(dòng)性