天氣預(yù)報(bào)與勞倫茲混沌吸子

1、天氣預(yù)報(bào)與勞倫茲混沌吸子一、氣象預(yù)報(bào)是神話？自古以來(lái)，人們對(duì)於天氣總是抱持著馮紐曼式樂(lè)觀的想法，相信人定勝天。十七世紀(jì)物理奇才牛頓把歐洲一向落後的科學(xué)昇華到極點(diǎn)，後文藝復(fù)興時(shí)代也由於這群精英的點(diǎn)綴而更加燦爛。自此，科學(xué)脫離宗教，並後來(lái)居上，創(chuàng)造地球上前所未有的高度文明。由於物理學(xué)家優(yōu)異的表現(xiàn)，天文學(xué)家得以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)日蝕、月蝕、潮汐來(lái)回，甚至對(duì)付九大行星、成打衛(wèi)星和千萬(wàn)個(gè)小殞石間重力場(chǎng)形成的太陽(yáng)系。天體運(yùn)動(dòng)的計(jì)算已經(jīng)準(zhǔn)確到使人們忘了那是預(yù)測(cè)，當(dāng)一個(gè)天文學(xué)家說(shuō)哈雷彗星在七十六年後將會(huì)由這條路徑回來(lái)，這像陳述一項(xiàng)事實(shí)，不像是預(yù)言。為什麼風(fēng)和雨卻不能如此？秉持著牛頓式的狂熱與自信，氣象學(xué)家結(jié)合二十世紀(jì)尖

2、端科技，運(yùn)用人造衛(wèi)星與超級(jí)電腦，企圖模擬地球的天氣型態(tài)。螢?zāi)簧蠑?shù)百萬(wàn)個(gè)小點(diǎn)受到數(shù)位化的地形起伏，凝結(jié)成數(shù)位化的雲(yún)，然後在山的迎風(fēng)面下起地形雨。儘管超級(jí)電腦CDC 205所創(chuàng)造的全球氣候模擬系統(tǒng)已經(jīng)盡善盡美，仍然不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)天氣，為什麼？問(wèn)題出在那兒？是由於模式（描述天氣的微分方程組）不夠嚴(yán)謹(jǐn)？還是測(cè)量數(shù)據(jù)不夠準(zhǔn)確？或者天氣的本質(zhì)如同神經(jīng)網(wǎng)路和總體經(jīng)濟(jì)模式，就是一個(gè)無(wú)法模擬的複雜系統(tǒng)？傳統(tǒng)西方科學(xué)基本理念總是認(rèn)為：如果你正在計(jì)算地球檯面上的一顆撞球，你就不必理會(huì)另一座銀河系統(tǒng)某星球上樹葉的掉落。很輕微的影響可以被忽略，任意的小干擾，並不致於膨脹到任意大的後果?；旧希@種近似有它的道理，修正19

3、10年哈雷彗星位置的小錯(cuò)誤，只會(huì)造成它在1986年來(lái)臨時(shí)的小誤差，而且百萬(wàn)年後誤差仍會(huì)很小。電腦也在同樣的假設(shè)下引導(dǎo)太空船航行，經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)也根據(jù)相同的假設(shè)，全球天氣預(yù)報(bào)的開拓者亦是，可惜，後二者顯然少有成功的。二、勞倫茲混沌吸子1961年冬季某日，勞倫茲（E. Lorentz）在一個(gè)極為偶然的情況下，發(fā)現(xiàn)天氣系統(tǒng)的本質(zhì)對(duì)於初始條件極端敏感。以前科學(xué)家們不自覺(jué)地認(rèn)微分方程的解只有那幾類：1)發(fā)散軌道；2)不動(dòng)點(diǎn)；3)極限環(huán)；4)極限環(huán)面(torus，複數(shù)形式tori)。除此以外，大概沒(méi)有新的運(yùn)動(dòng)類型了，這是人們的一種主觀猜測(cè)，誰(shuí)也沒(méi)有證明。事實(shí)上這種想法是非常錯(cuò)誤的。1963年美國(guó)麻省理工學(xué)院氣象

4、科學(xué)家勞倫茲給出一個(gè)具體模型，清楚地展示了一種新型運(yùn)動(dòng)體制：混沌運(yùn)動(dòng)，軌道既不收斂到極限環(huán)上也不跑掉。由於勞倫茲基於對(duì)天氣現(xiàn)象的了解，寫下了描述氣溫、氣壓、風(fēng)速等變數(shù)關(guān)係的微分方程式，透過(guò)模式的建立，企圖模擬地球氣候。勞倫茲為了前後比較圖形，常常中斷模式進(jìn)行。有一次，他把中斷的資料輸入電腦，按理說(shuō)，其後續(xù)發(fā)展應(yīng)該和沒(méi)有中斷的圖形相吻合。結(jié)果相似性在數(shù)月之內(nèi)消失，發(fā)展出南轅北轍的天氣型態(tài)。是真空管燒掉了？還是方程式不夠完備？或是在重新輸入資料時(shí)打錯(cuò)了什麼東西？勞倫茲重新檢測(cè)了所有線路和方程式，最後他發(fā)現(xiàn)，電腦記憶體中，可儲(chǔ)存浮點(diǎn)數(shù)到小數(shù)6位，如5.6789012；而印表紙上，只印出三位，5.67

5、8。勞倫茲勞倫茲輸入了5.678忽略後面千分之一的誤差，線路和方程式則一切正常。天氣系統(tǒng)的本質(zhì)，竟是如此的差之毫釐，失之千里。憑著超凡的數(shù)學(xué)直覺(jué)，勞倫茲感受到一陣悸動(dòng)：即使我們從未預(yù)報(bào)準(zhǔn)確，但現(xiàn)在掌握了原因。人們常覺(jué)得長(zhǎng)期預(yù)報(bào)能辦得通的其中一個(gè)理由，是有些真實(shí)的物理現(xiàn)象我們可以預(yù)測(cè)得很好，像是日月蝕和海水潮汐，而太陽(yáng)、月亮、地球間的動(dòng)力系統(tǒng)也相當(dāng)複雜，但我從沒(méi)想過(guò)潮汐預(yù)報(bào)是種預(yù)測(cè)。習(xí)慣上總把它們想成事實(shí)的描述，但實(shí)際上你進(jìn)行預(yù)測(cè)，潮汐和大氣一樣複雜，兩者皆有週期的成分。你可以預(yù)測(cè)明年夏天比今年冬天溫暖，不過(guò)對(duì)天氣來(lái)說(shuō)，我們會(huì)認(rèn)為這種敘述是老生常談。對(duì)潮汐而言，我們有興趣的恰好是可預(yù)測(cè)的部分，不

6、能預(yù)測(cè)的部分成分很小，除非受到暴風(fēng)雨的影響。一般人看到我們既然能夠在數(shù)月以前把潮汐預(yù)報(bào)得蠻好，會(huì)說(shuō)我們?yōu)槭颤N不能對(duì)天氣如法炮製，僅僅是另一套流體系統(tǒng)，規(guī)則的複雜也大同小異。但我開始理解，任何不能遵守週期性規(guī)則的物理系統(tǒng)皆難以預(yù)測(cè)。長(zhǎng)期的天氣預(yù)報(bào)注定失敗。勞倫茲混沌吸引子已成混沌理論的標(biāo)記，代表著複雜性新科學(xué)，好比行星軌道圖代表著哥白尼、開普勒理論一樣。英國(guó)的新科學(xué)家雜誌曾辦了一個(gè)專欄，每一期的刊頭都有勞倫茲吸引子標(biāo)記。圖1 勞倫茲系統(tǒng)奇異吸引子上的混沌運(yùn)動(dòng)勞倫茲方程極其美妙，多少年來(lái)，人們並未逃出勞倫茲方程的框架，找來(lái)找去能出現(xiàn)混沌的系統(tǒng)總是與勞倫茲系統(tǒng)差不多。勞倫茲方程形式很簡(jiǎn)單，只有三個(gè)方

7、程：其中，r，b是正的參數(shù)，這是一個(gè)三階方程組。此方程所表示的是向量場(chǎng)的散度。此方程雖然能一定程度上描述天氣的複雜變化過(guò)程，但它的真正意義並不在氣象預(yù)報(bào)上!他首先是數(shù)學(xué)家，他用數(shù)學(xué)來(lái)思考問(wèn)題。因而他的模型及其從中所揭示出的新的運(yùn)動(dòng)體制的意義，就遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止於氣象學(xué)。現(xiàn)在大家都已清楚，在二維連續(xù)系統(tǒng)中不可能出現(xiàn)混沌，三維是出現(xiàn)混沌所要求的最低維數(shù)。勞倫茲模型恰好只有三維。對(duì)於勞倫茲方程，一般是固定參數(shù)和b，單獨(dú)考察r變化時(shí)，系統(tǒng)行為的變化。當(dāng)0r1時(shí)，有一個(gè)穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)O(0,0,0)；當(dāng)1r r*1.34561時(shí)(對(duì)於 =10 , b=8/3)，又出現(xiàn)兩個(gè)新的穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)A和B，這時(shí)共有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，不

8、動(dòng)點(diǎn)O已變成不穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)r繼續(xù)增大到r =24.7368時(shí)(對(duì)於 =10, b=8/3)，方程的3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)都變得不穩(wěn)定了，t是系統(tǒng)行為變化的臨界點(diǎn)，這時(shí)就出現(xiàn)了勞倫茲發(fā)現(xiàn)的“確定性非周期流”。1963年勞倫茲研究時(shí)3個(gè)參數(shù)的取值： =10, b =8/3, r =28。這組參數(shù)值通常稱標(biāo)準(zhǔn)情形(canonical case) 。當(dāng)年勞倫茲就是在這一組參數(shù)值下，採(cǎi)用電腦數(shù)值計(jì)算，發(fā)現(xiàn)了奇怪吸引子。當(dāng)時(shí)還沒(méi)有這一概念，直到1971年呂埃爾(D.Ruelle)和塔肯斯(F.Takens)才提出奇異吸子(strange attractor)一詞。勞倫茲的偉大貢獻(xiàn)是多方面的，可以輕易舉出幾條：1. 爲(wèi)非線性動(dòng)力學(xué)研究貢獻(xiàn)了一個(gè)絕好的數(shù)學(xué)模型，值得推崇的不是此模型在多大程度上直接反映了某個(gè)具體的物理現(xiàn)象，而是它抓住了複雜性的本質(zhì)，進(jìn)一步深入探索各種複雜事物奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。2. 勞倫茲有一套清晰的研究方法，確定性非周期流一文運(yùn)用的一系列合理的“工作程式 ”，已被70年代末以來(lái)的混沌學(xué)家廣泛採(cǎi)用。3. 定性的數(shù)學(xué)分析與電腦定量類比相結(jié)合，開創(chuàng)