導(dǎo)數(shù)的幾何意義(教學(xué)設(shè)計(jì)施永紅).

1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義廣大附中施永紅一作業(yè)討論并由學(xué)生陳述：問題： 1導(dǎo)數(shù) f / (x0 ) 的本質(zhì)是什么？2在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，t 秒 (s) 時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度是h(t )4.9t 26.5t10（單位： m ），求運(yùn)動(dòng)員在 t1s 時(shí)的瞬時(shí)速度，并解釋此時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。3圓面積 S 是半徑 r 的函數(shù) Sr2 ，求圓在 r 1時(shí)的面積瞬時(shí)變化率，并解釋此時(shí)圓面積的瞬時(shí)變化規(guī)律。4球體積 V 是半徑 r 的函數(shù) V4r 3 ，問：球在 r 1 時(shí)的體積3瞬時(shí)變化率，并解釋此時(shí)球體積的瞬時(shí)變化規(guī)律。參考答案：1導(dǎo)數(shù) f / ( x0 ) 的本質(zhì)是函數(shù) f (x) 在 xx0 處的瞬時(shí)變化率，即：

2、f / x0lim0f x0x f ( x0 )xx2.h /(1)lim h(1t )h(1)t0t4.9(t1)26.5(t1) 104.9126.51 104.9 t 23.3tlimtlimtt0t 0lim4.9t3.33.3 ，所以 h /(1)3.3 。t 0運(yùn)動(dòng)員在 t1s時(shí)的瞬時(shí)速度為 h / (1)3.3 。這說明運(yùn)動(dòng)員在 1s附近，正以大約 3.3m/ s 的速率下落。3 S/ (1) limS(1r ) S(1)lim1r 212 limr 22 rr0rr0rr0r1limr 22 ，所以 S/ (1) 2 。這說明圓在 r1 的附近，面積r 0正以大約 2的瞬時(shí)變化

3、率增大。（思考，動(dòng)畫）4. V / (1) lim V (1r ) V (1)41r 34 13lim33r 0rr 0r4( r 33 r 23 r )4lim 3rlim( r 23 r 3) = 4 ，所以 V / (1) 4 。r 0r0 3這說明球在r1 的附近，體積正以大約4的瞬時(shí)變化率增大。（思考，動(dòng)畫）二（一）引入：函數(shù)的思想中，數(shù)形結(jié)合是一種重要而且直觀的數(shù)學(xué)思想方法。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)及其物理意義或者實(shí)際意義，我們不禁要問：導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？例如：上述的三個(gè)問題中， h / (1)3.3 , S/ (1)2, V / (1)4的幾何意義分別是什么？我們利用數(shù)形結(jié)合

4、，畫出函數(shù)的圖像，看看通過函數(shù)的圖像研究，能有什么新的體會(huì)。（二）轉(zhuǎn)化：為了使研究更具有操作性，我們拋開問題的實(shí)際背景，從研究更簡單的函數(shù)入手，這也是數(shù)學(xué)研究的常用方法。（三）問題與探索：求函數(shù) f ( x) x 2在 x0.2 處的導(dǎo)數(shù) f / ( 0.2) ，說說它的本質(zhì)，并用數(shù)形結(jié)合的方法，探索f / (0.2) 的幾何意義。f / 0.2limf 0.2x f (0.2)lim0.2x 20.22x 0xx0xlimx20.4xlim ( x0.4)0.4。所以f / (0.2)0.4x 0xx 0f / (0.2)0.4的本質(zhì)是函數(shù)f ( x)x 2在 x0.2處的瞬時(shí)變化率是20.

5、4 ，即函數(shù) f ( x)x2 在 x0.2的附近正以大約0.4 的瞬時(shí)變化率增大。畫出函數(shù) f (x)x2 的圖像，從圖像上的哪幾個(gè)點(diǎn)開始研究？yyx2BB1QAPOMNx聯(lián)想：定義 f / 0.2limf 0.2x f (0.2)x 0x從 點(diǎn) A(0.2, f (0.2). 點(diǎn) B(0.2x, f (0.2x) 入 手 。 那 么 點(diǎn)A( 0.2, f (0.2) ,點(diǎn) B(0.2x, f (0.2x) 的幾何意義是什么？請(qǐng)?jiān)趫D形中體現(xiàn)體現(xiàn)出來。 f 0.2xf (0.2) 的幾何意義是什么？請(qǐng)?jiān)趫D形中體x現(xiàn)體現(xiàn)出來。填表，討論，發(fā)言，展示。3靜態(tài)有關(guān)量幾何意義靜態(tài) A (0.2, f

6、(0.2)0.2QAf ( 0 .2 )MAB (0.2 x, f (0.2x) 0 .2xQPf ( 0 .2x ) NBxxQPQAAPf (0.2x)f (0.2)f (0.2x)f (0.2)NBMANBNPPBf0.2x f ( 0.2)f0.2xf (0.2)xxPBtanBAPAP動(dòng)x0f/limf 0.2態(tài)0.2x0切線 AD 的斜率（四）動(dòng)畫演示，閱讀課本，小結(jié)：動(dòng)態(tài)x0坐標(biāo)的幾何表示坐標(biāo)點(diǎn)的幾BA何表示橫坐x0標(biāo)的差（自變量的增量）縱坐標(biāo)的差割線割線ABAB的（極限位斜率置）即：切線 ADxf (0.2)切線xAD的斜率1 平均變化率f ( 0.2 x) h(0.2) 在趨

7、向于某一時(shí)刻的變化過程x中，自變量的增量x 越來越小，能越過任意小的間隔，但始終不能為 0，不然，我們就得不到平均變化率的值；平均變化率在圖形中的幾何意義是割線 AB 的斜率。當(dāng) t 趨近于 0 時(shí)，平均變化率 f ( 0.2x) h(0.2) 無限趨近于的常x4數(shù)就是 f / (0.2) ，從圖形上看， 當(dāng) t 趨近于 0 時(shí)，點(diǎn) B 沿曲線趨近于點(diǎn) A，割線繞點(diǎn) A 轉(zhuǎn)動(dòng)，它的極限位置為直線 AD ，這條直線叫做此曲線在點(diǎn) A 處的切線。于是當(dāng) t 0 時(shí)，割線 AB 的斜率趨近于過點(diǎn)A 的切線的斜率，即：f /0.2lim f 0.2 x f (0.2) 切線 AD 的斜率x 0x還可以

8、利用點(diǎn)斜式求出切線AD 的方程： y 0.040.4( x 0.2) ，即：y0.4x0.04 。（展示學(xué)生作品）（五）訓(xùn)練：分別在函數(shù)圖像上，用圖形來體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)h(t )4.9t 26.5t10 ，S r 2 和 V4r 3 的3h / (1)3.3， S/ (1)2 ，V /(1) 4的幾何意義，并用數(shù)學(xué)語言表述出來。 （展示學(xué)生作品）1hh t4.9t 26.5t 10Ot523VSV4r 33Sr 2OrOr三學(xué)生繼續(xù)動(dòng)手：()4.9 26.510的圖像中，請(qǐng)描述，比較曲線 h(t)（一）在函數(shù) h ttt在 t 0 0.67, t11,t 2 3 附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在

9、t 3 0.2, t4 0.3附近呢？（二）請(qǐng)估計(jì)曲線 f ( x)x 2 在 x0.2,0,0.6,1 的瞬時(shí)變化率， 把數(shù)據(jù)用表格的形式列出。x0.2,00.61函數(shù)的瞬時(shí)變化率 f / ( x)6反思，發(fā)現(xiàn)。1 導(dǎo)函數(shù)。（探索作業(yè)求 h/ (t ), S/ (r ) ， V / (r ) ）2 單調(diào)性： 在 某個(gè)區(qū)間 上 ，當(dāng) f / ( x)0, f ( x) 單調(diào) 遞增； 當(dāng)f / ( x)0, f (x) 單調(diào)遞減。3 求出 f / ( x) ，驗(yàn)證你的結(jié)論。f / xlimf xx f ( x) limxx 2x 2x 0xx0xx22 xxlim ( x 2x)2x 。驗(yàn)證：（

10、1）數(shù)據(jù)；（2）單調(diào)性。limxx0x 0思考：1如圖表示人體血管中的藥物濃度cf (t ) （單位： mg / mL ）隨時(shí)間 t（單位： min ）變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計(jì) t 0.2,0.4,0.6,0.8 時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率， 把數(shù)據(jù)用表格的形式列出。 有什么發(fā)現(xiàn)？7c mg / mLOt mint0.20.40.60.8藥物濃度的瞬時(shí)變化率2下圖是利用信息技術(shù)畫出的函數(shù)r (V )33V的圖像，請(qǐng)根(0V5)4據(jù)圖像，估計(jì) V0.6,1.2 時(shí)，氣球的瞬時(shí)膨脹率。有什么發(fā)現(xiàn)？8rr (V )33V0 V 54OV四小結(jié)：1知識(shí)結(jié)構(gòu)：基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式平均速度瞬時(shí)速度（物理意義）及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則平均變化率瞬時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)本質(zhì)）導(dǎo)數(shù)平均變化率瞬時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)本質(zhì)）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與極（最）值的關(guān)系2數(shù)學(xué)思想： 運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)（以靜態(tài)刻劃動(dòng)態(tài)），數(shù)形結(jié)合（函數(shù)思想）以直代曲（以近似求精確）（微積分思想方法）作業(yè)：習(xí)題 3.1A5,6.B2,3.書上。探索作業(yè)1、求 h /(t),S/ (r )， V / (r ) 2。用導(dǎo)數(shù)定義及單調(diào)性定義解釋：在某個(gè)區(qū)間上，當(dāng)f / ( x)0, f (x) 單調(diào)遞增；當(dāng)f/ (x)0,( )單調(diào)遞減。f/(x)0, f ( x)f x單調(diào)遞增；（參考：一般地，當(dāng)當(dāng)f/ ()0,f()單調(diào)遞減。在某個(gè)區(qū)間上