細(xì)思數(shù)學(xué)新理念

1、細(xì)思數(shù)學(xué)新理念 略談陳題再出新221421 新沂市王莊高級(jí)中學(xué) 晏良江關(guān)鍵詞：一、陳題再出新策略之一：一題多解探究解題的最佳途徑二、陳題再出新策略之二：一題多變探究知識(shí)的綜合應(yīng)用三、陳題再出新策略之三：多題歸一探究解一類習(xí)題的通法在國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）中要求：“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué);人人都能獲得必需的數(shù)學(xué);不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。同時(shí)提出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的, 有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng).動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”。教師職責(zé)已經(jīng)越來越少地傳遞知識(shí)，而越來越多地激勵(lì)思考,教師必須集中更多的

2、時(shí)間和精力從事那些有效果的和有創(chuàng)造性的活動(dòng)。 在現(xiàn)有的教育教學(xué)模式下利用陳題培養(yǎng)學(xué)生自主探索與合作交流是很有必要的，在師生雙邊活動(dòng)中借陳題探究新意，讓學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于學(xué)習(xí)生活，從應(yīng)用中體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂。陳題再出新策略之一：一題多解探究解題的最佳途徑例1：若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。過程1：和學(xué)生一起探究分析：原命題如何等價(jià)轉(zhuǎn)化成易解決問題的形式呢？學(xué)生分組討論后給出探究分析的想法：分析：原命題等價(jià)于 有實(shí)數(shù)解。過程2：歸納學(xué)生多種探究分析的想法：、由（1）（2）條件，由（4）構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)圖象有交點(diǎn)，其中的幾何意義是在軸上的截距，（3）是必需滿足。、由（1）（2）條件，由構(gòu)造兩

3、個(gè)函數(shù)和圖象有交點(diǎn)，其中的幾何意義是在軸上截距，（3）必須滿足。、由（1）（2）條件，由（4）構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)和圖象有交點(diǎn)，其中的幾何意義是拋物線的對(duì)稱軸，（3）是必需滿足。、由（1）（2）條件，由（4）分離，即構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，（3）必須滿足。、用三角代換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)利用三角函數(shù)圖象解決。過程3：教師引導(dǎo)，學(xué)生自主學(xué)習(xí)解決如下：解法1：作函數(shù) 它表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的半圓。它表示斜率為1的射線不含端點(diǎn)。直線相切時(shí)圓心到切線的距離等于半徑，觀察圖象：，又綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為。解法2：作函數(shù)和即的圖象。注意解法3：作函數(shù)的圖象。兩拋物線相切時(shí)：觀察圖象，又故 解法4：用三角代換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)利

4、用三角函數(shù)圖象令令。過程4：教師引導(dǎo)學(xué)生探究自主學(xué)習(xí)比較上述構(gòu)造函數(shù)及解決問題的方法優(yōu)劣。通過設(shè)計(jì)上面過程, 開展課堂研究性學(xué)習(xí),學(xué)生能進(jìn)一步對(duì)數(shù)學(xué)定理,性質(zhì)的理解,對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)激活了興趣,激活學(xué)生的思維。同時(shí)學(xué)生間能進(jìn)一步開展動(dòng)態(tài)信息交流，這種信息包括知識(shí)、情感、態(tài)度、需要、興趣、價(jià)值觀等方面，通過這種廣泛的信息交流，實(shí)現(xiàn)師生互動(dòng)，相互溝通，相互影響，相互補(bǔ)充。陳題再出新策略之二：一題多變探究知識(shí)的綜合應(yīng)用例2：原題求直線和坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積。讓學(xué)生仔細(xì)審題并借助圖形、規(guī)范解題的格式（1）求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；（2）確定三角形為直角三角形，并確定兩直角邊長與兩交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系；（

5、3）利用面積公式確定三角形面積。變式（一）條件一般化求直線和兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積。變式（二）改變背景1過點(diǎn)（2，1）作一直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，求面積最小值時(shí)，直線的方程。2過點(diǎn)（2，1）作直線與軸、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)(1)當(dāng)最小時(shí)，求直線L的方程；(2)當(dāng)最小時(shí)，求直線L的方程。對(duì)以上變式二（1）解答如下解法（一） 由題知，顯然L的斜率存在，設(shè)為k，則 L方程為 時(shí) 當(dāng)即時(shí)，此時(shí)L的方程為:即解法（二）：設(shè) 則由題知，L的方程為又L過點(diǎn)P（2，1）， =當(dāng)即時(shí)的最小值為4，直線的方程為。解法（三）： 過P作軸 軸，垂足分別為E、F，設(shè)則，又P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），當(dāng)

6、，即時(shí)取等號(hào)，而的傾斜角為，的方程為例3：如圖，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓周上任意一點(diǎn)。求證：平面PAC平面PBC證明：PAO所在平面PABC又BCACBC平面PACBC平面PBC平面PAC平面PBC這是一個(gè)非常典型的習(xí)題，我們對(duì)它進(jìn)行挖掘、探索、拓廣。變題1：保留題，改變結(jié)論改變1若令PBA=，ABC=，PBC=，求證Cos=CosCos，這是立體幾何中很重要的一個(gè)公式，簡稱三角余弦公式。分析：在RTACB中，Cos=BC/AB在RTPAB中，Cos= AB/PB在RTPCB中，Cos=BC/PB Cos=CosCos，還可得出一個(gè)結(jié)論：設(shè)PB與平面PAC和平面ABC所成

7、的角分別為和則+90。 。改變2：在三棱錐P-ABC中存在外接球且PB是外接球的直徑。改變3：在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，側(cè)面PAC和側(cè)面PCB成直二角，若BPC=45。 ，PC=a，求這個(gè)三棱柱外接球的體積。變題2：增設(shè)條件、衍化結(jié)論改變1：在原題重要條件下，若DE垂直平分PB，且分別交AB、PB于D、E，又PA=AC，PC=BC，求二面角BCDE的大小解：E為PB中點(diǎn)在等腰RtPCB中，CEPB又DEPB，PB平面CDE，PBCD，又CDPA，CD平面PABBDE即為所求PA=ACPC=PA又PC=BCPB=PC=2PAPBA=30oBDE=60o在此題設(shè)條件還可以得出如下結(jié)論。

8、(1)求二面角A-PB-C的大小（即CED=arcCos）（2）求截面CDE把三棱錐P-ABC分成的二部分的體積之比（1：2）改變2：在原題條件下，設(shè)BAC=（0o90o)，PA=AB=2求異面直線PB與AC所成角。解：過B作BC¢AC，則PBC¢即為所求，由三角余弦公式：CosPBC¢= CosPBACosBAC= PBC¢=arc Cos對(duì)一道習(xí)題適當(dāng)?shù)难葑?、引伸、拓廣，不僅能提高學(xué)生的應(yīng)變能力、探索能力，還能激發(fā)學(xué)生的思維的廣闊性、發(fā)散性。使學(xué)生從不同的角度去觀察問題、思考問題，從而提高學(xué)生思維過程的整體性、嚴(yán)密性、培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)。陳題再出新策

9、略之三：多題歸一探究解一類習(xí)題的通法對(duì)一種類型的題進(jìn)行歸類整理，能使學(xué)生真正從題海中解脫出來，起到事半功倍的作用。教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)的要求和學(xué)生的實(shí)際，深入挖掘一些習(xí)題的潛在功能，引導(dǎo)學(xué)生深入探索和發(fā)現(xiàn)試題的規(guī)律，不但能誘發(fā)學(xué)生的解題欲望，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，又能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維與創(chuàng)造性思維能力，起到觸類旁通的效果。例4：已知證明： 、 即 通過觀察分析類比，可得出此題移植到其他知識(shí)范圍中去，得出如下的新的命題、已知分析：已知分析：已知求證分析：故可考慮用上述公式(略)與該題型相似的題還很多如1、2、已知求證：陳題通過變式，從特殊到一般，又改變背景將其推廣，讓學(xué)生真正感受到“陳題出新”的深刻含義，

10、使學(xué)生知道了知識(shí)的來龍去脈，使他們的認(rèn)知產(chǎn)生了飛躍，通過不同的思路，提供多種解題方法既拓寬了學(xué)生的解題思路，又從不同的角度將已學(xué)過的知識(shí)加以復(fù)習(xí)，解題方法的多樣化，活躍了學(xué)生的思維，使學(xué)生增強(qiáng)了解決問題的信心，進(jìn)而又深化了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等重要的數(shù)學(xué)系思想。這樣將知識(shí)、能力和思想方法在更多的新情景、更高的層次中，不斷地反復(fù)地滲透，達(dá)到了螺旋式的再認(rèn)識(shí)，再深化，乃至升華的效果。通過一題多變、一題多解，多題一解的訓(xùn)練，激發(fā)了學(xué)生的興趣和求知欲。所有的變式要鼓勵(lì)學(xué)生從多角度去分析，選最優(yōu)的方法去解決。陳題出新其應(yīng)遵循的原則：a. 循序漸進(jìn)，滲透聯(lián)系；b. 讓學(xué)生可以也可能參與探索，人人探索；c. 讓學(xué)生可以也可能探索成功。讓學(xué)生以自然、自動(dòng)、自主的學(xué)習(xí)狀態(tài)進(jìn)入到探索學(xué)習(xí)中去，使學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)知識(shí)、方法的同時(shí)，探究的意識(shí)也得到了培養(yǎng)。數(shù)學(xué)課改的最終目標(biāo)是為祖國的社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)培養(yǎng)大批的建設(shè)人才，他們應(yīng)該具有良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)，他們應(yīng)該具有不斷探索和創(chuàng)新的品質(zhì)。值得提出的是，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)多多進(jìn)行變式訓(xùn)練，注意陳題出新，能使學(xué)生在思維訓(xùn)練中形成一般性的“定勢”，從而有利