計(jì)數(shù)原理簡(jiǎn)介

1、“選修2-3 計(jì)數(shù)原理”簡(jiǎn)介人民教育出版社 章建躍計(jì)數(shù)問題是數(shù)學(xué)中的重要研究對(duì)象之一，分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計(jì)數(shù)原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實(shí)際問題提供了思想和工具。在本章中，學(xué)生將學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)基本原理、排列、組合、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用，了解計(jì)數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，會(huì)解決簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題。一、內(nèi)容與要求1分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理通過實(shí)例，總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理；能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。2排列與組合通過實(shí)例，理解排列、組合的概念；能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公

2、式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。3二項(xiàng)式定理能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理； 會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題。上述“內(nèi)容和要求”與以往“教學(xué)大綱”基本一致，唯一不同的是“教學(xué)大綱”要求“掌握組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，并能用它解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題”，而這里沒有這個(gè)內(nèi)容和要求。二、內(nèi)容安排及說明1本章有三節(jié)內(nèi)容，共14課時(shí)，具體分配如下（供參考）：11分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 約4課時(shí)12排列與組合 約6課時(shí)13二項(xiàng)式定理 約3課時(shí)小結(jié) 約1課時(shí)2本章知識(shí)框圖分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理排列、排列數(shù)公式組合、組合數(shù)公式二項(xiàng)式定理應(yīng)用3對(duì)內(nèi)容安排的說明（1）分類加法計(jì)數(shù)和分步乘法計(jì)數(shù)

3、是處理計(jì)數(shù)問題的兩種基本思想方法一般地，面對(duì)一個(gè)復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題時(shí)，人們往往通過分類或分步將它分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，在解決這些簡(jiǎn)單問題的基礎(chǔ)上，將它們整合起來而得到原問題的答案，這是在日常生活中也被經(jīng)常使用的思想方法通過對(duì)復(fù)雜計(jì)數(shù)問題的分解，將綜合問題化解為單一問題的組合，再對(duì)單一問題各個(gè)擊破，可以達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁、化難為易的效果（2）返璞歸真地看兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，它們實(shí)際上是學(xué)生從小學(xué)就開始學(xué)習(xí)的加法運(yùn)算與乘法運(yùn)算的推廣，它們是解決計(jì)數(shù)問題的理論基礎(chǔ)本章開篇在列舉一些典型事例的基礎(chǔ)上，用明確的語言指出了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理與加法、乘法運(yùn)算之間的這種關(guān)系，并提出“不通過一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)而確定這個(gè)數(shù)”的問題，從而

4、使學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)原理的必要性由于兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的這種基礎(chǔ)地位，并且在應(yīng)用它們解決問題時(shí)具有很大的靈活性，是訓(xùn)練學(xué)生推理技能的好素材，另外，學(xué)生還不習(xí)慣用它們來分析和解決問題，所以教科書通過實(shí)例概括出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理后，給出了難度逐步增大的9個(gè)例題，使學(xué)生有較多的機(jī)會(huì)來熟悉原理及其基本應(yīng)用實(shí)際上，兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的地位需要加強(qiáng)，因此本教科書安排了較多課時(shí)，這是與以往的教科書有顯著區(qū)別的地方（3）排列、組合是兩類特殊而重要的計(jì)數(shù)問題，而解決它們的基本思想和工具就是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理教科書從簡(jiǎn)化運(yùn)算的角度提出排列與組合的學(xué)習(xí)任務(wù)，通過具體實(shí)例的概括而得出排列、組合的概念；應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理得出排列數(shù)公式；應(yīng)用分

5、步計(jì)數(shù)原理和排列數(shù)公式推出組合數(shù)公式對(duì)于排列與組合，有兩個(gè)基本想法貫穿始終，一是根據(jù)一類問題的特點(diǎn)和規(guī)律尋找簡(jiǎn)便的計(jì)數(shù)方法，就像乘法作為加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算一樣；二是注意應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理思考和解決問題（4）二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)過程是應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問題的典型過程，其基本思路是“先猜后證”與以往教科書比較，猜想不是通過對(duì)中n取1，2，3，4的展開式的形式特征的分析而歸納得出，而是直接應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理對(duì)展開式的項(xiàng)的特征進(jìn)行分析這個(gè)分析過程不僅使學(xué)生對(duì)二項(xiàng)式的展開式與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理之間的內(nèi)在聯(lián)系獲得認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，而且也為證明猜想提供了基本思路（5）“學(xué)以致用”的思想始終貫穿本章內(nèi)容兩個(gè)計(jì)數(shù)原理幾乎是一種常識(shí)，

6、這樣簡(jiǎn)單樸素的原理易學(xué)、好懂、能懂、好用，但要達(dá)到會(huì)用的境界，則需要經(jīng)過一定量的應(yīng)用性訓(xùn)練所以，教科書特別注意選擇一些典型的、富有時(shí)代氣息的應(yīng)用問題，引導(dǎo)學(xué)生用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理進(jìn)行分析、推理和論證，使學(xué)生有較多的機(jī)會(huì)在應(yīng)用過程中加深對(duì)原理的理解，提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力4本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)（1）重點(diǎn)：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，排列、組合的意義及排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式，二項(xiàng)式定理兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是最基本而重要的（2）難點(diǎn)：正確運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理以及排列、組合概念分析和解決問題由于計(jì)數(shù)問題與學(xué)生熟悉的代數(shù)問題有些不同，常常涉及一些復(fù)雜的關(guān)系，很容易造成分析過程中的邏輯混亂，而且在解決問題時(shí)還常常發(fā)生分不清排列還

7、是組合、重復(fù)或遺漏計(jì)算等情況為了突破難點(diǎn)，教科書始終把兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的理解放在突出位置，并給學(xué)生提供辨別容易混淆的概念、用不同思路分析和解決問題的機(jī)會(huì)三、編寫中考慮的幾個(gè)問題1加強(qiáng)基本概念的發(fā)生發(fā)展過程這樣的編寫意圖貫穿本章內(nèi)容始終。眾所周知，計(jì)數(shù)是人類最基本、最原始和最古老的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)。兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是人們?cè)诖罅繉?shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上歸納出來的基本規(guī)律“一個(gè)個(gè)地?cái)?shù)”的過程所產(chǎn)生的繁瑣而且容易出錯(cuò)，促使人們尋找方便、快捷的方法，即設(shè)法“不通過一個(gè)個(gè)地?cái)?shù)”而達(dá)到正確、迅速地計(jì)數(shù)的目的。這可以看成是研究兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的基本出發(fā)點(diǎn)。教科書先在引言中介紹了研究計(jì)數(shù)原理的上述目的，由此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，然后采取

8、了“問題情境引導(dǎo)探究歸納概括”的方式，安排了從具體例證中歸納兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的活動(dòng)，以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷原理的概括過程。同樣的，在排列與組合中，仍然沿用“減少重復(fù)、避免繁瑣、簡(jiǎn)便計(jì)數(shù)”的想法，安排學(xué)生熟悉的問題情景（“從3名學(xué)生中選兩名分別參加上、下午的活動(dòng)”“從1，2，3，4中取三個(gè)不同數(shù)字排成三位數(shù)”等），引導(dǎo)學(xué)生詳細(xì)分析計(jì)數(shù)過程，并概括出排列、組合的概念及其計(jì)數(shù)公式；在二項(xiàng)式定理及其證明方法的探尋中，也安排了“用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分析n=2時(shí)二項(xiàng)式的展開式學(xué)生獨(dú)立分析n=3，4時(shí)二項(xiàng)式的展開式猜想并證明二項(xiàng)式定理”的過程?？傊?，在兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列和組合的概念及其計(jì)數(shù)公式、二項(xiàng)式定理等等基本概念和原理的

9、編寫中，都強(qiáng)調(diào)了“過程性”。2強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的滲透和總結(jié)本章內(nèi)容涉及分類、化歸、從特殊到一般、多元聯(lián)系表示等眾多數(shù)學(xué)思想方法。適當(dāng)滲透并及時(shí)總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法是教材編寫中考慮的一個(gè)重要問題。例如，在兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的內(nèi)容中，滲透了分類以達(dá)到“以簡(jiǎn)馭繁”目的的基本思想：運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理解決問題就是將一個(gè)復(fù)雜問題分解為若干“類別”，然后分類解決，各個(gè)擊破；運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理則是將一個(gè)復(fù)雜問題的解決過程分解為若干“步驟”，先對(duì)每一個(gè)步驟進(jìn)行細(xì)致分析，再整合為一個(gè)完整的過程在小結(jié)中總結(jié)并使學(xué)生明確了這些思想又如，教科書通過“思考”“探究”等欄目，引導(dǎo)學(xué)生類比加法和乘法兩種運(yùn)算的關(guān)系，思考兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

10、之間的聯(lián)系；通過比較的方法，引導(dǎo)學(xué)生討論排列與組合的關(guān)系；運(yùn)用多元聯(lián)系表示思想，采用樹形圖、表格、等值語言敘述、構(gòu)造模型等多種方法，探討排列組合的概念及其計(jì)數(shù)公式等等；運(yùn)用從特殊到一般的方法，先對(duì)一些典型的計(jì)數(shù)問題進(jìn)行詳細(xì)分析，再從中概括出一般性的猜想及其證明方法；等等。3強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念的本質(zhì)的理解本章涉及兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、一個(gè)排列和排列數(shù)、一個(gè)組合和組合數(shù)以及與二項(xiàng)式定理相關(guān)的一些概念。這些概念都有一定的抽象性，如何使學(xué)生建立理解這些概念的認(rèn)知基礎(chǔ)，是教科書編寫過程中重點(diǎn)考慮的問題?？偟膩碚f，教科書采取了“歸納式”來構(gòu)建概念的理解過程，即先引導(dǎo)學(xué)生分析一些典型事例，從中歸納出共同特征，再進(jìn)一步概

11、括出本質(zhì)特征，最后還以一定量的應(yīng)用題示例，在應(yīng)用中加深對(duì)概念的理解。例如，在講排列和排列數(shù)的概念時(shí)，教科書給出了兩個(gè)具體例子，并從多個(gè)角度對(duì)實(shí)例進(jìn)行詳細(xì)分析，再通過“思考”提出概括兩個(gè)實(shí)例共同特點(diǎn)的任務(wù)，最后再給出概念。在敘述過程中，多次引導(dǎo)學(xué)生思考一個(gè)排列的特點(diǎn)：元素個(gè)數(shù)、元素的互異性、元素的順序；還強(qiáng)調(diào)得到一個(gè)排列的“操作步驟”：先取出元素，再排成一列。這樣的過程強(qiáng)調(diào)了排列的本質(zhì)，同時(shí)奠定了排列定義的理解基礎(chǔ)。4加強(qiáng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問題的基本思想方法可以說，兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問題的“根本大法”，排列、組合及二項(xiàng)式定理都是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的典型應(yīng)用。因此，教科書編寫中，特別注意引導(dǎo)學(xué)生“追

12、本溯源”，把排列、組合和二項(xiàng)式定理的研究引導(dǎo)到如何應(yīng)用計(jì)數(shù)原理的思考上來。同時(shí)，在增長內(nèi)容的處理上，也特別注意引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)計(jì)數(shù)原理分析和解決問題，避免機(jī)械套用公式。例如，在二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)中，學(xué)生自覺地聯(lián)系到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是不容易的。為此，教科書安排了如下過程：（1）在“探究”中提出如何利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理得出(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4的展開式的問題；（2）詳細(xì)寫出用多項(xiàng)式乘法法則得到(a+b)2展開式的過程，并從兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的角度對(duì)展開過程進(jìn)行分析，概括出項(xiàng)數(shù)以及項(xiàng)的形式；（3）用組合知識(shí)分析展開式中具有同一形式的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，從而得出用組合數(shù)表示的(a+b)2展開式；（4）讓學(xué)生模仿上

13、述過程推導(dǎo)(a+b)3，(a+b)4的展開式；（5）得出關(guān)于(a+b)n的展開式的猜想，給出證明從上述安排可以看到，得到二項(xiàng)式定理的猜想及其證明方法的核心就是應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理。5選擇具有時(shí)代性的事例，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)應(yīng)當(dāng)說，計(jì)數(shù)問題非常多，而且可以人為地大量編制。實(shí)際上這也是造成本章學(xué)習(xí)困難的原因之一。為了體現(xiàn)“了解計(jì)數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，會(huì)解決簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題”的要求，教科書特別注意選材的時(shí)代性和現(xiàn)實(shí)性問題，不把那些人為編制的計(jì)數(shù)難題、需要特殊技巧的計(jì)數(shù)問題納入教材中。例如，教科書在刪減計(jì)數(shù)難題的同時(shí)，增加了計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)中程序模塊命名、字符編碼、程序測(cè)試路徑，以及核糖核酸分子、汽車牌照號(hào)碼等

14、計(jì)數(shù)問題。這些問題可以讓學(xué)生感受到計(jì)數(shù)問題的時(shí)代性，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。四、對(duì)教學(xué)的幾個(gè)建議1準(zhǔn)確把握教學(xué)要求與以往“教學(xué)大綱”比較，“課標(biāo)”不要求掌握“組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)”，另外，“課標(biāo)”更加強(qiáng)調(diào)了用計(jì)數(shù)原理、排列與組合概念解決“簡(jiǎn)單的實(shí)際問題”。所以，教學(xué)中一定要把握好這種定位，避免在技巧和難度上做文章。2注意認(rèn)真剖析概念所謂“剖析概念”，實(shí)際上是對(duì)概念內(nèi)涵的深入分析，也就是要對(duì)概念的各種屬性及其關(guān)系進(jìn)行認(rèn)真分析。本章教學(xué)中，有幾個(gè)概念的關(guān)鍵屬性需要認(rèn)真分析：（1）兩個(gè)計(jì)數(shù)原理中的“完成一件事情”。這是一個(gè)比較抽象的詞匯，它比學(xué)生熟悉的“完成一件工作”“完成一項(xiàng)工程”的含義要廣泛得多，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)結(jié)

15、合實(shí)例讓學(xué)生辨析例如：“從甲地到乙地”，“從甲地經(jīng)丙地再到乙地”；“從中任取一本書”，“從中任取數(shù)學(xué)書、語文書各一本”；“從19這九個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)”；等等，這些都是原理中所說的“完成一件事情”排列、組合中的“確定一個(gè)滿足條件的排列”、“確定一個(gè)滿足條件的組合”也是指“完成一件事情”建議在概念和例題的教學(xué)中，都要求學(xué)生先思考并說出要完成的一件事情是什么。在實(shí)際應(yīng)用中，學(xué)生容易把“完成一件事情”與“計(jì)算完成這件事情的方法總數(shù)”混同例如，在分析“從19這九個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，共可組成多少?zèng)]有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)？”時(shí)，學(xué)生容易把要完成的事情理解成為“求滿足條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)”教學(xué)

16、時(shí)應(yīng)當(dāng)注意利用簡(jiǎn)單實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生消除這種誤解只有準(zhǔn)確理解了什么叫“完成一件事情”，才能進(jìn)一步分析可以用什么方法完成，是否需要分類或分步完成，這樣才能確定到底應(yīng)該用哪個(gè)計(jì)數(shù)原理（2）排列概念中的“一定順序”。同樣的，為了讓學(xué)生理解其含義，要結(jié)合實(shí)例進(jìn)行認(rèn)真分析。例如，學(xué)生熟悉的排隊(duì)問題中，“從前到后”、“從左到右”、“從上到下”都是“一定順序”；安排工作時(shí)“上午在前下午在后”也是“一定順序”；“從19這九個(gè)數(shù)字中選三個(gè)不同數(shù)字組成三位數(shù)”中，“一定順序”可以規(guī)定為“百十個(gè)”；等等。最后要使學(xué)生明確，若干個(gè)元素按照一定的順序排成一列，元素不同或元素相同但順序不同的排列都是不同的排列，即當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)排

17、列的元素和順序都相同時(shí)才是同一個(gè)排列（3）“排列數(shù)”與“一個(gè)排列”、“組合數(shù)”與“一個(gè)組合”?？梢酝ㄟ^實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生分析它們的關(guān)系。例如，123，321，213，都是“從19這九個(gè)數(shù)字中選三個(gè)不同數(shù)字組成三位數(shù)的一個(gè)排列”，這樣的排列數(shù)共有=504個(gè)。3注意用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待和分析問題，強(qiáng)調(diào)最基本的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生之所以不能較好地解決計(jì)數(shù)問題，主要是沒有學(xué)會(huì)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分析問題。所以，如何用好兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，發(fā)揮它們簡(jiǎn)單、實(shí)用、好用的效果，是本章教學(xué)的一個(gè)核心問題。為了加強(qiáng)與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系，在推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式以及分析二項(xiàng)式展開式的特點(diǎn)時(shí)，要有意識(shí)地給學(xué)生做出運(yùn)用原

18、理的示范；同時(shí)，在例題教學(xué)中也要注意從兩個(gè)計(jì)數(shù)原理出發(fā)進(jìn)行引導(dǎo)。其中，最重要的是分析清楚問題中要完成的“一件事情”是什么和怎樣完成這件事情（分步還是分類）。值得特別指出的是，數(shù)學(xué)基本概念的概括、基本原理（公式、法則、定理等）的推導(dǎo)過程最集中地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法的作用，這是進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的最好時(shí)機(jī)。例如，在組合數(shù)公式的推導(dǎo)中，教科書以問題“從集合a，b，c，d中取出3個(gè)元素組成三元子集，共有多少不同的子集？”為載體，為學(xué)生設(shè)置了如下認(rèn)知臺(tái)階：（1）借助樹形圖用列舉法得出答案；（2）以“探究”為引導(dǎo)，細(xì)致分析從a，b，c，d中取出3個(gè)元素的排列與組合之間的關(guān)系，得出；（3）以“等式的兩邊是對(duì)同一個(gè)問題作出的兩個(gè)等價(jià)解釋”為指導(dǎo)，分析等式的實(shí)際意義，得出“從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)的排列可以分兩步完成：第一步，從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)合成一個(gè)組合（不考慮順序），第二步，將取出的3個(gè)元素作全排列”；（4）將上述結(jié)果推廣到一般情形，得出組合數(shù)公式顯然，教學(xué)的難點(diǎn)是第（2）步為了突破這個(gè)難點(diǎn)，教科書引導(dǎo)學(xué)生以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)“從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)的排列”進(jìn)行分類，并以框圖的形式進(jìn)行直觀表示，從而得出“可以把這24個(gè)排列分成4個(gè)組，每組有6個(gè)不同的排列”另外，教科書指出，“把上述結(jié)果用一種能夠使人看出其來歷