第三節(jié) 二重積分的變量變換

1、第三節(jié) 二重積分的變量變換在重積分的計算過程中，有一種方法可以簡化計算，這就是變量變換。 我們從簡單的開始。定理 12. 10 U是uv平面R2的區(qū)域，D=a,b×c,d 是U子集，T是U到xy平面R2上的一一的映射（或變換），T的表達式為： (如圖)如果y(u, v)有連續(xù)偏導數(shù)，那么像集T(D)=T(u,v)| (u,v)U是可求面積的，并存在(u0, v0)D使得v ， 這里.yTDdT(D)bcabuxaU圖12-3-1證明 從條件可知道, T(D)由 x=a, x=b, y= y(u, c), y= y(u,d) , ua,b所圍成的. 即不妨設,即, 因此T(D)是可求面

2、積的. 它的面積為 ,由積分中值定理得,因x= u,記x0= u0 ,又,mD=(b-a)(d-c),故得證.類似的,我們有,定理 12. 11 U是uv平面R2的區(qū)域，D=a,b×c,d 是U子集，T是U到xy平面R2上的一一的映射（或變換），T的表達式為： 如果x(u, v)有連續(xù)偏導數(shù)，那么像集T(D)是可求面積的，并存在(u0, v0)D使得 ， 這里.定義定理 12.12 設D 是uv平面R2中的有界可求面積的閉區(qū)域， T是a,b×c,dD到xy平面R2上的本原映射，x=x(u, v), y=y(u, v), 且作為向量值函數(shù)時有連續(xù)偏導數(shù). 如果f(x, y)是

3、T(D) 上的連續(xù)函數(shù), 那么.vDd cuba圖12-3-2證明 設D包含于a,b×c,d之中（如圖12-3-2）。對任取正整數(shù)n, 分別將a,b和c,d作 等分，過分點分別作坐標軸的平行線. 這樣得到D的分劃. 這些小矩形中,包含于D之中的小矩形全體的并記為An , 而與D相交不空小矩形全體的并記為Bn . 顯然 .記, 那么Cn 也是小矩形的并,且包含了D的邊界. 因為可求面積, 所以.上面的分劃,將D分成若干個小的區(qū)域,記為D1, D2, D3, DN . 顯然有.如果,那么Di,使得, 設, 注意到, T(D1), T(D2), T(D3), T(DN) 是T(D)的分劃.

4、 相應的Riemann和為.其中表示所有滿足的i求和, 表示所有滿足的i求和,并當時,取. 為了方便,當時,任取, 同樣記, 這時有. 又因為在有界閉集上連續(xù)，所以存在常數(shù)K ，使得， 從而，而求和中的以及連續(xù)，所以存在常數(shù)H，使得H. 故.因此,當n趨于無窮大時, .引理 設D是uv平面R2中的有界可求面積的閉區(qū)域，T是 D到xy平面R2上的一一映射，x=x(u, v), y=y(u, v)., 作為向量值函數(shù)時有連續(xù)偏導數(shù), 且,則對任意,存在的鄰域使得T在該鄰域可以表達成兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的、一一的本原映射的復合.證明 記.由于,此行列式中的四個數(shù)至少有一個不為0.不妨設, 作本原映射它

5、的Jacobi行列式, 由隱函數(shù)存在定理(或逆映射定理)得, 在的某個鄰域內,有逆映射使得, 在T1的某個鄰域內有連續(xù)偏導數(shù). 再作,則有,即 由容易知道和是一一的.現(xiàn)在給出一般的二重積分的變換公式.定理 12.13 設D 是uv平面R2中的有界可求面積的閉區(qū)域， T是（a,b）×（c,d）D到xy平面R2上的一一映射，x=x(u, v), y=y(u, v), 且作為函數(shù)時有連續(xù)偏導數(shù),并. 如果f(x, y)是T(D)上的連續(xù)函數(shù), 那么.證明 對每一點Q=(u,v)D, 存在它的一個鄰域, T在這個鄰域上可以表達成兩個一一本原映射的復合. 注意到是D的開覆蓋,由Heine-Bo

6、rel有限覆蓋定理得,存在其中有限多個領域: , ,是D的覆蓋. 設,那么對正整數(shù)n,由 a,b和c,d的 等分,得到D的分劃, 當n充分大時, 每個小矩形的對角線的長度一定小于, 那么每個與Do相交不空的小矩形一定包含于某個中, 所以這樣D的分劃得到的小區(qū)域: D1, D2, D3, DN 中每個必包含于某個中., 即在每個Dj 上有.和都是本原一一映射.設 故有 . 由定理12.12 . 因此, =.得證.例 1 極坐標變換, 它是R2 到R2的一一映射，這時的Jacobi是一般情況下，在極坐標的變換之后，可以認為是在極坐標系中的二重積分.所以二重積分中，可以寫成.即 .這就是極坐標系中的

7、二重積分的表達式其計算方法也是化為二次積分來計算設積分區(qū)域可以用不等式：來表示（如下圖1-3-3(a)），則此時二次積分化為圖12-3-3若積分區(qū)域是如上圖12-3-3(b)表示的區(qū)域，即可以用不等式表示，則.若積分區(qū)域是如圖12-3-4所示的區(qū)域，即能用不等式表示，則圖12-3-4例2 求二重積分，其中區(qū)域是由圍成的解 用極坐標計算，此時積分區(qū)域用不等式表示，所以例3計算二重積分，其中為圓的內部解 用極坐標計算，區(qū)域可以表示為所以,z例4計算圓柱面所圍的空間區(qū)域被球面所截的部分的立體的體積圖12-3-52|a|xy解 根據(jù)對稱性，只要計算出此立體在第一卦限的體積，就可以得到立體體積此立體在第一卦限的部分可以看成是以坐標面上的半圓區(qū)域為底，以曲面為頂?shù)那斨w其體積為區(qū)域在極坐標系下可以表示為，如下圖12-3-6所以圖12-3-6所以所求的空間立體的體積為. y=2x例5 求由曲線xy=1, xy=2, y=x, y=2x 所圍成的區(qū)域的面積.y解 記該區(qū)域為D,y=x yx=2 作變換 T 的逆變化T -1:yx=1x圖12-3-7因為 T將1,2×1,2映射為D, 所以 .習題 12-31. 求下列積分1) , D : .2) , D : .3) , D : .4) 5) 6) ,其中D是由圓周及坐標軸所圍成的第一象限內的閉