離散型隨機變量及其分布列(一)

1、離散型隨機變量及其分布列（一）聊城二中 魏清泉一教材內(nèi)容分析- 地位與作用概率是對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律演繹的研究，而統(tǒng)計是對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律歸納的研究，兩者雖有明顯的不同，但它們都是相互滲透、相互聯(lián)系的?！半x散型隨機變量的分布列”作為概率與統(tǒng)計的橋梁與紐帶，它既是概率的延伸，也是學習統(tǒng)計學的理論基礎，能起到承上啟下的作用，是本章的關鍵知識之一。隨機變量是將隨機現(xiàn)象的結(jié)果數(shù)量化，把對隨機事件及概率的研究轉(zhuǎn)化為對隨機變量及概率的研究2  重點、難點根據(jù)以上分析，本節(jié)課的重點是理解離散型隨機變量二教學目標知識目標：理解隨機變量、離散型隨機變量的概念；能力目標：通過教學滲透由特殊到一般

2、的數(shù)學思想，發(fā)展學生的抽象、概括能力；情感目標：通過引導學生對解決問題的過程的參與，使學生進一步感受到生活與數(shù)學“零距離”，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情，使學生獲得良好的價值觀和情感態(tài)度。三教學方法選擇采用發(fā)現(xiàn)式教學法為主，講授式教學法為輔的教學方法，讓學生充分參與知識的發(fā)現(xiàn)與問題的解決過程，整個過程設置了四個問題情境，要求學生思考、討論、表述，自始至終處于活躍的思維狀態(tài)中，充分發(fā)揮學生的形象思維、抽象思維、邏輯思維和創(chuàng)造思維。四教學過程設計1、新課引入（1）擲色子（2）投擲硬幣2、隨機變量的概念在課本上的射擊的隨機試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果都可以用一個數(shù)即“環(huán)數(shù)”來表示，這個數(shù)在隨機試驗前是無法預

3、先確定的在不同的隨機實驗中，結(jié)果可能有變化，就是說，這種隨機試驗的結(jié)果都可以用一個變量來表示在產(chǎn)品檢驗的隨機試驗中，結(jié)果也可以用“次品數(shù)”這個變量表示如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母、等表示兩點說明：（1）課本在介紹隨機變量的概念時，不加定義地引入了“隨機試驗”的概念一般地，一個試驗如果滿足下列條件：試驗可以在相同的情形下重復進行；試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不只一個；每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果這種試驗就是一個隨機試驗，為了方便起見，也簡稱試驗（2）所謂隨機變量，即是

4、隨機試驗的試驗結(jié)果和實數(shù)之間的一個對應關系，這種對應關系是人為建立起來的，但又是客觀存在的這與函數(shù)概念的本質(zhì)是一樣的，只不過在函數(shù)概念中，函數(shù)f(x)的自變量x是實數(shù)，而在隨機變量的概念中，隨機變量的自變量是試驗結(jié)果例如，任意擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上這兩種結(jié)果，雖然這個隨機試驗的結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)，但仍可以用數(shù)量來表示它通常我們用來表示這個隨機試驗的結(jié)果：=0，表示正面向上；=1，表示反面向上例1 如果用表示拋擲一枚硬幣的結(jié)果，出現(xiàn)“正面”記為1，出現(xiàn)“反面”記為0，則是一個可以取0和1兩個可能值的隨機變量。例2 如果用表示拋擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則是一個可以取1，2，6六個可能

5、值的隨機變量。 例3如果用表示在件產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)，或在次射擊時命中目標的次數(shù)，則是一個可以取個可能值0，1，2，的隨機變量。3、隨機變量和函數(shù)的關系4、離散型隨機變量的概念如果隨機變量的所有可能值只有有限多個或可列多個（所有值可以一一列出）則稱之為離散型隨機變量。說明：（1）離散型隨機變量可能取的值為有限個或至多可列個這里的“可列”不易理解，所以課本用比較淺顯的語言“按一定次序一一列出”來描述比如取1，2，n，（2）教材中為了控制難度，所涉及到的離散型隨機變量可能取的值的個數(shù)多數(shù)是有限的5、電燈泡例子的分析6、練習與鞏固（1）課本52頁（2）指導書3031頁7  課堂小結(jié)引導學

6、生總結(jié)，教師加以整理離散型隨機變量的概念的理解。五、作業(yè)布置預習第二節(jié)離散型隨機變量及其分布列（二）聊城二中 魏清泉教材內(nèi)容分析1  地位與作用概率是對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律演繹的研究，而統(tǒng)計是對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律歸納的研究，兩者雖有明顯的不同，但它們都是相互滲透、相互聯(lián)系的。“離散型隨機變量的分布列”作為概率與統(tǒng)計的橋梁與紐帶，它既是概率的延伸，也是學習統(tǒng)計學的理論基礎，能起到承上啟下的作用，是本章的關鍵知識之一。隨機變量是將隨機現(xiàn)象的結(jié)果數(shù)量化，把對隨機事件及概率的研究轉(zhuǎn)化為對隨機變量及概率的研究；離散型隨機變量的分布列反映了隨機變量的概率分布，將實驗的各個孤立事件聯(lián)系起來，從整體上研究

7、隨機現(xiàn)象。并為定義離散型隨機變量的數(shù)學期望和方差奠定基礎，揭示了離散型隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律。2  重點、難點根據(jù)以上分析，本節(jié)課的重點是求離散型隨機變量的分布列。難點是二項分布，這是因為如何判斷隨機變量是否服從二項分布及二項分布綜合運用n次獨立重復實驗恰好發(fā)生k次的概率公式及二項式定理公式的運用存在困難，其次計算比較煩瑣。教學目標1  知識、能力、情感目標知識目標：了解離散型隨機變量的分布列，會求某些簡單的離散型隨機變量的分布列；能力目標：通過教學滲透由特殊到一般的數(shù)學思想，發(fā)展學生的抽象、概括能力；情感目標：通過引導學生對解決問題的過程的參與，使學生進一步感受到生活與數(shù)學“

8、零距離”，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情，使學生獲得良好的價值觀和情感態(tài)度。2  學生的認識水平知識結(jié)構方面，學生已學習了排列、組合、二項式定理、概率和隨機變量，已具備了本節(jié)課所需的預備知識。能力方面，經(jīng)過兩年學習，學生具有了一定的發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力，抽象、概括能力，邏輯思維能力，通過設立問題情境，在教師的啟發(fā)引導下，能力目標不難達到。情感方面，學生對新鮮事物充滿好奇，參與意識強，通過與生活緊密相連的問題設計，激發(fā)學生的學習興趣，情感目標可以達到。教學方法選擇采用發(fā)現(xiàn)式教學法為主，講授式教學法為輔的教學方法，讓學生充分參與知識的發(fā)現(xiàn)與問題的解決過程，整個過程設置了四個問題情境，要

9、求學生思考、討論、表述，自始至終處于活躍的思維狀態(tài)中，充分發(fā)揮學生的形象思維、抽象思維、邏輯思維和創(chuàng)造思維。教學過程設計一、  設立問題情境，設置懸念斷案兔子是誰打死的？在還未禁獵的年代，有一天，兩位獵人同時發(fā)射一槍，打死一只正在奔馳的野兔，二人直奔獵物，都想得到這個戰(zhàn)利品，于是爭論起來。一智者路過此地，問明事由，出面調(diào)解，獵人甲稱：“我的槍法百發(fā)百中，兔子是我打死的。”獵人乙爭辯道：“我的槍法比他準，兔子分明是我打中的。”智者道：“你們不必爭吵了，聽我安排?！敝钦呙讼蛲荒繕烁鞔蛭鍢?，甲的命中率為0.4，乙的命中率為0.6。甲以為這下完了，兔子必判給乙，很喪氣，扭頭便走，智者喊

10、到：“且慢，聽我慢慢道來?！敝钦呓?jīng)計算，告訴二人：“既然兔子已被你們打死，那么甲單獨擊中的機會是，乙單獨擊中的機會是 ，二人共同擊中的機會是 ?！彼ㄗh：“如果此獵物價值若干，你們可按 七比十二分配。”結(jié)果兔子賣了五十七元，甲分得二十一元，乙分得三十六元，兩人皆大歡喜，欣然而歸。 請同學們想一想，這個分配方案是否合理？智者是如何做出這個分配方案的？涉及意圖：設置懸念，營造一種神秘氣氛，容易吸引學生注意力，調(diào)動學生學習興趣，使他們有一種強烈的求知欲望，同時揭示隨機變量的分布列的客觀存在性和研究它的必要性。二、  提出問題，引入主題     拋擲一

11、枚骰子，求所得點數(shù) 及 取各值的概率；     拋擲三枚硬幣，求正面向上的個數(shù) 及 取各值的概率；學生思考、討論，教師巡視、傾聽，獲取反饋信息，適時引導，共同探究，畫出表格，表格從概率角度指出 的可能取值及取各值的概率，我們稱此表為 的分布列。由學生觀察表格，歸納其特征，試著表述分布列的概念，教師及時糾正，引導學生用規(guī)范的數(shù)學語言敘述得到：三、離散型隨機變量概率分布 （一）概率分布 定義1 設X是離散型隨機變量，它可能取值為 ，對這些不同的值，其概率為 (k=1,2,)稱為離散型隨機變量的概率分布，簡稱分布列（或分布律）1.表達式法 通常，稱上式為離散型

12、隨機變量的概率函數(shù)。2.表格法通常，稱上表為離散型隨機變量的概率分布表。3.圖示法有時為直觀起見，也可以用圖示的方法表示離散型隨機變量的概率分布，如圖4.3所示。的概率分布還可用圖示法表示,圖4.3是離散型隨機變量的概率分布圖。 圖4.3 命中次數(shù)的概率分布圖進一步思考：離散型隨機變量的分布列有何性質(zhì)？設計意圖：學生自己發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題。這一過程遵循由特殊到一般，從感性到理性的認知規(guī)律，進一步發(fā)展學生歸納、抽象能力。（二）概率分布的基本性質(zhì) 1. . 2. .（三）兩種分布1、兩點分布：只有兩個可能取值的隨機變量所服從的分布，稱為兩點分布。其概率函數(shù)為例1 一批產(chǎn)品的廢品為5%，從

13、中任意抽取一個進行檢驗，用隨機變量來描述廢品出現(xiàn)的情況。即寫出的分布。解  這個試驗中，用表示廢品的個數(shù)，顯然只可能取0及1兩個值。表示“產(chǎn)品為合格品”，其概率為這批產(chǎn)品的合格率，即      ，而表示“產(chǎn)品是廢品”，即，列成概率分布表如表2-2所示。表2-2095%15%也可以用下述等式表示：    2、超幾何分布超幾何(Hypergeometric)分布這是如下的概率分布：P(=)=， ， = 0，1，2，(,)。 (16)在產(chǎn)品質(zhì)量的不放回抽檢中，若件產(chǎn)品中有件次品，則抽檢件時所得次品數(shù)就服從超幾何

14、分布。因為，所以我們證明了一個很有用的組合公式：二項分布與超幾何分布有密切的聯(lián)系。在(16)式中，若,不變， 則 ()。 (17)因此，當很大時，超幾何分布就可以用二項分布來近似計算。四、 例題評講，鞏固深化例1 在擲一枚骰子的試驗中，試寫出可能出現(xiàn)的點數(shù)的概率分布列.X1 2 3 4 5 6 P1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 解 設X表示擲一枚骰子可能出現(xiàn)的點數(shù).顯然，X的所有可能取值為：1，2，3，4，5，6.由古典概型知X取每一個值的概率均為 .X的概率分布表為: 例2     某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布如下：X0 1 2 3 4 5

15、 6 7 8 9 10 P0 0 0.01 0.01 0.01 0.02 0.10 0.30 0.35 0.15 0.05 求此射手射擊一次命中環(huán)數(shù)7的概率。離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和。設計意圖：例題本身是利用離散型隨機變量的分布列求概率，目的是加強對分布列的認識與記憶，幫助學生明確解題步驟，規(guī)范解題格式，提高運算能力。例3 某人打靶，命中環(huán)數(shù)X的概率分布表為：45678910P002004006009028029022求（1）至少命中9環(huán)的概率；（2）命中少于6環(huán)的概率.解：X為此人命中的環(huán)數(shù)，它是一個隨機變量，X的取值為0，1，10.（1）“至少命

16、中9環(huán)”是指命中9環(huán)或命中10環(huán)，并且這兩個事件互不相容， X取值為9和10，概率為P(X9)=P(X=9)+P(X=10)=0.15+0.05=0.20. （2）“命中少于6環(huán)”是指命中環(huán)數(shù)為0環(huán)、1環(huán)、2環(huán)、3環(huán)、4環(huán)、5環(huán)，并且兩兩事件互不相容，X取值為0，1，2，3，4及5，概率為 =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) =0+0+0.01+0.01+0.01+0.02=0.05. 五  課堂小結(jié)引導學生總結(jié)，教師加以整理離散型隨機變量的分布列的概念二項分布設計意圖：有利于鞏固所學知識，培養(yǎng)歸納、概括能力，進一步完成知識目標和能力目標。六、  練習與作業(yè)通過課內(nèi)練習和課外作業(yè)，鞏固加深對知識的理解。解決引入部分提出的問題，并提出課后思考題：分布列全面反映統(tǒng)計規(guī)律，但有些實際問題這樣的全面描述并不使人感到方便，例如：已知在同一品種的母雞中，一只母雞的年產(chǎn)蛋量是一個隨機變量，試比較兩個品種的母雞年產(chǎn)蛋量，這個問題如何解決？通過最后設題，將學生的思維向外延伸，激發(fā)學生的發(fā)散思維，為下節(jié)課學習作好鋪墊。七、評價與分析 學生學習的過程應該是：具體抽象具體。即由感性認識上升到理性認識，形成抽象思維，這是一個歸納過程，然后用歸納的結(jié)論去指導具體問題的解決，這是一個演繹過程，學生