應變花計算公式

1、0蚆1 1 概述（1 1）平面應變狀態(tài)：即受力構件表面一點處的應變情況。（2 2）測試原理:一般最大應變往往發(fā)生在受力構件的表面。通常用應變儀測出受力構件表面一點處三 個方向的線應變值，然后確定該點處的最大線應變和最小應變及其方程。蝕2.2.公式推導:螆（1 1）選定坐標系為 xoyxoy，如圖示肁（2 2）設 0 0 點處，為已知。廠門規(guī)定伸長為正，切應變= 以 xoyxoy 直角增大為正。（3 3）求任意方向，-方向（-規(guī)定逆時針方向為正）的線應變二 和切應 變 （即直角的改變量）。（4 4）疊加法：求，方向的線應變二 和切應變蒂由于而引起 dsds 的長度改變宀，膀-1 - 小 :;:廠

2、 .：.：,川（A/） dxdyd旺一& = -_- = cos at + evsin a rn sinCE莊ds dsydsds必dy,一=cose,-_ = sinCt*dsds耳=耳cos G sin a- a cos a-生二邑十勺匚亙口 加一上竝22 2 2亠d；“in a3 = - - = cos iisindsrwxcos a決二_x-二r cos* ads17& -日1 + q + $ =（% 兮Isin crcoscr+r cos2Q羀以:代替式（C C）中的，求得；坐標軸偏轉角度:蕆-方向（即方向）的線應變:的切應變即方向的直角改坐標軸偏轉的角度dsr ci

3、y cos aq - :-= _片血acosa羅:蕿杖=-（耳 e 片）sin口cos+ 尸即sin * a;aK+ craK- aa =-+- cos 2a - rmsin 2ac22期ax-r - - - sm 2a + cos 2aJOT羅3.3.結論螈(1 1)已知螂(2 2)已知=ff -ff 2（爲- Jsin acos cs + cos2sin 2a + cos 2a 2Jr 可求得任意方向 的cos 2a22螆(3 3)主應變和主應變方向 比較上述公式，可見羇4.4.應變圓蒞5.5.應變的實際測量薈用解析法或圖解法求一點處的主應變時， 首先必須已知，然而用應變儀直 接測量時，可

4、以測試，但.不易測量。所以，一般是先測出任選三個方向=膂故: :=:I22蒄聯(lián)解三式，求出- -,于是再求出主應變的方向與數(shù)值衿由式求出 二，當時與二、四相限的角度相對應。膆6.6.直角應變花（4545應變花）測量的線應變- Fn然后利用一般公式，將， 一代入22COS2CE- sin2a蒁得出:222-+2+ JETE $22cos2ct-2他（3）聿蒂為了簡化計算，三個應變選定三個特殊方向羅測得：w；“ rr，代入” 一般公式求得:沁込- %A爲-sy盤護電曲羈討論：若飛 7匚打牛沐閃：與二、四相限的診角度相對應。見 P257P257、7.217.21 題螄6.6.等角應變花測量螁一般公式

5、:Sill 2tz *襖測定值二代入式（a a）得:備= f -* f -* f - -氣o=（耳幻）_中- -t -t f f f 2GOS 2d f2聿得:莈：m m襖，:八：得務宀”氣宀廠號+勺 % . 知=- T-. - 1 -2 2 2I-2勺聊+ 2氣護一勾。F_-f -f f T f f f O袁羀主應變方向：3tan 2q - r -* f薈Tff-t羄 m m冃肀故: :tan芇膃于是由主應變公式:穿過二，四相限. .見 P258,P258, 7.227.22 題芃ExampleExample 1.1.用直角應變花測得一點的三個方向的線應變Li芀0c222蚇莃螈.藪 砂=15

6、.5% +90 =105.5袈FindFind :主應變及其方向棄=300 x10備二-200 x10詁2珂二經(jīng)亠土知-300 x10 + 200 x10XxW-4卜如107曲1訃300 x101羃fS m:呢蒀故過二、四相限。莆Example2.Example2.若已測得等角應變花三個方向的線蒃0 1j試求主應變及其方向袇SolutioSolutio n n薃即: :7 33x10*-6.00X101鳥-7 33x10.邑=-6.00 x10tan 2兔=一_吆二=忑2升-忙肘-%薀袈.I_ 2(垃滬 %)F ,=- -耶頁2X10X10-*怙 0 *（負一、三）號=-0 5775x10(0

7、-羆腫兀一、三應，航工詠匕心螃應力測量(measurement of stress)莂測量物體由于外因或內(nèi)在缺陷而變形時，在它內(nèi)部任一單位截面積上內(nèi)外兩方的相互作用力。應力是不能直接測量的，只能是先測出應變，然后按應力與應變的關系式計算出應 力。若主應力方向已知， 只要沿著主應力方向測出主應變，就可算出主應力。各種受力情況 下的應變值的測量方法見表蝿軸向拉伸（或壓縮）時，沿軸向力方向粘貼應變片（表 I 之 14），測出應變s,按單向虎 克定律算出測點的拉（壓）應力d=s。式中s為應變，E 為彈性模量。2卜6冥-4x1l,155xl0-3(0螅彎曲時在受彎件的上下表面上粘貼應變片（見表 1 之

8、56），測出應變 e,可計算彎曲袀應力。袂扭轉時沿與圓軸母線成45。角的方向貼片（表 1 之 79），測出主應變 em,再代入虎克定律公式算出主應力045，即得最大剪應力max:蒁式中卩為泊松比。螈拉（壓）、彎曲、扭轉，其中兩種或三種力的聯(lián)合作用下，不同測量要求的應變值測量 方法分別見表 1 的 1014。羂主應力方向未知時的應力測量如圖1 所示。在該測點沿與某坐標軸 X 夾角分別為a、a和a的 3 個方向，各粘貼一枚應變片，分別測出3 個方向的應變ai圖I利用三枚應覺片聘暑一點處的主應力罿a2 和a3 根據(jù)下式匚 CjCOSffj + 7Jr5ina) )C0srT1E勺=tjcosj +

9、eTsin?*2十Zsinajcos卜j = eosj十野！tin +/,ysinof3cosff3薇肂可解出 , sy 和再代入下式求出主應變a、2和主方向與 x 軸夾角 a：蟻最后，再根據(jù)廣義虎克定律公式莆求出王應力5、Q2和 Tmax。螞實際上為了簡化計算，3 枚應變片與 z 軸的夾角 d、32和 a3總是選取特殊角，如 00、 45、60、90和 1200并將 3 枚應變片的敏感柵制在同一基底上， 形成應變花。 常用的應 變花有直角應變花（00 一45。一 90。）和等角應變花（0。一 60。一 120）。不同形式的應變花 的計算公式見表 2。（E- +嚴岔）荿腿用應變片測量的應變值一

10、般是很小的，因而電阻值的變化同樣是很小的。 要把應變計連接到一定的測量系統(tǒng)中，以精確測定應變片電阻值的變化。的測量系統(tǒng)框圖見圖 2。樓牧議-連it電踣-矗歩羸規(guī) T嶽助電脾FSH補償違弗翡記*為此，有必用應變片測量應變I圍定各種號的站片直整橋方式冥際史童ds的婁系（DMM向力產(chǎn)生們 良燮戴醐 軸向加 ）葫障翌庫平憫內(nèi)晌*問力的ii廈履應方棗1半常權扯. 匸惟.男按沮度tt*島方察2半梢接洙 瞅骨串聯(lián)丁作+岡fit能補償H方塞3収臀匸悴* 不另設灣卜片方案4全折植払 因吋工粹* 不另tanIT補詮片萬塞1串橋I崔. 収工作. 拆坷設SL廈卄肆片 2隹祈接法 國工件* 不另設倒 度補檔片K.IH：

11、wJ丄*W乍堆 溝議住 荷刖嵐的號 曲誓構出電壓握1II方式電橋輸出電蔭 a案薛踵變 嗎竄變僅饌ftflR產(chǎn)生的J2向力W瞬呢的蓋響*宅倉應( (1MWm只” Mi“)禍肄冏h/RL=不齡播 除拉獰柯粵曲的:沖#* 2半帚矗警+機曹工怦.度補片方室$ 空幃接注.MW匸祥. 樂闿設電 虞補償用片塞全ffrMft.INV匸憐*an*片冇案 ra V E作萃號設 廈補償心曲=出電FK ft 1倩.龍旳鼻個不捕除出電 伍蜒高4儲，倦兩 拉憚和號HZtl * *)軸粗電FkttA 2(1 +/I (isw舟平均柞用 峰濟障岡阱4 i占I出電fE A 倩*儀輻總 皿壓屋響應吏祀計算公式了境變寸主應力的計.

12、和仝式ttH捷悌方貳t（l 亠如:二牛ML丹，*CfiiSlL候蚱電雖*毬龍沖很啟事f J就陽；止1 t H& tt il tt*電橋1出電壓Av全韓特出. 艸r.ti.K+Ht片療 也 電壓攝驀】 惜.続俯璋植（庾）響(PRMIWft S ti2nnnii 1 ffl ffl轉噸童輸 出 電壓臭疵mi+Q ffi *卩:軒平的作用 篇制隙育 輯平快播戰(zhàn)+煤片ti）nn Mit計審 *應童柿鏑岀牡 M4倚莊尬險槍棹和彎:全橋擅祛3W匚恂.百目訛811*卜跡用費(11RftH 3 *:_士 +7 如 _二串片:+節(jié)屯嚴卓4*-十卩十*町：.瞥性蝕叫（*呻 X）節(jié)占2十P3 1那瀘邛二:;

13、 J畑:欄蟲土皿 二忑匚“腎甘厶 ：-+（巧幫焉嚴i+WP町:-號叫十*如）*十|；鼻廣|7*-3r+忙 ytv1*HivNIf空曇4-州jr膈電阻應變測量法是實驗應力分析中應用最廣的一種方法。電阻應變測量方法測岀的是構件上某一點處的應變，還需通過換算才能得到應力。根據(jù)不同的應力狀態(tài)確定應變片貼片方位，有不同的換算公式。薆 8.7.1單向應力狀態(tài)*|璋卻蒃在桿件受到拉伸（或壓縮）情況下，如圖 8-31 所示。此時只有一個主應力si,它的方向是平行于外加載荷F的方向，所以這個主應力si 的方向是已知的，該方向的應變?yōu)閑l。而垂直于主應力si 方向上的應力雖然為零，但該方向的應變e2 工 0，而是

14、e2=-卩el。由此可知：在單向應力狀態(tài)下，只要知道應力si 的方向,雖然si 的大小是未知的，可在沿主應力si 的方向上貼一個應變片，通過測得el，就可利用si=Eei 公式求得si。羋8.7.2主應力方向巳知平面應力狀態(tài)蚆平面應力是指構件內(nèi)的一個點在兩個互相垂直的方向上受到拉伸（或壓縮）作用而產(chǎn)生的應力狀態(tài)，如圖8-3i 所示。蝕圖中單元體受已知方向的平面應力si 和s2 作用，在 X 和 Y 方向的應變分別為肀si 作用：X 方向的應變el 為si/E蚅Y 方向的應變e2 為-卩si/E螆s2 作用：Y 方向的應變e2 為e2/E肁X 方向的應變el 為-卩e2/E蒈由此可得 X 方向的

15、應變和 Y 方向的應變分別為蚈-吟=評廠呵）6 1 #、(8-72 )螅上式變換形式后可得(8-73)祎膀由此可知：在平面應力狀態(tài)下，若已知主應力S1 或S2 的方向(si 與S2 相互垂直)，則只要沿si 和S2 方向各貼一片應變片，測得 l 和 2 后代入式(8-73 )，即可求得si 和S2 值。蕆8.7.3主應力方向未知平面應力狀態(tài)當平面應力的主應力si 和b2 的大小及方向都未知時，需對一個測點貼三個不同方向的應變片，測出三個 方向的應變，才能確定主應力si 和s2 及主方向角q三個未知量。圖 8-33 表示邊長為x和y、對角線長為丨的矩形單元體。設在平面應力狀態(tài)下，與主應力方向成q

16、角的任II一方向的應變?yōu)?，即圖中對角線長度丨的相對變化量。由于主應力sx、sy的作用，該單元體在 X、Y 方向的伸長量為X、y，如圖 8-33(a)、(b)所示，該方向 的應變?yōu)閑x=Ax/x、ey=Ay/y；在切應力Txy作用下，使原直角/ XOY 減小gxy，如圖 8-33(c)所示，即 切應變gxy=Ax/y。這三個變形引起單元體對角線長度丨的變化分別為Axcosq、Aysinq、ygxycosq，其應變分別為excos2q、eysin2q、gxysinqcosq。當ex、ey、gxy同時發(fā)生時，則對角線的總應變?yōu)樯鲜鋈?者之和，可表示為= fcos B + E嚴in 5 + sin f

17、fcosff(8-74 )利用半角公式變換后，上式可寫成5 =-_ +-_ cos2 + -sin 25L 222丨(8-75 )圖83在。和。作用下單元體的應變由式(8-75)可知e9與ex、ey、gxy之間的關系。因ex、ey、gxy未知，實際測量時可任選與X 軸成q1、q2、q3 三個角的方向各貼一個應變片，測得e1、e2、e3 連同三個角度代入式(8-75)中可得2尋(8-76 )由式(8-76)聯(lián)立方程就可解出ex、ey、gxy。再由ex、ey、gxy可求出主應變el、e2 和主方向與X軸的夾 角q,即3= arctg-:閣S-34絲式應變花將上式中主應變el 和e2 代入式(8-7

18、3)中，即可求得主應力。在實際測量中，為簡化計算，三個應變片與X 軸的夾角q1、q2、q3 總是選取特殊角，如0、45和 90或 0、60和 120角，并將三個應變片的絲柵制在同一基底上，形成所謂應變花。圖8-34 所示是絲式應變花。設應變花與X 軸夾角為q仁 0，q2=45、q3=90，將此q1、q2、q3 值分別代人式(8-76)得1. , 1. , 1用二(耳+(比一片)二務1y、1頤氓+5)-”億-片)=號(8-78)由式(8-78)可得耳=EQE,二冷$耶二2 % -(心+Eg(8-79)將式(8-79)代入式(8-77)可得主應變el、e2 和主應變方向角q的計算式為cos 2氏

19、+sin 2勺cosy邯-smcos町二一1(耳盲尸十總(8-80) I腫宀 T2f -f右ca(8-81 )將式(8-80)代入式(8-81)得應力計算公式為(8-82 )對q1=O、q2=60、q3=120的應變花，主應變el、e2 和主應變方向角B及主應力si 和s2 計算公式為二孑(6 +勺0+尊加)5) )32t_()亍J僦-弘+(% -f120) )J+2130_0) )(8-83 )arctg蔚j：-嚴：22心_-一120 _(8-84)應*Q+薊 +EU= :31-(土)-(弘-60) )2+( (%-勺如尸+頂一尸1+P (8-85 )2以下無正文僅供個人用于學習、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur