高三數(shù)學教案第二節(jié)雙曲線

1、第二節(jié) 雙曲線一、基本知識概要：1.雙曲線的定義第一定義：平面內與兩個定點距離的差的絕對值等于的點的軌跡，即點集。（為兩射線；2無軌跡。）無外面的絕對值則為半條雙曲線，左-右為右支，上-下為下支等。第二定義：平面內與一個定點F和一條定直線的距離的比是常數(shù)的動點的軌跡。即點集=，一個比產生整條雙曲線。2.雙曲線的標準方程及幾何性質標準方程圖形性質焦點F1（-，F(xiàn)2（F1（，F(xiàn)2（焦距| F1F2|=2c 一個Rt范圍對稱性關于x軸，y軸和原點對稱頂點（-a，0）。（a，0）（0，-a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b準線漸近線共漸近線的雙曲線系方程或焦半徑P在右支上，P在左支上，P在上支上，P

2、在下支上，平面幾何性質，大開口大離心率焦準距準線間距=焦?jié)u距=。說明：(1)雙曲線的兩個定義是解決雙曲線的性質問題和求雙曲線方程的兩個有力工具，所以要對雙曲線的兩個定義有深刻的認識。(2)雙曲線方程中的與坐標系無關，只有焦點坐標，頂點坐標，準線及漸近線方程與坐標系有關，因此確定一個雙曲線的標準方程需要三個條件：兩個定形條件，一個定位條件，焦點坐標或準線，漸近線方程。求雙曲線標準方程常用的方法是待定系數(shù)法或軌跡方程法。(3)直線和雙曲線的位置關系，在二次項系數(shù)不為零的條件下和橢圓有相同的判定方法和有關公式，求解問題的類型也相同。唯一不同的是直線與雙曲線只有一個公共點時，不一定相切。利用共漸近線的

3、雙曲線系或方程解題，常使解法簡捷。(4)雙曲線的焦半徑，當點P在右支（或上支）上時，為當點P在左支（或下支）上時，為利用焦半徑公式，解題簡潔明了，注意運用，3.重點、難點：深刻理解確定雙曲線的形狀，大小的幾個主要特征量，掌握定義，性質，掌握直線與雙曲線的位置關系。4.思維方式：方程的思想，數(shù)形結合的思想；待定系數(shù)法，參數(shù)思想等。二、例題：例1：根據(jù)下列條件，求雙曲線方程： (1) 與雙曲線有共同漸近線，且過點；(2) 與雙曲線有公共焦點，且過點?！窘狻浚海?）設所求雙曲線方程為，將點代入得，所以雙曲線方程為。（2）設雙曲線方程為，將點代入得，所以雙曲線方程為?！舅季S點撥】利用共漸近線的雙曲線系

4、方程解題簡捷明了。要善于選擇恰當?shù)姆匠棠Ｐ汀＠?：在雙曲線上求一點P，使它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍?！窘狻浚涸OP點的坐標為，分別為雙曲線的左，右焦點。雙曲線的準線方程為。 P在雙曲線的右支上。 。把代入方程得。 所以，P點的坐標為（，）【思維點撥】運用焦半徑公式，解題簡潔明了.例3（2002年全國，19）設點P到點M（1，0），N（1，0）距離之差為2m，到x軸、y軸距離之比為2，求m的取值范圍。解：設點P的坐標為（x,y），依題意得。 （1）因此，點P（x.y）,M(-1,0),N(1,0)三點不共線，得，因此，點P在以M，N為焦點，實軸長為2的雙曲線上，故 （2）將（1）代入（

5、2），并解得，解得0，即m的取值范圍為?！舅季S點撥】本題考查了雙曲線的定義、標準方程等基本知識，考查了邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力。解決此題的關鍵是用好雙曲線的定義。例4：已知雙曲線的離心率，左，右焦點分別的為，左準線為，能否在雙曲線的左支上找到一點P，使得是P到的距離與的等比中項?！窘狻浚涸O在左半支上存在點P，使，由雙曲線的第二定義知，即 再由雙曲線的第一定義，得 由，解得： 由在中有 ， 利用，從式得 解得，與已知矛盾。 符合條件的點P不存在。 【思維點撥】利用定義及假設求出離心率的取值是關鍵。例5如圖，在雙曲線的上支有三點，它們與點F（0，5）的距離成等差數(shù)列。（1） 求（2）

6、 證明：線段AC的垂直平分線經過某一定點，并求此點坐標解：（1）故F雙曲線的焦點，設準線為，離心率為，由題設有（1）分別過A、B、C作x軸的垂線，則由雙曲線的第二定義有，代入（1）式，得，于是兩邊均加上準線與x軸距離的2倍，有（2）AC的中垂線方程為（2）由于A、C在雙曲線上，所以有相減得故（2）式化為，易知此直線過定點?！舅季S點撥】利用第二定義得焦半徑，可使問題容易解決，中垂線過弦AC的中點，中點問題往往把A、C的坐標代入方程，兩式相減、變形，即可解決問題。例6：（備用） 已知雙曲線的焦點在軸上，且過點和，P是雙曲線上異于A、B的任一點，如果APB的垂心H總在此雙曲線上，求雙曲線的標準方程。

7、【解】：設雙曲線方程為為雙曲線上任一點，BN，PM是APB的兩條高，則BN方程為 PM方程為 又 得，又H在雙曲線上， ，所以雙曲線方程為【思維點撥】設方程，消參數(shù)。例7：（備用）雙曲線的實半軸與虛半軸的長的積為，它的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線過F2且與直線F1F2的夾角為，且，與線段F1F2的垂直平分線的交點為P，線段P F2與雙曲線的交點為Q，且:=:，建立適當?shù)淖鴺讼?，求雙曲線的方程?！窘狻浚阂訤1F2的中心為原點，F(xiàn)1，F(xiàn)2所在的直線為軸建立坐標系，則所求雙曲線方程為，設，不妨設的方程為，它與軸交點由定比分點坐標公式Q點的坐標為 即由點Q在雙曲線上可得 又 解得，所以雙曲線方程為三、課堂小結：1. 漸近線是刻畫雙曲線的一個十分重要的概念，漸進線方程為的