哈工大大一(下)工科數學分析期末考試知識點總結-劉星斯維提整理

1、1102002班工科數學分析（下）知識點整理人：劉星斯維提（1）：曲線積分:第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：設f （x, y）在L上連續(xù),L的參數方程為:冗（8級,則:y =屮（t）PJf (x,y)ds = Jf 申(t)，屮(t)jX(t) + 屮2(t)dt特殊情況:第二類曲線積分（對坐標的曲線積分）：設L的參數方程為P(x, y)dx - Q(x, y)dyL兩類曲線積分之間的關L上積分起止點處切向量二(t)丿，則：=(t)P二 p ：(t)/-(t)r： (t) q(t)】t (t) dt0(系：Pdx Qdy 二(Pcos 很亠 Qcos |：,)ds，其中LL的方向角。格林公

2、式：（二9 _上）dxdy = ： Pdx - Qdy格林公式：d *:yl當p=_y,Q=x，即：印=2時，得到 D的面積:平面上曲線積分與路徑無關的條件：:P()dxdyJ Jd :x:-y=Pdx QdyLA 二 dxdy J*xdy -ydxD2 L1、G是一個單連通區(qū)域;2、P（x, y）， Q （x, y）在G內具有一階連續(xù)偏導數，且:Q:p=。注意奇點，女口 （0,0），應.:x: y減去對此奇點的積分,注意方向相反!二元函數的全微分求積在-Q = -P時，pdx Qdy才是二元函數u(x, y)的全微分，其中:jx(x,y)u(x,y) = P(x, y)dx 亠Q(x,y)d

3、y，通常設 x0 = y0 =0。(2):曲面積分:對面積的曲面積分:II f (x,y,z)ds = f x,y,z(x, y) 1 z：(x,y) z：(x, y)dxdyDxy對坐標的曲面積分:Il P(x, y, z)dydz Q (x, y,z)dzdx R(x,y, z)dxdy，其中: z! R(x,y,z)dxdyZIl P(x,y,z)dydzEiiQ(x, y,z)dzdxt:7 I I Rx, y, z(x, y)dxdy，Dxy取曲面的上側時取正號;:7 I, Px(y,z), y,zdydz，Dyz取曲面的前側時取正號;:iiQx, y(z, x), zdzdx，取曲

4、面的右側時取正號。Dzx兩類曲面積分之間的關系：！! Pdydz Qdzdx Rdxdy二 (Pcos很亠Qcos,：亠Rcos )dszt(3):高斯公式:111dv 二:.Pdydz 亠Qdzdx 亠 Rdxdy = ：. ( P cos 飛亠Q cos I，R cos )ds門：x刊：zv、高斯公式的物理意義通量與散度：散度:_P_Q R、div,即：單位體積內所產生科&的流體質量，若div、. ：0,則為消失通量:因此,IIA nds =Z高斯公式又可寫n ds = (P cos ： 亠Q cos R cos )ds，s成：iijdiv Adv =An dsQ丈(4):斯托克斯公式曲線

5、積分與曲面積分的關系:-R(.:yg)dydz jz上式左端又可寫成:空間曲線積分與路徑無)dzdxL cQ+(- ex一ccydxdy=qpdxr+ Qdydydzdzdxdxdycos acosP cos=11CxcyCzIexcyCzPQRPQR關的條件：cR&QcPcRdQccyCz&CxCxCjzyk-Rdz(;P旋度： rot A二XP.：zR向量場 A沿有向閉曲線的環(huán)流量: Pdx - Qdyr:常數項級數:11n等比數列：亠-亠q2 =1 q等差數列： 1 U -2 - 3川卷n = (n1)n2111調和級數：1 u 1u2：-un ，其中 u n為任意實數; uJ 冷2 |

6、 冷3丨 一 -|u n如果 (2)收斂，則(1 )肯定收斂，且稱為絕對 丄丄是發(fā)散的2 3n11:級數審斂法:11別法)1、正項級數的審斂法設：=lim n un，則n-.2、比值審斂法：設：lim乩，則nr ： U n根植審斂法(柯西判.1時，級數收斂* P1時，級數發(fā)散L p=1時，不確定：1時，級數收斂“ p1時，級數發(fā)散p=1時，不確定113、定義法:sn，u2亠亠un;lim sn存在，則收斂；否則發(fā)npC交錯級數 6 -U2 73-口4(或一5u2-u3 ，un 0)的審斂法如果交錯級數滿足u un n -f-lim u =0n導一c那么級數收斂且其和s _u1,其余項散。-萊布

7、尼茲定理：rn的絕對值幾空人111收斂級數;:絕對收斂與條件收斂:11如果 (2)發(fā)散，而 (1)收斂，則稱(1)為條件收斂級數調和級數:級數:、發(fā)散，而 n1+收斂；P級數： nP 垃1時發(fā)散p 1時收斂1(5) :幕級數:23n亠X亠X 亠X 亠 亠X 亠時，收斂于1 _x_1時，發(fā)散對于級數(3)a0亠- a2x亠亠anx亠-，如果它不是僅在原點收斂，也不是在全數軸上都收斂，則必存在R，使:R時收斂.R時發(fā)散，二R時不定其中R稱為收斂半徑。求收斂半徑的方法：設a丄lim一=P,其中an， an+是(3)的系數，則 T an- 0時，R：? - :時，1_ P=R 二 02!2!(6) :函數展開成幕級數:函數展開成泰勒級數：f(x)(X0)(x_X0)f2!n!f (n 書(r充要條件是：lim Rn =0n J-:余項：Rn = (X -X0)n , f (X)可以展開成泰勒級數的(n 1)!x0 =0時即為麥克勞林公