六章定積分ppt課件

1、,1210bxxxxxann 個(gè)分點(diǎn)，個(gè)分點(diǎn)，曲邊梯形如下圖，曲邊梯形如下圖，內(nèi)平均插入若干內(nèi)平均插入若干在區(qū)間在區(qū)間,ba;,11nabxxxxxnbaiiiii 長度為長度為，個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間平均分成平均分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間iiixx ,1 iiixfA )( 為為高高的的小小矩矩形形面面積積為為為為底底，以以)(,1iiifxx 近似近似1分割：分割：2作積近似：作積近似：iniixfA )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為nabfAniin )(lim1 曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為求和求和取極限取極限1 1分割分割3 3求和求

2、和4 4極限極限2 2近似近似3求和：求和：4取極限：取極限：時(shí)，時(shí)，趨近于零趨近于零即小區(qū)間的最大長度即小區(qū)間的最大長度當(dāng)分割無限加細(xì)當(dāng)分割無限加細(xì))0(,max,21 nxxx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，如如果果不不論論對對,ba，bxxxxxann 1210各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為作作和和iinixfS )(1 ， 二、定積分的定義二、定積分的定義定義定義怎怎樣樣的的分分法法，也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點(diǎn)點(diǎn)i 怎樣的取法，怎樣的取法，若若 ，),(1iiiixx 一點(diǎn)一點(diǎn) nabfxxfininba )(limd)(1 被積函數(shù)被積函數(shù)

3、被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量：積積分分區(qū)區(qū)間間,ba我我們們稱稱這這個(gè)個(gè)極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf 在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和闡明：闡明： baxxfd)( battfd)( bauufd)(1. baxxfd)(是是一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)值值, ,它它只只與與被被積積函函數(shù)數(shù))(xf與與積積分分區(qū)區(qū)間間,ba有有關(guān)關(guān), ,而而與與積積分分變變量量用用什什么么字字母母無無關(guān)關(guān), ,如如 2. 有界是可積的必要條件有界是可積的必要條件,無界函數(shù)一定不可積；無界函數(shù)一定不可積； 可積函數(shù)必有界！可積函數(shù)必有界！ 3. 可積的充分條件

4、：可積的充分條件： 閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上上連續(xù)連續(xù)的函數(shù)必在的函數(shù)必在,ba是可積的；是可積的； 4.5.規(guī)定規(guī)定:（1）當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)時(shí)，0d)( baxxf； （2）當(dāng)當(dāng)ab 時(shí)時(shí)， abbaxxfxxfd)(d)(. 定積分的幾何意義：定積分的幾何意義： , 0)( xf baAxxfd)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAxxfd)(曲邊梯形的面積的負(fù)值曲邊梯形的面積的負(fù)值5. 定積分的幾何意義：定積分的幾何意義： 1A2A3A4A4321d)(AAAAxxfba 假設(shè)要求陰影部分的面積假設(shè)要求陰影部分的面積, 那那么為么為.d)( baxxf 定積分定義定積分定義定積

5、分的本質(zhì)：特殊和式的極限定積分的本質(zhì)：特殊和式的極限定積分的思想和方法：定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限準(zhǔn)確值準(zhǔn)確值定積分定積分求近似以直不變代曲變求近似以直不變代曲變?nèi)O限取極限近似近似例例1 1 利用定義計(jì)算定積分利用定義計(jì)算定積分.d102xx 解解每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度均均為為n1， 取取右右端端點(diǎn)點(diǎn)nii ，(ni, 2 , 1 ) iininxfS )(1 nnini121 niin1231，6)12)(1(13 nnnnxx d102 nnS lim.31 , n將將1 , 0n等分，分點(diǎn)為等分，分點(diǎn)為nixi ，(ni,

6、 2 , 1 )xyo112xy 3. 3. 利用定積分的幾何意義利用定積分的幾何意義, ,闡明以下等式闡明以下等式: : ;1d2 )1(10 xxxyoxy2 12;4d1 2102 xx）（ xyo122 yx1;0dsin 3 xx）（.dcos2dcos )4(2022 xxxx思索題思索題將和式極限：將和式極限： nnnnnn )1(sin2sinsin1lim表示成定積分表示成定積分.思索題解答思索題解答原式原式 nnnnnnnn sin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1 0sin1xdxix i 在下面的性質(zhì)中在下面的

7、性質(zhì)中, ,假定定積分都存在假定定積分都存在, ,且不思索且不思索積分上下限的大小積分上下限的大小第二節(jié)第二節(jié) 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(此性質(zhì)可以推行到有限多個(gè)函數(shù)和的情況此性質(zhì)可以推行到有限多個(gè)函數(shù)和的情況性質(zhì)性質(zhì)2 2 babaxxfkxxkfd)(d)(k為常數(shù)為常數(shù))性質(zhì)性質(zhì)1,21,2合稱線性性合稱線性性. . 闡明：不論闡明：不論a, b, c的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.例如例如, cba cbbacaxxfxxfxxfd)(d)(d)( cbcabaxxfxxfxxfd)(d)(d)

8、(定積分對于積分區(qū)間具有可加性定積分對于積分區(qū)間具有可加性那么那么性質(zhì)性質(zhì)3 3 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(.d)(d)( bccaxxfxxf則則0d)( xxfba. . )(ba 證證nnbaSxxf limd)(性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5如如果果在在區(qū)區(qū)間間 ,ba上上0)( xf， .0 .d1abxba ，0)( if ，0)(1 niiinxfS 由極限的保號(hào)性由極限的保號(hào)性, , 推論推論1 1若若, ),()(baxxgxf , , .d)(d)( babaxxgxxf則則證證.)()()(即即可可令令xfxgxh 推論推論1 1若若, ),()(ba

9、xxgxf , , .d)(d)( babaxxgxxf則則推論推論2 2 babaxxfxxfd)(d)()(ba 證證,)()()(xfxfxf ,d)(d)(d)(xxfxxfxxfbababa 即即.d)(d)( babaxxfxxf解解例例1 1比比較較積積分分 10dxx與與 10d)1ln(xx的的大大小小. . , )1ln()(xxxf 令令,01111)( xxxxf則則，0 x于于是是)(xf單單調(diào)調(diào)增增加加, , ，0)0()( fxf，)1ln( xx .0 x于是于是.d)1ln(d1010 xxxx設(shè)設(shè)M及及m分別是函數(shù)分別是函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間 ,ba 上上

10、的的最最大大值值及及最最小小值值, ,則則 性質(zhì)性質(zhì)6 6估值定理估值定理. )(d)()(abMxxfabmba abxyomM性質(zhì)性質(zhì)7 7定積分中值定理定積分中值定理設(shè)設(shè))(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù), ,則則存存在在, ba , ,使使 . )(d)(abfxxfba 證證，Mxxfabmba d)(1，)(d)()(abMxxfabmba 由閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的介值定理知，由閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的介值定理知，,d)(1)( baxxfabf 使使, ,ba .)(d)(abfxxfba 即即 在在區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ，積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解

11、釋：xyoab )( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等等于于同同一一底底邊邊而而高高為為)( f的的一一個(gè)個(gè)矩矩形形的的面面積積。一一般般稱稱 baxxfabd)(1為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在 ,ba 上的平均值上的平均值. . 第三節(jié)第三節(jié) 微積分根本公式微積分根本公式 用定義求定積分實(shí)踐上是行不通的用定義求定積分實(shí)踐上是行不通的, ,下面引見下面引見計(jì)算定積分的新方法計(jì)算定積分的新方法. . 定理定理1(1(微積分根本定理微積分根本定理) ) 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù), , 構(gòu)作變上限積

12、分函數(shù)構(gòu)作變上限積分函數(shù) ， xattfxd)()(,bax 則則)(x 在在,ba上上可可導(dǎo)導(dǎo), ,且且 . )(d)(dd)(xfttfxxxa 證證),(bax xxxxxx )()(lim)(0 axttfd)(. )(d)(dd)(xfttfxxxa xttfttfxaxxax d)(d)(lim0,d)(lim0 xttfxxxx ,d)(lim)(0 xttfxxxxx 由積分中值定理得由積分中值定理得之之間間與與在在xxx xx , 0，)(lim0 fx ).()(xfx abxyoxx )(x x,)(lim)(0 xxfxx 而而)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù), , )(

13、d)(dd)(xfttfxxxa 定理定理2(2(原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理) ) 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)ttfxxad)()( 就就是是)(xf在在,ba上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù). . )(d)(dd)(xfttfxxxa 定理定理3 (3 (微積分根本公式微積分根本公式) )設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù), ,)(xF是是)(xf的的任任意意一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), ,則則 又又 ttfxxad)()( 也也是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), 已已知知)(xF是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，,bax 證證牛頓牛頓萊

14、布尼茨公式萊布尼茨公式. )()(d)(aFbFxxfba ,)()( CxFx ,)()(CxFx ,0)( a而而， baxxfbd)()(,d)()(ttfxxa 所以所以)(d)(bxxfba )()(ab )()(CaFCbF . )()(aFbF 一一般般把把)()(aFbF 記記成成 .)(baxFbabaxFxxf)(d)( 牛頓牛頓萊布萊布尼茨公式尼茨公式 一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 ,ba上上的的定定積積分分可可用用它它的的任任意意一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 ,ba端端點(diǎn)點(diǎn)上上的的值值來來表表示示. 留意留意當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)，上述公式仍成立時(shí)，上述公式仍成立.

15、babaxFxxf)(d)( 上述公式通常稱為微積分根本公式上述公式通常稱為微積分根本公式, ,它提示了它提示了定積分與不定積分之間的關(guān)系定積分與不定積分之間的關(guān)系, ,給定積分的計(jì)算提給定積分的計(jì)算提供了一種簡便而有效的方法供了一種簡便而有效的方法. . 例例1 1 求求 .d)1sincos2(20 xxx原式原式20)cossin2( xxx .23 解解解解 20d)(xxf 1021d5d2xxx.6 xyo12， 21 5 102)(xxxxf.d)(20 xxf例例2 2 設(shè)設(shè) 求求 2110d)(d)(xxfxxf5102 x例例3 3 求求 .d2cos10 xx 0dcos

16、2xx 2/2/0dcos2dcos2xxxx.22 原式原式解解計(jì)計(jì)算算曲曲線線xysin 在在 , 0 上上與與 x 軸軸所所圍圍成成的的平平面面圖圖形形的的面面積積. 解解xyo 0dsinxxA 0cosx .2 例例4練習(xí)練習(xí) 求以下定積分求以下定積分 ：;d)1(4 baxx;de)2(102xxx解解(1)babaxxx5d54 ).(5155ab dxx3042)3(2)101022e21dexxxx) 1(21e32220244xxxx)4(3)08(xxxxd42d)24(3220dxx3042)3(5變限積分函數(shù)的求導(dǎo)：變限積分函數(shù)的求導(dǎo)： ，)(d)(ddxfttfxx

17、a bxttfxd)(dd 2d)(ddxattfx 22)(xxf 32d)(ddxxttfx.2)(3)(223xxfxxf .2)(2xxf ，)(xf 例例5 5 求以下變限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求以下變限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù). .,dsin)(1 xttxf;sin)(xxf ,d1)(22 xttxf;1)(2xxf ,de)(sin12 xttxf;cose)(2sinxxfx 設(shè)設(shè))(xf為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), , ,d)()(ln1 xxttfxF 則則 )1()1()1()(ln)(2xxfxxfxF .)1(1)(ln12xfxxfx 221(3)sin xxdt dtdx) 1sin

18、(2sin22xxxxey2) 1 (xtdtey02) 1 (12c)2(xtdtosyxy2cos)2()1() 1sin(sin)3(222xxxy解解:練習(xí)：求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：練習(xí)：求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：例例6 6 求求.delim21cos02xtxtx 解解xxxx2esinlim2cos0 .e21 00分析：這是分析：這是 型不定式，運(yùn)用洛必達(dá)法那么型不定式，運(yùn)用洛必達(dá)法那么.21cos0delim2xtxtx 例例 7 7 設(shè)設(shè))(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù), ,在在),(ba內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo), ,且且0)( xf, ,記記 xattfaxxFd)(1)(. .證證明明: :在在),

19、(ba內(nèi)內(nèi)0)( xF. . 證證2)(d)()()()(axttfxfaxxFxa 只只要要證證明明0d)()()( xattfxfax即即可可. . ,d)()()()( xattfxfaxxg令令)()()( xfaxxg 則則,0 由積分中值定理，由積分中值定理， ,d)()()()( xattfxfaxxg令令)()()( xfaxxg 則則,0 而而,0)( ag故故當(dāng)當(dāng)),(bax 時(shí)時(shí), , .0)()( agxg 或證或證，)(d)(axfttfxa ),(xa ,)()()( axfxfxF 而而0)( xf, ,)(xf單單調(diào)調(diào)不不增增, , )()( fxf , , 0

20、)( xF，),(bax . . 例例 8 8 設(shè)設(shè))(xf在在 1 , 0上上連連續(xù)續(xù)， 且且1)( xf.證證明明方方程程 1d)(20 ttfxx在在 1 , 0上上只只有有一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根. 證證,1d)(2)(0 ttfxxFx, 1)( xf即即)(xF在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù). ,01)0( F 10d)(1)1(ttfF, 0 綜合以上兩點(diǎn)綜合以上兩點(diǎn),原方程在原方程在 1 , 0上有且只有一個(gè)實(shí)根上有且只有一個(gè)實(shí)根. 令令,0)(2)( xfxF 10d)(1 ttf由零點(diǎn)定理可知，由零點(diǎn)定理可知，)(xF在在) 1 , 0(內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一個(gè)個(gè)零零

21、點(diǎn)點(diǎn)； 另一方面，另一方面，練習(xí)練習(xí) 1010. )(d)(1d)()(1 , 0)(xfxxfttfxxfxf及及求求上連續(xù)，且滿足上連續(xù)，且滿足在在設(shè)設(shè)解解xttfxxxfd1d)(d)(101010 10101dd)(xxttf1d)(2110 xxf1d)(2110 ttf因此因此. 12)( xxf,2d)(10 xxf3.微積分根本公式微積分根本公式1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xattfxd)()(2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx )()(d)(aFbFxxfba 小結(jié)小結(jié) 牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系學(xué)之

22、間的關(guān)系 假假設(shè)設(shè) （1 1）)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)； 定理定理（3 3）當(dāng)）當(dāng) t 在區(qū)間在區(qū)間, 上變化時(shí)，上變化時(shí)，)(tx 的的值在值在,ba上變化，且上變化，且a )( 、b )( ， 那么那么有有 tttfxxfbad)()(d)(第四節(jié)第四節(jié) 定積分的換元積分法定積分的換元積分法留意留意:(1) tttfxxfbad)()(d)(運(yùn)用定積分的換元法時(shí)運(yùn)用定積分的換元法時(shí), ,多一事多一事: :換上下限；換上下限；少一事少一事: :不用回代；不用回代； (2)例例1 1 2/05dsincos xxx2/06cos61 x .61 例例2 2 30)1(dxxx 301d2

23、xx30arctan2x .32 例例3 3 202d1xxx2021x .15 2022d1121xx例例4 4 計(jì)算計(jì)算解解令令.1d8 0 3 xx，3tx ，ttxd3d2 , 80:x，20: t原式原式 202d13ttt 202d1113ttt 20d)111(3ttt202)1ln21(3ttt .3ln3 例例5 5 計(jì)算計(jì)算解解令令原式原式.d1e2ln0 xx，tx 1e，21etx ，)1ln(2tx ，tttxd12d2 ，2ln0:x，10:t 102d12tttt 102d)111(2tt10arctan22t .22 例例6 6 計(jì)算計(jì)算解解令令.d)1(102

24、22 xxx ,tantx , 4/0: t，ttxdsecd2 原式原式 4/0422dsecsectan tttt 4/02dsin tt 4/0d22cos1 tt.418 例例7 7解解求求函函數(shù)數(shù)221xxy 在在區(qū)區(qū)間間23,21上上的的平平均均值值. . 令令 ,sintx 232122d1xxxtttt 362dcoscossin tt 362dsin tt 36d22cos1 ，12 所以平均值所以平均值.1213)2123(12 例例8 8解解設(shè)設(shè),0 ,110 ,2 )( xxxxxxf 求求 20)d1(xxf. . 令令，tx 1原式原式 11d)(ttf 11d)(

25、xxf 0110d11d2xxxxx.2ln2 01102d)121(xxx01)1ln(2 x證證利用函數(shù)的對稱性利用函數(shù)的對稱性, ,有時(shí)可簡化計(jì)算有時(shí)可簡化計(jì)算. . 設(shè)設(shè))(xf在在,aa 上上連連續(xù)續(xù), ,那那么么 ( (1 1) ) 若若)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù), ,則則 aaaxxfxxf0d)(2d)(； ( (2 2) ) 若若)(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù), ,則則 0d)( aaxxf. . ， 00d)(d)(d)(aaaaxxfxxfxxf aattftxxxf00d)( d)(， axxf0d)(， aaaxxfxfxxf0d)()(d)( ( (1 1) ) )(xf為

26、為偶偶函函數(shù)數(shù), 則則 ),()(xfxf ( (2 2) ) )(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù), 則則 ),()(xfxf ， aaaxxfxfxxf0d)()(d)( ； aaaxxfxxf0d)(2d)( .0d)( aaxxf例例1010 1122d)1(xxx 11222d)112(xxxxx 11211d12d1xxxx.2 奇函數(shù)奇函數(shù)例例9 9 xxbxaxxdcossin1cossin2222.0 奇函數(shù)奇函數(shù)例例1111設(shè)設(shè))(xf在在 10 ，上上連連續(xù)續(xù), ,證證明明： .d)(sin2d)(sin2/00 xxfxxf， 2/2/00d)(sind)(sind)(sinxxf

27、xxfxxf證證(1) 02/2/)(d)sin( d)(sin ttfxtxxf 2/0d)(sin ttf， 2/0d)(sin xxf.d)(sin2d)(sin 2/00 xxfxxf例例1111設(shè)設(shè))(xf在在 10 ，上上連連續(xù)續(xù), ,證證明明： .d)(cosd)(sin2/02/0 xxfxxf證證(2)令令，tx 2 2/0d)(sin xxf 02/d)(cos ttf.d)(cos2/0 xxf例例1111設(shè)設(shè))(xf在在 10 ，上上連連續(xù)續(xù), ,證證明明： 證證(3)令令， 00d)(sin2d)(sinxxfxxxf由此計(jì)算由此計(jì)算 .dcos1sin02 xxxx

28、，tx 00d)(sin)(d)(sinttftxxxfI，Ixxf 0d)(sin.d)(sin2 0 xxfI 02dcos1sinxxxx 02dcos1sin2xxx 0)arctan(cos2x .42 ， 00d)(sin2d)(sinxxfxxxf第五節(jié)第五節(jié) 定積分的分部積分法定積分的分部積分法定理定理 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(),(xvxu在在,ba上上連連續(xù)續(xù)可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則 .d)(d bababauvuvvu例例1 1 10dexxx 10dexx 1010deexxxx例例2 2 51dlnxx 5151lndlnxxxx.45ln5 51d15ln5xxx.1ee10 x

29、 分部積分中先積函數(shù)分部積分中先積函數(shù) v 的選擇，普通仍遵照的選擇，普通仍遵照 “指三冪對反指三冪對反 的先積原那么。的先積原那么?！? 的運(yùn)用的運(yùn)用 e13dlnxxx e121dln21xx e12e12lnd121ln21xxxx e132d121e21xxe12241e21x .e43412 例例3 3例例4 4 02dsinxxx 02cosdxx 002dcos2cosxxxxx 02sind2xx 002dsin2sin2xxxx.42 多次運(yùn)用多次運(yùn)用例例5 5 計(jì)算計(jì)算與換元法結(jié)合與換元法結(jié)合.de10 xx解解令令,tx ,2tx ,d2dttx ,10:t原式原式 10

30、de2ttt 10de2tt 1010de2e2tttt.2e2e210 t例例6 6 計(jì)算計(jì)算解解 令令原式原式.d1arcsin30 xxx,1arcsintxx 那那么么,tan2tx ,30: x 3/02tand tt 3/023/02dtantan tttt.334 ,sin12txx 解得解得,30: t 3/02d) 1(sec tt例例7 7 .sin00 xxfItttxfxdd，計(jì)算設(shè).sin00 xtttIxdd解：解： 00sin xtttxd xtttx0sindd0 0sintttdxxxxd0 sinxxxxd0 sin 0sintttd xxxxd0 sinx

31、xd0 sin2 循環(huán)運(yùn)用循環(huán)運(yùn)用 ( 解代數(shù)方程法解代數(shù)方程法240sin xdx例xdxx sinsin20320222022sin)sin1 ( 3sin3cosxdxxxdxxdxxdxx2020422cos13sin4332200sincoscos(sin)xxx dx .163sin43)42sin2(320420dxxxx202042sin3sin3dxxxdx230sincosxdx 練習(xí)練習(xí).123211123112323023022xdxxx3201.arccosxdx 1 1 1 1230230230)(arccosarccosarccos1dxxxxxxdx312.ln

32、exdxeeeexdxexdxeedxxxxxe111212ln62ln63)(ln3ln3.26)1(62ln6211eeeedxxxeeeeeexdxedxxxxx112313ln3)(lnln 3.10arcsinxxdx .8)2sin21(41422cos12142020ttdtt 3.10arcsinxxdx dxxxxx)(arcsin2arcsin211021021022121arcsin21dxxx202202sinsin214coscossin2142010tdttdttttx10221214dxxx第六節(jié)第六節(jié) 定積分的運(yùn)用定積分的運(yùn)用一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積

33、,d)(dxxfA 面積元素面積元素:(1) 由延續(xù)曲線由延續(xù)曲線 y = f (x) ( f (x) 0), 直線直線 x=a, x=b (ab)及及x軸軸所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積)(xfy byoxaxxx baxxfAd)(面積面積假設(shè)假設(shè)f (x)有正有負(fù)有正有負(fù),那么曲邊梯形面那么曲邊梯形面積為積為.d)( baxxfA)(xfy )(xfy xyoab (2) 由延續(xù)曲線由延續(xù)曲線 y=f(x), y=g(x), 直線直線 x=a, x=b (a g ( x ) ) 所夾的圖所夾的圖形繞形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算公式：軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算公式：2

34、2( )( )( )( )bbbbxfgaaaaVAx dxBx dxfx dxgx dx badxxgxf)()(22.)(2baydxxfxV3函數(shù)曲線函數(shù)曲線 y = f ( x ) f ( x ) 0 ) , 直線直線 x = a , x = b ( 0 a b ) 和和 x 軸所軸所圍曲邊梯形繞圍曲邊梯形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算公式：積計(jì)算公式：.d)()( )(dd) 1 ( battfQbabtattftQQ該產(chǎn)品的總產(chǎn)量到間，則從時(shí)的變化率為若已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量.d)( )( )2(baQQfCbaQfQ總成本為到，則產(chǎn)量從率為變化產(chǎn)量的，若已知該產(chǎn)

35、品成本對設(shè)某產(chǎn)品總產(chǎn)量.d)( )()3( 0NQQfRNQf位的商品的總收益為個(gè)單為已知時(shí)，則銷售若某商品收益的變化率由于由于 某商品每周產(chǎn)量為某商品每周產(chǎn)量為Q Q，固定本錢為，固定本錢為200200元，本錢元，本錢函數(shù)變化率為函數(shù)變化率為 例例12 12 解解，124 . 0)( QQC求本錢函數(shù)。求本錢函數(shù)。假設(shè)該商品的銷售單價(jià)為假設(shè)該商品的銷售單價(jià)為2020元，且假設(shè)產(chǎn)品可以全部元，且假設(shè)產(chǎn)品可以全部售出，求利潤函數(shù)售出，求利潤函數(shù)L(Q)L(Q)，并問每周產(chǎn)量為多少時(shí)，可，并問每周產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤？獲得最大利潤？ 本錢函數(shù)為本錢函數(shù)為 )0(d)()(0CQQCQCQ

36、200d)124 . 0(0 QQQ，200122 . 02 QQ QQCQd 0 0CQC 經(jīng)濟(jì)運(yùn)用問題舉例經(jīng)濟(jì)運(yùn)用問題舉例 某商品每周產(chǎn)量為某商品每周產(chǎn)量為Q Q，固定本錢為，固定本錢為200200元，本錢元，本錢函數(shù)變化率為函數(shù)變化率為 經(jīng)濟(jì)運(yùn)用問題舉例經(jīng)濟(jì)運(yùn)用問題舉例 例例12 12 ，124 . 0)( QQC求本錢函數(shù)。求本錢函數(shù)。假設(shè)該商品的銷售單價(jià)為假設(shè)該商品的銷售單價(jià)為2020元，且假設(shè)產(chǎn)品可以全部元，且假設(shè)產(chǎn)品可以全部售出，求利潤函數(shù)售出，求利潤函數(shù)L(Q)L(Q)，并問每周產(chǎn)量為多少時(shí)，可，并問每周產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤？獲得最大利潤？ 解解 本錢函數(shù)為本錢函數(shù)為

37、，200122 . 0)(2 QQQC銷售收入為銷售收入為 ，QQR20)( 所以利潤函數(shù)為所以利潤函數(shù)為 ，2002 . 032)()()(2 QQQCQRQL，令令04 . 032)( QQL得獨(dú)一駐點(diǎn)得獨(dú)一駐點(diǎn) ，80 Q，又又04 . 0)( QL所以當(dāng)每周產(chǎn)量所以當(dāng)每周產(chǎn)量 時(shí)時(shí), ,利潤最大利潤最大, ,80 Q最大利潤為最大利潤為 .1080)80()(元元 L如如果果某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的邊邊際際收收益益為為QQR215)( ( (其其中中Q為為產(chǎn)產(chǎn)量量) )，求求收收益益函函數(shù)數(shù))(QR與與需需求求函函數(shù)數(shù))(pQ。 例例13 13 解解，0)0( R所以所以，2015d)215(

38、)(QQQQQRQ ，由由pQQR )( 所以需求函數(shù)為所以需求函數(shù)為 .15pQ ，得得pQQQ 215 已已知知某某商商品品的的邊邊際際需需求求為為ppQ5 . 0e1000)( ，且且該該商商品品的的最最大大需需求求量量為為 2 20 00 00 0，求求需需求求函函數(shù)數(shù))( pQ。 例例14 14 解解最大需求量為最大需求量為 20002000，即，即2000)0( Q， 所以需求函數(shù)為所以需求函數(shù)為 )0(d)e1000()(05 . 0QppQpp .e20005 .0p .6040)2(40) 1 (. )0( 1020)( 個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)的總收益?zhèn)€單位產(chǎn)品到求從生產(chǎn)，個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)

39、的總收益求生產(chǎn)的變化率為個(gè)單位，總收益設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)QQQfRQ練習(xí)練習(xí). )(3002020d )1020( 6040(2)604026040單位時(shí)的總收益為增加到從產(chǎn)量QQQQRQ，單位為個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)的總收益生產(chǎn))(7202020d )1020( 40) 1 (4002400QQQQR解解設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間), a上上有有定定義義, ,且且對對任任何何at , ,)(xf在在,ta上上可可積積, ,如如果果極極限限 第七節(jié)第七節(jié) 廣義積分廣義積分 在定積分的定義中在定積分的定義中, ,有兩個(gè)限制有兩個(gè)限制: (1): (1)積分區(qū)積分區(qū)間有限；間有限；(2)(2)被積函數(shù)有界被

40、積函數(shù)有界. .當(dāng)這兩個(gè)條件至少有當(dāng)這兩個(gè)條件至少有一個(gè)不滿足時(shí)一個(gè)不滿足時(shí), ,稱廣義積分稱廣義積分. . 一、無窮限的廣義積分一、無窮限的廣義積分定義定義 tatxxfd)(lim設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間), a上上有有定定義義, ,且且對對任任何何at , ,)(xf在在,ta上上可可積積, ,如如果果極極限限 一、無窮限的廣義積分一、無窮限的廣義積分定義定義 tatxxfd)(lim記作記作 axxfd)(, ,即即 ， tataxxfxxfd)(limd)(存在，存在， bttbxxfxxfd)(limd)(而對而對 xxfd)(, ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) bxxfd)(和和 a

41、xxfd)(都收斂時(shí)收斂都收斂時(shí)收斂, ,且有且有 aaxxfxxfxxfd)(d)(d)(以以后后為為了了方方便便, ,把把tatxF)(lim 直直接接記記為為 axF)(. . 類似地，類似地， tataxxfxxfd)(limd)(例例1 1 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 例例2 2 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211s

42、inxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 例例3 3 0dexxx 0dexx 00deexxxx 0ex例例4 4.)1(d022 xx解解令令,tantx ,0: x 2042dsecsec ttt 202dcos tt.4 原式原式.1 ,20: t無窮限積分化為有限積分無窮限積分化為有限積分解解,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) p apxxd1 appx11 1,11,1ppapp例例5 5當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí), , ，atxxxtatalnln lnd1 ， ttlnlim所以積分發(fā)散；所以積分發(fā)散； 所以所以.10 , 1 1d11 pppaxxp

43、ap發(fā)散發(fā)散，證證 apxdxe bapxbdxelimbapxbpe lim 0,0,pppeap即即當(dāng)當(dāng)0 p時(shí)時(shí)收收斂斂，當(dāng)當(dāng)0 p時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散.二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分定義定義假設(shè)極限假設(shè)極限 btatxxfd)(lim即即.d)(limd)( btatbaxxfxxf badxxf)(0lim( )baf x dx 當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分 tabtxxfd)(lim存在存在, ,那么稱廣義積分收斂那么稱廣義積分收斂, ,即即

44、 .d)(limd)( tabtbaxxfxxf.d)(d)(d)( bccabaxxfxxfxxf當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上除點(diǎn)上除點(diǎn))(bcac 外連外連續(xù)，而在點(diǎn)續(xù)，而在點(diǎn)c的鄰域內(nèi)無界的鄰域內(nèi)無界. .如果兩個(gè)廣義積分如果兩個(gè)廣義積分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都收斂，則定義都收斂，則定義 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(否否則則，就就稱稱廣廣義義積積分分 badxxf)(發(fā)發(fā)散散. .定義中定義中C為瑕點(diǎn)，以上積分稱為瑕

45、積分為瑕點(diǎn)，以上積分稱為瑕積分.00lim( )lim( )cbacf x dxf x dx 例例5 5 計(jì)算廣義積計(jì)算廣義積分分解解.d110 xx 0 0為奇點(diǎn)為奇點(diǎn) ， 10d1limttxx)1(2lim0tt .2 原式原式注注 10d1xx.2210 x例例6 6 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 為為被被積積函函數(shù)數(shù)的的無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa .2 例例6 6討討論論 10dpxx 的的收收斂斂性性( (0 p) ). . 解

46、解當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí), , 1010lnlimdttpxxx ， 發(fā)散；發(fā)散； 當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí), , 110101limdtptppxxx )111(lim10ptppt ， 1 , 1 ,11ppp所以所以.1 1 , 11d 10 pppxxp，發(fā)散發(fā)散.1 1 , 11d 10 pppxxp，發(fā)散發(fā)散例如，例如， 10dxx收斂；收斂；， 112d1xx發(fā)散發(fā)散.留意比較留意比較:.10 , 1 1d11 pppaxxpap發(fā)散發(fā)散，例例7 7 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(l

47、nlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原廣義積分發(fā)散故原廣義積分發(fā)散.例例8 8 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解.)1(3032 xdx1 x瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)3032) 1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 1.1. 1021dxx 10arcsinx.2 2.2. 21d1xxx 21d)111(xxx21212/312)1(32 xx.38 3.3. 10dlnxx10)ln( xxxxxxlnlim10 .1 練習(xí)練習(xí)2

48、. 無界函數(shù)的廣義積分瑕積分無界函數(shù)的廣義積分瑕積分1. 無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分， bxxfd)(留意：不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn)留意：不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn)小結(jié)小結(jié)， axxfd)(.d)( xxf.d)(d)(d)( bccabaxxfxxfxxf例例1 1計(jì)算計(jì)算.)23(d202/32 xxx例例2 2計(jì)算計(jì)算.d212 xxx例例3 3計(jì)算計(jì)算.ln)ln1(dee xxxx例例4 4計(jì)算計(jì)算.d)cos4(22522 xxxxx例例5 5計(jì)算計(jì)算.dcossinsin2/0 xxxx例例6 6設(shè)設(shè) f (x)是延續(xù)函數(shù)是延續(xù)函數(shù), 且且,d)(2)(10 xxfxxf 求求 f (x) .例例6 6設(shè)設(shè) f (x)是延續(xù)函數(shù)是延續(xù)函數(shù), 且且,d)(2)(10 xxfxxf 求求 f (x) .設(shè)設(shè))(xf 在在 1 , 0上上連連續(xù)續(xù),且且1)0( f,3)2(