分式方程的增根及無解

1、 WORD格式整理版分式方程的增根與無解 甲：增根是什么？乙：增根是解分式方程時(shí)，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程這一變形中，由于去分母擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值.比如例1、解方程：。為了去分母，方程兩邊乘以，得由解得。甲：原方程的解是。乙：可是當(dāng)時(shí)，原方程兩邊的值相等嗎？甲：這我可沒注意，檢驗(yàn)一下不就知道了。喲！當(dāng)時(shí)，原方程有的項(xiàng)的分母為0，沒有意義，是不是方程變形過程中搞錯(cuò)啦？乙：求解過程完全正確，沒有任何的差錯(cuò)。甲：那為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？乙：因?yàn)樵瓉矸匠讨形粗獢?shù)x的取值范圍是且，而去分母化為整式方程后，未知數(shù)x的取值范圍擴(kuò)大為全體實(shí)數(shù)。這樣，從方程解出的未知數(shù)的值就有可能不是方

2、程的解。甲：如此說來，從方程變形為方程，這種變形并不能保證兩個(gè)方程的解相同，那么，如何知道從整式方程解出的未知數(shù)的值是或不是原方程的解呢？乙：很簡(jiǎn)單，兩個(gè)字：檢驗(yàn)?？梢园逊匠探獬龅奈粗獢?shù)的值一一代入去分母時(shí)方程兩邊所乘的那個(gè)公分母，看是否使公分母等于0，如果公分母為0，則說明這個(gè)值是增根，否則就是原方程的解。甲：那么，這個(gè)題中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程無解。甲：?。?！為什么會(huì)無解呢？乙：無解時(shí)，方程本身就是個(gè)矛盾等式，不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等，如上題中，不論x取何值，都不能使方程兩邊的值相等，因此原方程無解，又如對(duì)于方程，不論x取何值也不能使它成立，因此，

3、這個(gè)方程也無解。甲：是不是有增根的分式方程就是無解的，而無解的分式方程就一定有增根呢？乙：不是！有增根的分式方程不一定無解，無解的分式方程也不一定有增根，你看：例2、解方程，去分母后化為，解得或，此時(shí)，是增根，但原方程并不是無解，而是有一個(gè)解，而方程，去分母后化為，原方程雖然無解，但原方程也沒有增根。乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用這種關(guān)系可以解決分式方程的有關(guān)問題，你看：例3、已知關(guān)于x的方程有增根，求k的值。首先把原方程去分母，化為。因?yàn)樵匠痰淖詈?jiǎn)公分母是，所以方程的增根可能是或若增根為，代入方程，得，；若增根為，代入方程，得，。故當(dāng)或時(shí)，原方程會(huì)有增根

4、。甲：雖然無解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定無解，但我還覺得無解與增根之間似乎有種微妙的關(guān)系，這是怎么一回事？乙：你說的沒錯(cuò)，增根與無解都是分式方程的“?？汀?，它們雖然還沒有達(dá)到形影不離的程度，但兩者還是常常相伴而行的，在有些分式方程問題中，討論無解的情形時(shí)應(yīng)考慮增根，例如：例4、已知關(guān)于x的方程無解，求m的值。先把原方程化為。（1）若方程無解，則原方程也無解，方程化為，當(dāng)，而時(shí)，方程無解，此時(shí)。（2）若方程有解，而這個(gè)解又恰好是原方程的增根，這時(shí)原方程也無解，所以，當(dāng)方程的解為時(shí)原方程無解，代入方程，得，故。綜合（1）、（2），當(dāng)或時(shí)，原方程無解。妙用分式方程的增根解題在解分

5、式方程的過程中，我們還可以利用增根來求分式方程中的待定字母的值.請(qǐng)看下面幾例.例1 若關(guān)于的方程有增根，則的值為_.析解：去分母并整理，得，因?yàn)樵匠逃性龈?，增根只能是，將代入去分母后的整式方程，?例2 若關(guān)于的方程無解，則的值是_.析解：去分母并整理，得.解之，得.因?yàn)樵匠虩o解，所以為方程的增根.又由于原方程的增根為.所以，.例3. 已知方程2有增根，則_.析解：把原方程化成整式方程，得.因?yàn)樵匠逃性龈?，所以增根只能是?將代入，得；將代入，無解.故應(yīng)填.練一練：1. 如果分式方程無解，則的值為（ ）.（A）1 （B）0 （C）1 （D）22. 如果方程有增根，則_.答案：1.C；2.

6、1；分式方程的增根及其應(yīng)用一、增根的原因解分式方程時(shí)，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生增根，這是因?yàn)槲覀儼逊质椒匠剔D(zhuǎn)化為整式方程過程中，無形中取掉了原分式方程中分母不為零的限制條件，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，于是就產(chǎn)生了如下兩種情況：（1）如果整式方程的根都在分式方程未知數(shù)的取值范圍內(nèi)，那么整式方程的根就是分式方程的根；（2）如果整式方程的有些根不在分式方程未知數(shù)的取值范圍內(nèi)，那么這種根就不是分式方程的根，是分式方程的增根因此，解分式方程時(shí)，驗(yàn)根是必不可少的步驟二、利用增根解題不可否認(rèn)，增根的出現(xiàn)給我們的解題帶來了一定的麻煩，然而任何事物都有其兩面性，由增根的原因知道，分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同

7、時(shí)還能使其最簡(jiǎn)公分母的值為零，據(jù)此可以解決一些相關(guān)的問題，常見的類型有如下幾種：1已知方程有增根，確定字母系數(shù)值例1：若方程有增根，則m的值為 （ ）A 3 B3 C0 D以上都不對(duì)析解：把分式方程兩邊同乘以公分母x3，得整式方程x2（x3）=m若原方程有增根，必須使公分母x3等于0，即x=3，代入整式方程得3=6 m，解得m=3故應(yīng)選B點(diǎn)評(píng)：方程有增根，一定是公分母等于0的未知數(shù)的值解這類題的一般步驟把分式方程化成的整式方程；令公分母為0，求出x的值；再把x的值代入整式方程，求出字母系數(shù)的值2已知方程無解，確定字母系數(shù)值例2：若方程無解，則m的值為 （ ）A 1 B3 C1 或3 D1 或分

8、析：把分式方程化為整式方程，若整式方程無解，則分式方程一定無解；若整式方程有解，但要使分式方程無解，則該解必為使公分母為0時(shí)對(duì)應(yīng)的未知數(shù)的值，此時(shí)相應(yīng)的字母系數(shù)值使分式方程無解解：去分母，得(32x)(2+mx)=3x,整理,得(m+1) x=2若m+1=0，則m= 1，此時(shí)方程無解；若m+10，則x=是增根因?yàn)?3，所以m=所以m的值為1 或，故應(yīng)選D點(diǎn)評(píng)：方程無解的條件，關(guān)鍵是看轉(zhuǎn)化后的整式方程解的情況既要考慮整式方程無解的條件，又要考慮整式方程有解，但它是分式方程增根的可能性，考慮問題要全面、周到3已知方程無增根，確定字母系數(shù)值例3：若解關(guān)于x的方程不會(huì)產(chǎn)生增根，則k的值為 （ ）A2

9、B1 C不為±2的數(shù) D無法確定析解：去分母，把分式方程化為整式方程，x(x+1)k=x(x1)，解關(guān)于k的方程,得k=2x.由題意, 分式方程無增根，則公分母x210，即x±1,則k±2故應(yīng)選C點(diǎn)評(píng)：方程無增根，就意味著對(duì)應(yīng)的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0，利用這一點(diǎn)可以確定字母系數(shù)值或取值范圍妙用分式方程的增根求參數(shù)值解分式方程時(shí)，常通過適當(dāng)變形化去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程來解，若整式方程的根使分式方程中的至少一個(gè)分母為零，則是增根，應(yīng)舍去，由此定義可知：增根有兩個(gè)性質(zhì)：（1）增根是去分母后所得整式方程的根；（2）增根是使原分式方程分母為零的未知數(shù)的值，靈

10、活運(yùn)用這兩個(gè)性質(zhì)，可簡(jiǎn)捷地確定分式方程中的參數(shù)（字母）值，請(qǐng)看下面例示：一、 分式方程有增根，求參數(shù)值例1 a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程=0有增根？分析：先將原分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后運(yùn)用增根的兩個(gè)性質(zhì)將增根代入整式方程可求a的值解：原方程兩邊同乘以（x-3）去分母整理，得x2-4x+a=0（）因?yàn)榉质椒匠逃性龈?，增根為x=3，把x=3代入（）得，9-12+a=0 a=3所以a=3時(shí)，=0有增根。 點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用增根的性質(zhì)將所求問題轉(zhuǎn)化為求值問題，簡(jiǎn)捷地確定出分式方程中的參數(shù)（字母）值例2 m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程+=有增根。分析：原分式方程有增根，應(yīng)是使分母為0的x值。將這樣的x值代入去分母的整

11、式方程可求出m的值。解：原方程兩邊同乘以（x-1）（x-2）去分母整理，得（1+m）x=3m+4（）因?yàn)榉质椒匠逃性龈瑩?jù)性質(zhì)（2）知：增根為x=1或x=2。把x=1代入（），解得m=-；把x=2代入（）得m=-2所以m=-或-2時(shí)，原分式方程有增根點(diǎn)評(píng)：分式方程有增根，不一定分式方程無解（無實(shí)），如方程+1=有增根，可求得k=-，但分式方程這時(shí)有一實(shí)根x=。二、 分式方程是無實(shí)數(shù)解，求參數(shù)值例3 若關(guān)于x的方程=+2無實(shí)數(shù)根，求m的值。分析：因原方程無實(shí)數(shù)根，將原方程去分母得到整式方程解出的x值為原方程的增根，又x=5是原方程的增根，故可求出m的值解：去分母，得x-2=m+2x-10，x=-

12、m+8因?yàn)樵匠虩o解，所以x=-m+8為原方程的增根。又由于原方程的增根為x=5，所以-m+8=5所以m=3點(diǎn)評(píng)：這類型題可通過列增根等于增根的方程求出參數(shù)值。分式方程的非常規(guī)解法抓特點(diǎn)選方法有些分式方程利用一般方法解非常麻煩，若能根據(jù)題目的特點(diǎn)，采用一些特殊的方法，就可避免不必要的麻煩，巧妙地求得方程的解，獲得意外的驚喜，現(xiàn)結(jié)合幾道習(xí)題予以說明一、分組化簡(jiǎn)法例1解方程：分析：本題的最小公分母為，若采用一般解法，就會(huì)出現(xiàn)高次項(xiàng)數(shù)，計(jì)算相當(dāng)繁瑣，而且也極易出錯(cuò)，我們注意到，在此基礎(chǔ)上再通過比較上面兩式即可將本題求解解：原方程化為：，上式可變?yōu)椋杭矗膺@個(gè)整式方程得：，當(dāng)時(shí)，該分式方程中各分式的分

13、母的值均不為，所以為原方程的解二、拆項(xiàng)變形法例2解方程=分析：本題求解時(shí)應(yīng)首先將題目中的第1，3，4個(gè)分式的分母因式分解，再將這幾個(gè)分式分解成兩個(gè)分式差的形式，目的是通過整理將其化繁為簡(jiǎn)，使方程變得簡(jiǎn)捷易解解：原方程變形為：化簡(jiǎn)后整理得：，解得：，當(dāng)時(shí)，分式方程中的各分式的分母均不為，故是原方程的解三、利用特殊分式方程求解分式方程的解為，若一個(gè)方程等號(hào)兩邊的項(xiàng)分別互為倒數(shù)時(shí)，則此時(shí)便可套用上面的方程的解法求解例3解方程：分析：因本題中與，與分別互為倒數(shù)，符合方程的特點(diǎn)，故可將該方程轉(zhuǎn)化為這種方程的形式求解解：原方程變形為，設(shè)則=，此時(shí)原方程變形為：，或即或，解得：經(jīng)檢驗(yàn)得：都是原方程的解原方程

14、的解為與分式方程根有關(guān)的問題分類舉例與分式方程的根有關(guān)的問題，在近年的中考試題中時(shí)有出現(xiàn)，現(xiàn)結(jié)合近年的中考題分類舉例，介紹給讀者，供學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)有關(guān)內(nèi)容時(shí)參考。1. 已知分式方程有增根，求字母系數(shù)的值解答此類問題必須明確增根的意義：（1）增根是使所給分式方程分母為零的未知數(shù)的值。（2）增根是將所給分式方程去分母后所得整式方程的根。利用（1）可以確定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根時(shí)的字母系數(shù)的值。例1. （2000年潛江市）使關(guān)于x的方程產(chǎn)生增根的a的值是（ ）A. 2B. 2C. D. 與a無關(guān)解：去分母并整理，得：因?yàn)樵匠痰脑龈鶠閤=2，把x=2代入<1>，得

15、a2=4所以故應(yīng)選C。例2. （1997年山東省）若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值是（ ）A. 1或2 B. 1或2C. 1或2 D. 1或2解：去分母并整理，得：又原方程的增根是x=0或，把x=0或x=1分別代入<1>式，得：m=2或m=1故應(yīng)選C。例3. （2001年重慶市）若關(guān)于x的方程有增根，則a的值為_。解：原方程可化為：又原方程的增根是，把代入<1>，得：故應(yīng)填“”。例4. （2001年鄂州市）關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根，求k的值。解：原方程可化為：又原方程的增根為x=3，把x=3代入<1>，得：k=3例5. 當(dāng)k為何值時(shí)，解關(guān)于x的方程：只有增根x=

16、1。解：原方程可化為：把x=1代入<1>，得k=3所以當(dāng)k=3時(shí)，解已知方程只有增根x=1。評(píng)注：由以上幾例可知，解答此類問題的基本思路是：（1）將所給方程化為整式方程；（2）由所給方程確定增根（使分母為零的未知數(shù)的值或題目給出）；（3）將增根代入變形后的整式方程，求出字母系數(shù)的值。2. 已知分式方程根的情況，求字母系數(shù)的值或取值范圍例6. （2002年荊門市）當(dāng)k的值為_（填出一個(gè)值即可）時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。解：原方程可化為：要原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，有下面兩種情況：（1）當(dāng)方程<1>有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且不為原方程的增根，所以由得k=1。當(dāng)k=1時(shí)，方程<1

17、>的根為，符合題意。（2）方程<1>有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且其中有一個(gè)是原方程的增根，所以由，得k>1。又原方程的增根為x=0或x=1，把x=0或x=1分別代入<1>得k=0，或k=3，均符合題意。綜上所述：可填“1、0、3”中的任何一個(gè)即可。例7. （2002年孝感市）當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程無實(shí)根？解：原方程可化為：要原方程無實(shí)根，有下面兩種情況：（1）方程<1>無實(shí)數(shù)根，由，得；（2）方程<1>的實(shí)數(shù)解均為原方程的增根時(shí)，原方程無實(shí)根，而原方程的增根為x=0或x=1，把x=0或x=1分別代入<1>得m=2。綜上所述：

18、當(dāng)或當(dāng)m=2時(shí)，所給方程無實(shí)數(shù)解。例8. （2003年南昌市）已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。解：原方程化為：要原方程有實(shí)數(shù)根，只要方程<1>有實(shí)數(shù)根且至少有一個(gè)根不是原方程的增根即可。（1）當(dāng)m=0時(shí)，有x=1，顯然x=1是原方程的增根，所以m=0應(yīng)舍去。（2）當(dāng)時(shí)，由，得。又原方程的增根為x=0或x=1，當(dāng)x=0時(shí)，方程<1>不成立；當(dāng)。綜上所述：當(dāng)且時(shí)，所給方程有實(shí)數(shù)根。評(píng)注：由以上三例可知，由分式方程根的情況，求字母系數(shù)的值或取值范圍的基本思路是：（1）將所給方程化為整式方程；（2）根據(jù)根的情況，由整式方程利用根的判別式求出字母系數(shù)的值或取值范圍，注意

19、排除使原方程有增根的字母系數(shù)的值。3. 已知分式方程無增根，求字母系數(shù)的取值范圍例9. 當(dāng)a取何值時(shí)，解關(guān)于x的方程：無增根？解：原方程可化為：又原方程的增根為x=2或，把x=2或分別代入<1>得：或又由知，a可以取任何實(shí)數(shù)。所以，當(dāng)且時(shí)，解所給方程無增根。評(píng)注：解答此類問題的基本思路是：（1）將已知方程化為整式方程；（2）由所得整式方程求出有增根的字母系數(shù)的值和使整式方程有實(shí)數(shù)根的字母系數(shù)的取值范圍；（3）從有實(shí)數(shù)根的范圍里排除有增根的值，即得無增根的取值范圍。4. 已知分式方程根的符號(hào)，求字母系數(shù)的取值范圍例9. 已知關(guān)于x的方程的根大于0，求a的取值范圍。解：原方程可化為：所以由題意，得：且所以且例10. 已知關(guān)于x的方程的根小于0，求k的取值范圍。解：原方程可化為：所以由題意，得：所以評(píng)注：解答此類題的基本思路是：（1）求出已知方程的根；（2）由已知建立關(guān)于字母系數(shù)的不等式，求出字母系數(shù)的取值范圍，注意排除使原方程有增根的字母系數(shù)的值。說明：注意例9與例10的區(qū)別，例9有，而例10無這一不等式？請(qǐng)讀者思考。增根在分式方程中的靈活運(yùn)用增根是指適合所化的整式方程，但不適合原分式方程的根。由此可見，增根必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：（1）是由分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程的的根。（2）使最簡(jiǎn)公分母為零。在解分式方程時(shí)