導數(shù)應用復習小結

1、 變化率與導數(shù)及導數(shù)應用知識歸納：變化率與導數(shù)1.函數(shù)平均變化率對于函數(shù)y=f(x),當自變量x由x1變化到x2時，其函數(shù)y=f(x)的函數(shù)值由f(x1)變化到f(x2)，它的平均變化率為,把自變量的變化x2-x1稱作自變量的改變量，記作，函數(shù)值的變化f(x2)-f(x1)稱作函數(shù)值的改變量，記作y，函數(shù)的平均變化率就可以表示為函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，即。2. 導數(shù)設函數(shù)y=f(x),1、 函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系1.在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調遞 增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調遞減說明：特別的，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)2.求解函數(shù)單調區(qū)間的步驟：（1

2、）確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)；（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間3、對于可導函數(shù)來說，是在某個區(qū)間上為增函數(shù)的充分 非必要條件，是在某個區(qū)間上為減函數(shù)的充分非必要條件。 已知函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導數(shù)與函數(shù)單調性關系：即“若函數(shù)單調遞增，則；若函數(shù)單調遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解二、函數(shù)極大值、極小值1、極大值：如果是函數(shù)f(x)在某個開區(qū)間上的最大值點，即不等式 對一切成立，就說函數(shù)f(x)在處取到極大值，并稱為函數(shù)f(x)的一個極大值點，為f(x)的一個極大值。 2、極小值

3、：如果是函數(shù)f(x)在某個開區(qū)間上的最小值點，即不等式 對一切成立，就說函數(shù)f(x)在處取到極小值，并稱為函數(shù)f(x)的一個極小值點，為f(x)的一個極小值。 3、極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 ，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點；若，則叫做函數(shù)f(x)的駐點；可導函數(shù)的極值點必為駐點，但駐點不一定是極值點。4、判別f(c)是極大、極小值的方法:若滿足，且在c的兩側的導數(shù)異號，則c是的極值點，是極值，并且如果在c兩側滿足“左正右負”，則c是的極大值點，是極大值；如果在c兩側滿足“左負右正”，則c是的極小值點，是極小值5、求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義域，求導數(shù)f(x) (2)求

4、f(x)的駐點，即求方程f(x)=0的根(3)用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，那么f(x)在這個根處無極值三、 函數(shù)的最大值和最小值在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f在a，b上必有最大值與最小值。求閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)的最大值和最小值的思想方法和步驟：（1）求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；（2）求函數(shù)在區(qū)間端點的值(a)、(b)；（3）將函數(shù) 的各極值與(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的

5、是最小值。疑難點、易錯點剖析1由極值的定義可知，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值。此外請注意以下幾點：（）極值是一個局部概念。由定義可知，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小（）函數(shù)的極值不是唯一的。即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個（）極大值與極小值之間無確定的大小關系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而 （）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點。而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點。（V）可

6、導函數(shù)的極值點的導數(shù)為0，但是導數(shù)為0的點不一定是極值點，如函數(shù)y=x3在x=0處導數(shù)為0，但x=0不是極值點。（Vi）函數(shù)在一點x0處有極值，不一定在該點可導。如函數(shù)y=|x| 在x=0有極小值，但在x=0處不可導即導數(shù)不存在。2.對于函數(shù)的最值問題，應注意以下幾點：（1）在閉區(qū)間上圖像連續(xù)不斷的函數(shù)在上必有最大值與最小值（2）在開區(qū)間內(nèi)圖像連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；（3）函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；而函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的（4）函數(shù)在閉區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件如函數(shù)在上有最大值，最小值，（最大值是0，最小值是-2），但其圖像卻不是連續(xù)不斷的（如右圖）。(5)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值