概率統(tǒng)計(jì)第四章第二節(jié)(未)課件

1、(1) 概念的引入概念的引入1. 1. 隨機(jī)變量方差的概念隨機(jī)變量方差的概念 上一講我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它上一講我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征的一個(gè)重要的數(shù)字特征. 但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的. 例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、乙兩，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果次，將測(cè)量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：示如圖： 你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？乙儀器測(cè)量結(jié)

2、果乙儀器測(cè)量結(jié)果 a甲儀器測(cè)量結(jié)果甲儀器測(cè)量結(jié)果較好較好測(cè)量結(jié)果的測(cè)量結(jié)果的均值都是均值都是 a因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近a 又如又如,甲、乙兩門(mén)炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊甲、乙兩門(mén)炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門(mén)炮射擊效果好一些呢你認(rèn)為哪門(mén)炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近 . 中心中心中心中心 為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它用它來(lái)度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離

3、來(lái)度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度散程度.這個(gè)數(shù)字特征就是我們下面要介紹的這個(gè)數(shù)字特征就是我們下面要介紹的方差方差).(,)(.)()Var()(, )Var()(,)(,)(,222XXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX記記為為為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差或或均均方方差差稱稱即即或或記記為為的的方方差差為為則則稱稱存存在在若若是是一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè) (2) 方差的定義方差的定義 (2) 由于標(biāo)準(zhǔn)差與由于標(biāo)準(zhǔn)差與X具有相同的度量單位，在實(shí)具有相同的度量單位，在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常使用際問(wèn)題中經(jīng)常使用.說(shuō)明說(shuō)明 (1) 方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)

4、期望的離散程度望的離散程度 ，方差越小，方差越小，X的取值集中在均值的附的取值集中在均值的附近；方差越大，近；方差越大，X的取值越分散的取值越分散離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差 ,)()(12kkkpXExXD 連續(xù)型隨機(jī)變量的方差連續(xù)型隨機(jī)變量的方差,d)()()(2xxfXExXD (3) 方差的計(jì)算方差的計(jì)算 1) 利用定義計(jì)算利用定義計(jì)算 .)(的概率密度的概率密度為為其中其中Xxf., 2 , 1,的分布律的分布律是是其中其中XkpxXPkk .)()()(22XEXEXD 證明證明)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE

5、 22)()(XEXE 2) 利用公式計(jì)算利用公式計(jì)算例例1 (0-1)(0-1)分布分布 ppXE 1)1(0)(Xp10pp 1已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 X 的分布律的分布律為為則有則有22)()()(XEXEXD 2221)1(0ppp p ).1(pp 2. 重要分布的方差重要分布的方差).1()10(ppp 和和為為分布的期望和方差分別分布的期望和方差分別例例2 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,e! kkkXPk )(XE由于由于且分布律為且分布律為設(shè)設(shè)),( X)1()(2XXXEXE 且且)()1(XEXXE 0e!)1(kkkkk 222)!2(ekkk ee2

6、.2 所以所以22)()()(XEXEXD 22 . . 均均為為泊泊松松分分布布的的期期望望和和方方差差3例)(),(XDbaUX求設(shè)解的概率密度為X其他, 0,1)(bxaabxf2)(baXEbababaxabxXE)(31d1)(222212)()2()(31)()()(222222abbababaXEXEXD4例)(, 0),(XDEX求設(shè)解的概率密度為X其他, 00,e)(xxfx1)(XE202020222de20e)e (dde)(xxxxxxXExxxx22222112)()()(XEXEXD證明證明22)()()(CECECD 3 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) （設(shè)（設(shè)D(X),

7、D(Y) 存在）存在）(1) 設(shè)設(shè) C 是常數(shù)是常數(shù), 則有則有. 0)( CD22CC . 0 (2) 設(shè)設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量, C 是常數(shù)是常數(shù), 則有則有).()(),()(2XDCXDXDCCXD 證明證明)(CXD)(22XEXEC ).(2XDC )(2CXECXE )()()(2CXECXECXD )(2XEXE ).(XD ).()()(,YDXDYXDYX 相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則有有特特別別，若若(3) 設(shè)設(shè) X, Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有證明證明)()()(2YXEYXEYXD )()(2YEYXEXE )()(2)()(22YEYXEX

8、EYEYEXEXE )()(YDXD ).()(2)()()(YEYXEXEYDXDYXD )()(2YEYXEXE 推廣推廣),()(121iniiniiiXDCXCD 則則有有相相互互獨(dú)獨(dú)立立若若,21nXXX)()(2YEYXEXE 而而),()()(,YEXEXYEYX 獨(dú)獨(dú)立立時(shí)時(shí)由由于于)()()()()()()(2YEXEXEYEYEXEXYE ).()()(2YEXEXYE ).()()(,YDXDYXDYX 獨(dú)獨(dú)立立時(shí)時(shí)，有有所所以以當(dāng)當(dāng)其中其中i為常數(shù)，為常數(shù)，i=1,2,n. 即即D(X)=0 P(X= C)=1， 這里這里C=E(X)xC1P(X= x)下面我們用一例說(shuō)

9、明方差性質(zhì)的應(yīng)用下面我們用一例說(shuō)明方差性質(zhì)的應(yīng)用 .10)()4(CXXD取取常常數(shù)數(shù)以以概概率率的的充充要要條條件件是是 5例解)(,),(XDpnbX求分布設(shè)隨機(jī)變量分布服從則發(fā)生的次數(shù)次試驗(yàn)中事件表示第設(shè)) 10(,iiXAiXnippXDpXEii, 2 , 1),1 ()(,)( 且相互獨(dú)立,21nXXX nXXXX 21所以)1 ()1 ()1 ()1 ()()(2121pnpppppppDXDXDXXXXDXDnn 例例6 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望E(X)= ，方差，方差 0)(2 XD，記，記, XY)()( XEYE)(2 XE)(122 XE).()(

10、YDYE和和求求解解稱稱為為的標(biāo)準(zhǔn)化變量的標(biāo)準(zhǔn)化變量22)()()(YEYEYD 122 )(1 XE0 例7解由于) 1 , 0( NX,XY令) 1 , 0( NY則有1)(, 0)(2YEYE22()()( )( )D XDYD YD2(,),1,2, ,iiiXNin 若且它們相互獨(dú)立則),(11222211 niniiiiinnCCNXCXCXC)(,),(2XDNX求分布設(shè)隨機(jī)變量例8汽缸的直計(jì)以設(shè)活塞的直徑),03. 0 ,40.22()cm(2NX任取一只活塞相互獨(dú)立與徑,),04. 0 ,50.22(2YXNY率求活塞能裝入汽缸的概9772. 0)2()05. 010. 0(

11、)0025. 0)10. 0(00025. 0)10. 0()()0()(YXPYXPYXP解)0()(YXPYXP)0025. 0 ,10. 0(NYX依題意故有由于8例niiniiXXnSXnX1221)(11,1且具有相同的數(shù)學(xué)相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量,21nXXX 令和方差期望,2)(),(),(2SEXDXE求解設(shè)依題意,niXDXEii, 2 , 1,)(,)(2 niiniiXEnXnEXE1111nnnXDnXnDXDniinii2221211)(1)1()(22211()(2)nniiiiiXXXX XX由于而2222)()()(iiiXEXDXE2222)()()(nXEXDXE

12、221112()nnniiiiiXXXX2212()niiXX nXnX221niiXnX所以22221111()() 11nniiiiE SEXXEXnXnn2211()()1niiE XnE Xn222221 ()()1nnnn10 pp)1 (pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2)(ba 12)(2ab 0 2分分 布布參數(shù)參數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望方差方差兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布泊松分布泊松分布均勻分布均勻分布指數(shù)分布指數(shù)分布正態(tài)分布正態(tài)分布0, 2(3) 重要概率分布的期望和方差重要概率分布的期望和方差三、切比雪夫不等式 定理2)(,)(XDXEX具有數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量不等式則對(duì)任意正數(shù) ,22)|(|XP成立這一不等式成為切比雪夫不等式 證則有的概率密度為設(shè)),(xfX|(|)( )dxPXf xx切比雪夫不等式也可以寫(xiě)成221)|(|XP22|( )dxxf xx22221()( )dxf xx9例設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每一盞燈開(kāi)燈的概率都是0.7，而假定開(kāi)、關(guān)時(shí)間彼此